Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  digvalnn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem digvalnn0 47373
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐡 is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digvalnn0 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) ∈ β„•0)
Proof of Theorem digvalnn0
StepHypRef Expression
1 digval 47372 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
2 nnre 12224 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 nnne0 12251 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
543ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐡 β‰  0)
6 znegcl 12602 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„€ β†’ -𝐾 ∈ β„€)
763ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
83, 5, 7reexpclzd 14217 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ ℝ)
9 elrege0 13436 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
109simplbi 497 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
11103ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
128, 11remulcld 11249 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅) ∈ ℝ)
1312flcld 13768 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) ∈ β„€)
14 simp1 1135 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
1513, 14zmodcld 13862 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡) ∈ β„•0)
161, 15eqeltrd 2832 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113  0cc0 11114   Β· cmul 11119  +∞cpnf 11250   ≀ cle 11254  -cneg 11450  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  [,)cico 13331  βŒŠcfl 13760   mod cmo 13839  β†‘cexp 14032  digitcdig 47369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-dig 47370
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemA  47393  nn0sumshdiglemB  47394  nn0sumshdiglem2  47396  nn0mullong  47399
  Copyright terms: Public domain W3C validator