Theorem dig2nn0 45845

Description: A digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is either 0 or 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig2nn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) ∈ {0, 1})

Proof of Theorem dig2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11976	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nn0rp0 13116	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6		digval 45832	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2))
8		2re 11977	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
10		2ne0 12007	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
12		znegcl 12285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
14	9, 11, 13	reexpclzd 13892	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2↑-𝐾) ∈ ℝ)
15		nn0re 12172	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	14, 16	remulcld 10936	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
18	17	flcld 13446	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) ∈ ℤ)
19		elmod2 44710	. . 3 ⊢ ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) ∈ ℤ → ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2) ∈ {0, 1})
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2) ∈ {0, 1})
21	7, 20	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) ∈ {0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  -cneg 11136  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  [,)cico 13010  ⌊cfl 13438   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  digitcdig 45829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dig 45830

This theorem is referenced by: (None)