Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0digval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nn0digval 46839
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐡. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0digval ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
Proof of Theorem nn0digval
StepHypRef Expression
1 nn0z 12548 . . 3 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2 digval 46837 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
31, 2syl3an2 1164 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
4 nncn 12185 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54anim1i 615 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0))
6 expneg 14000 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) = (1 / (𝐡↑𝐾)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) = (1 / (𝐡↑𝐾)))
873adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡↑-𝐾) = (1 / (𝐡↑𝐾)))
98oveq1d 7392 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅) = ((1 / (𝐡↑𝐾)) Β· 𝑅))
10 elrege0 13396 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
11 recn 11165 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1310, 12sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
14133ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1553adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0))
16 expcl 14010 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ β„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ β„‚)
1843ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
19 nnne0 12211 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
20193ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐡 β‰  0)
2113ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2218, 20, 21expne0d 14082 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡↑𝐾) β‰  0)
2314, 17, 22divrec2d 11959 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑅 / (𝐡↑𝐾)) = ((1 / (𝐡↑𝐾)) Β· 𝑅))
249, 23eqtr4d 2774 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅) = (𝑅 / (𝐡↑𝐾)))
2524fveq2d 6866 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) = (βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))))
2625oveq1d 7392 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡) = ((βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
273, 26eqtrd 2771 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„‚cc 11073  β„cr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   Β· cmul 11080  +∞cpnf 11210   ≀ cle 11214  -cneg 11410   / cdiv 11836  β„•cn 12177  β„•0cn0 12437  β„€cz 12523  [,)cico 13291  βŒŠcfl 13720   mod cmo 13799  β†‘cexp 13992  digitcdig 46834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-ico 13295  df-seq 13932  df-exp 13993  df-dig 46835
This theorem is referenced by:  dignnld  46842  dig2nn1st  46844  digexp  46846  0dig2nn0e  46851  0dig2nn0o  46852  dig2bits  46853  dignn0ehalf  46856  dignn0flhalf  46857
  Copyright terms: Public domain W3C validator