MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comfffval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem comfffval2 17649
Description: Value of the functionalized composition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
comfffval2.o ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
comfffval2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
comfffval2.h ๐ป = (Homf โ€˜๐ถ)
comfffval2.x ยท = (compโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
comfffval2 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฆ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem comfffval2
StepHypRef Expression
1 comfffval2.o . . 3 ๐‘‚ = (compfโ€˜๐ถ)
2 comfffval2.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
3 eqid 2730 . . 3 (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜๐ถ)
4 comfffval2.x . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
51, 2, 3, 4comfffval 17646 . 2 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
6 comfffval2.h . . . . 5 ๐ป = (Homf โ€˜๐ถ)
7 xp2nd 8010 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
87adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
9 simpr 483 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
106, 2, 3, 8, 9homfval 17640 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ))
11 xp1st 8009 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
136, 2, 3, 12, 8homfval 17640 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ถ)(2nd โ€˜๐‘ฅ)))
14 df-ov 7414 . . . . . 6 ((1st โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ปโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
15 df-ov 7414 . . . . . 6 ((1st โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ถ)(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
1613, 14, 153eqtr3g 2793 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ปโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) = ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ))
17 1st2nd2 8016 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
1817adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
1918fveq2d 6894 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ))
2018fveq2d 6894 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) = ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ))
2116, 19, 203eqtr4d 2780 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ))
22 eqidd 2731 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))
2310, 21, 22mpoeq123dv 7486 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
2423mpoeq3ia 7489 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ถ)โ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
255, 24eqtr4i 2761 1 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป๐‘ฆ), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โŸจcop 4633   ร— cxp 5673  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  Basecbs 17148  Hom chom 17212  compcco 17213  Homf chomf 17614  compfccomf 17615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-homf 17618  df-comf 17619
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator