Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  digvalnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem digvalnn0 47186
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵 is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digvalnn0 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem digvalnn0
StepHypRef Expression
1 digval 47185 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
2 nnre 12214 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 nnne0 12241 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
543ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ≠ 0)
6 znegcl 12592 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → -𝐾 ∈ ℤ)
83, 5, 7reexpclzd 14207 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
9 elrege0 13426 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
109simplbi 499 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
11103ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℝ)
128, 11remulcld 11239 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) ∈ ℝ)
1312flcld 13758 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) ∈ ℤ)
14 simp1 1137 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℕ)
1513, 14zmodcld 13852 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) ∈ ℕ0)
161, 15eqeltrd 2834 1 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5146  cfv 6539  (class class class)co 7403  cr 11104  0cc0 11105   · cmul 11110  +∞cpnf 11240  cle 11244  -cneg 11440  cn 12207  0cn0 12467  cz 12553  [,)cico 13321  cfl 13750   mod cmo 13829  cexp 14022  digitcdig 47182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-ico 13325  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-dig 47183
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemA  47206  nn0sumshdiglemB  47207  nn0sumshdiglem2  47209  nn0mullong  47212
  Copyright terms: Public domain W3C validator