Theorem dig2nn0 48853

Description: A digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is either 0 or 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig2nn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) ∈ {0, 1})

Proof of Theorem dig2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12218	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		nn0rp0 13371	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6		digval 48840	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2))
8		2re 12219	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
10		2ne0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
12		znegcl 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
14	9, 11, 13	reexpclzd 14172	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2↑-𝐾) ∈ ℝ)
15		nn0re 12410	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	14, 16	remulcld 11162	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
18	17	flcld 13718	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) ∈ ℤ)
19		elmod2 47597	. . 3 ⊢ ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) ∈ ℤ → ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2) ∈ {0, 1})
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2↑-𝐾) · 𝑁)) mod 2) ∈ {0, 1})
21	7, 20	eqeltrd 2836	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘2)𝑁) ∈ {0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  +∞cpnf 11163  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  [,)cico 13263  ⌊cfl 13710   mod cmo 13789  ↑cexp 13984  digitcdig 48837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-dig 48838

This theorem is referenced by: (None)