Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2nn0 44665
Description: A digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is either 0 or 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2nn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) ∈ {0, 1})

Proof of Theorem dig2nn0
StepHypRef Expression
1 2nn 11704 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
3 simpr 487 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 nn0rp0 12837 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
54adantr 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6 digval 44652 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2))
72, 3, 5, 6syl3anc 1367 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2))
8 2re 11705 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 11735 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
12 znegcl 12011 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
1312adantl 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
149, 11, 13reexpclzd 13604 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (2↑-𝐾) ∈ ℝ)
15 nn0re 11900 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1615adantr 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1714, 16remulcld 10665 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
1817flcld 13162 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) ∈ ℤ)
19 elmod2 43524 . . 3 ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) ∈ ℤ → ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2) ∈ {0, 1})
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2) ∈ {0, 1})
217, 20eqeltrd 2913 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) ∈ {0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  {cpr 4562  cfv 6349  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  -cneg 10865  cn 11632  2c2 11686  0cn0 11891  cz 11975  [,)cico 12734  cfl 13154   mod cmo 13231  cexp 13423  digitcdig 44649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-dig 44650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator