Theorem nn0digval 45834

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0digval	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Proof of Theorem nn0digval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12273	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		digval 45832	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
3	1, 2	syl3an2 1162	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
4		nncn 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	anim1i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
6		expneg 13718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
8	7	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
9	8	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
10		elrege0 13115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
11		recn 10892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℂ)
13	10, 12	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℂ)
15	5	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
16		expcl 13728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
18	4	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		nnne0 11937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
20	19	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ≠ 0)
21	1	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	18, 20, 21	expne0d 13798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
23	14, 17, 22	divrec2d 11685	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑅 / (𝐵↑𝐾)) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
24	9, 23	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = (𝑅 / (𝐵↑𝐾)))
25	24	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) = (⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))))
26	25	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
27	3, 26	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  [,)cico 13010  ⌊cfl 13438   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  digitcdig 45829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-ico 13014  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dig 45830

This theorem is referenced by:  dignnld  45837  dig2nn1st  45839  digexp  45841  0dig2nn0e  45846  0dig2nn0o  45847  dig2bits  45848  dignn0ehalf  45851  dignn0flhalf  45852