Theorem xp2nd 7954

Description: Location of the second element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xp2nd	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem xp2nd

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5637	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)))
2		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
3		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
4	2, 3	op2ndd 7932	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → (2nd ‘𝐴) = 𝑐)
5	4	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → ((2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶 ↔ 𝑐 ∈ 𝐶))
6	5	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)
7	6	adantrl 716	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)
8	7	exlimivv 1933	. 2 ⊢ (∃𝑏∃𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐶)) → (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)
9	1, 8	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   × cxp 5612  ‘cfv 6481  2^nd c2nd 7920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  offval22  8018  fimaproj  8065  disjen  9047  xpf1o  9052  xpmapenlem  9057  mapunen  9059  djur  9812  r0weon  9903  infxpenlem  9904  fseqdom  9917  axcc2lem  10327  iunfo  10430  iundom2g  10431  enqbreq2  10811  nqereu  10820  addpqf  10835  mulpqf  10837  adderpqlem  10845  mulerpqlem  10846  addassnq  10849  mulassnq  10850  distrnq  10852  mulidnq  10854  recmulnq  10855  ltsonq  10860  lterpq  10861  ltanq  10862  ltmnq  10863  ltexnq  10866  archnq  10871  elreal2  11023  cnref1o  12883  fsumcom2  15681  fprodcom2  15891  ruclem6  16144  ruclem8  16146  ruclem9  16147  ruclem10  16148  ruclem12  16150  eucalgval  16493  eucalginv  16495  eucalglt  16496  eucalgcvga  16497  eucalg  16498  xpsff1o  17471  comfffval2  17607  comfeq  17612  idfucl  17788  funcpropd  17809  fucpropd  17887  xpccatid  18094  1stfcl  18103  2ndfcl  18104  xpcpropd  18114  hofcl  18165  hofpropd  18173  yonedalem3  18186  lsmhash  19617  gsum2dlem2  19883  dprd2da  19956  evlslem4  22011  mdetunilem9  22535  tx1cn  23524  txdis  23547  txlly  23551  txnlly  23552  txhaus  23562  txkgen  23567  txconn  23604  txhmeo  23718  ptuncnv  23722  ptunhmeo  23723  xkohmeo  23730  utop2nei  24165  utop3cls  24166  imasdsf1olem  24288  cnheiborlem  24880  caubl  25235  caublcls  25236  bcthlem2  25252  bcthlem4  25254  bcthlem5  25255  ovolficcss  25397  ovoliunlem1  25430  ovoliunlem2  25431  ovolicc2lem1  25445  ovolicc2lem2  25446  ovolicc2lem3  25447  ovolicc2lem4  25448  ovolicc2lem5  25449  dyadmbl  25528  fsumvma  27151  opreu2reuALT  32456  disjxpin  32568  2ndimaxp  32628  2ndresdju  32631  fsumiunle  32812  gsummpt2d  33029  gsumwrd2dccatlem  33046  conjga  33139  elrgspnlem2  33210  elrgspnsubrunlem2  33215  erler  33232  rlocaddval  33235  rlocmulval  33236  mplvrpmga  33575  cnre2csqima  33924  tpr2rico  33925  esum2dlem  34105  esumiun  34107  1stmbfm  34273  dya2iocnrect  34294  sibfof  34353  sitgaddlemb  34361  hgt750lemb  34669  satefvfmla0  35462  mvrsfpw  35550  msubff  35574  msubco  35575  msubvrs  35604  elxp8  37415  finixpnum  37644  poimirlem4  37663  poimirlem5  37664  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem8  37667  poimirlem9  37668  poimirlem10  37669  poimirlem11  37670  poimirlem12  37671  poimirlem13  37672  poimirlem14  37673  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem18  37677  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem21  37680  poimirlem22  37681  poimirlem25  37684  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem29  37688  poimirlem31  37690  heicant  37694  mblfinlem1  37696  mblfinlem2  37697  ftc2nc  37741  heiborlem8  37857  dvhfvadd  41189  dvhvaddcl  41193  dvhvaddcomN  41194  dvhvaddass  41195  dvhvscacl  41201  dvhgrp  41205  dvhlveclem  41206  dibelval2nd  41250  dicelval2nd  41287  aks6d1c2p1  42210  aks6d1c3  42215  aks6d1c4  42216  aks6d1c6lem2  42263  aks6d1c6lem4  42265  f1o2d2  42325  rmxypairf1o  43003  frmy  43006  cnmetcoval  45298  dvnprodlem1  46043  dvnprodlem2  46044  volicoff  46092  voliooicof  46093  etransclem44  46375  etransclem45  46376  etransclem47  46378  hoissre  46641  hoiprodcl  46644  ovnsubaddlem1  46667  ovnhoilem2  46699  hoicoto2  46702  ovncvr2  46708  opnvonmbllem2  46730  ovolval2lem  46740  ovolval3  46744  ovolval4lem1  46746  ovolval4lem2  46747  ovolval5lem2  46750  ovnovollem1  46753  ovnovollem2  46754  smfpimbor1lem1  46895  2arymaptf  48752  rrx2xpref1o  48818  elxpcbasex2ALT  49351  swapf2f1oa  49377  swapfida  49380  fuco2eld2  49414  fucoco2  49458  pgindlem  49815