Theorem nn0digval 48589

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0digval	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Proof of Theorem nn0digval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12554	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		digval 48587	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
3	1, 2	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
4		nncn 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
6		expneg 14034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
9	8	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
10		elrege0 13415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
11		recn 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℂ)
13	10, 12	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℂ)
15	5	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
16		expcl 14044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
18	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		nnne0 12220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ≠ 0)
21	1	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	18, 20, 21	expne0d 14117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
23	14, 17, 22	divrec2d 11962	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑅 / (𝐵↑𝐾)) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
24	9, 23	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = (𝑅 / (𝐵↑𝐾)))
25	24	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) = (⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))))
26	25	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
27	3, 26	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  +∞cpnf 11205   ≤ cle 11209  -cneg 11406   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  [,)cico 13308  ⌊cfl 13752   mod cmo 13831  ↑cexp 14026  digitcdig 48584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-ico 13312  df-seq 13967  df-exp 14027  df-dig 48585

This theorem is referenced by:  dignnld  48592  dig2nn1st  48594  digexp  48596  0dig2nn0e  48601  0dig2nn0o  48602  dig2bits  48603  dignn0ehalf  48606  dignn0flhalf  48607