Theorem digvalnn0 48592

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵 is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digvalnn0	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem digvalnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digval 48591	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
2		nnre 12200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		nnne0 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ≠ 0)
6		znegcl 12575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → -𝐾 ∈ ℤ)
8	3, 5, 7	reexpclzd 14221	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
9		elrege0 13422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
10	9	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
11	10	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℝ)
12	8, 11	remulcld 11211	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) ∈ ℝ)
13	12	flcld 13767	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) ∈ ℤ)
14		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℕ)
15	13, 14	zmodcld 13861	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) ∈ ℕ0)
16	1, 15	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  +∞cpnf 11212   ≤ cle 11216  -cneg 11413  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  [,)cico 13315  ⌊cfl 13759   mod cmo 13838  ↑cexp 14033  digitcdig 48588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-dig 48589

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  nn0sumshdiglem2  48615  nn0mullong  48618