Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0digval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nn0digval 47373
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐡. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0digval ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
Proof of Theorem nn0digval
StepHypRef Expression
1 nn0z 12587 . . 3 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2 digval 47371 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
31, 2syl3an2 1162 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡))
4 nncn 12224 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54anim1i 613 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0))
6 expneg 14039 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) = (1 / (𝐡↑𝐾)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) = (1 / (𝐡↑𝐾)))
873adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡↑-𝐾) = (1 / (𝐡↑𝐾)))
98oveq1d 7426 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅) = ((1 / (𝐡↑𝐾)) Β· 𝑅))
10 elrege0 13435 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
11 recn 11202 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1211adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1310, 12sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
14133ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
1553adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0))
16 expcl 14049 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ β„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡↑𝐾) ∈ β„‚)
1843ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
19 nnne0 12250 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
20193ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐡 β‰  0)
2113ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2218, 20, 21expne0d 14121 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐡↑𝐾) β‰  0)
2314, 17, 22divrec2d 11998 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑅 / (𝐡↑𝐾)) = ((1 / (𝐡↑𝐾)) Β· 𝑅))
249, 23eqtr4d 2773 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅) = (𝑅 / (𝐡↑𝐾)))
2524fveq2d 6894 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) = (βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))))
2625oveq1d 7426 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑅)) mod 𝐡) = ((βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
273, 26eqtrd 2770 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑅) = ((βŒŠβ€˜(𝑅 / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  [,)cico 13330  βŒŠcfl 13759   mod cmo 13838  β†‘cexp 14031  digitcdig 47368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ico 13334  df-seq 13971  df-exp 14032  df-dig 47369
This theorem is referenced by:  dignnld  47376  dig2nn1st  47378  digexp  47380  0dig2nn0e  47385  0dig2nn0o  47386  dig2bits  47387  dignn0ehalf  47390  dignn0flhalf  47391
  Copyright terms: Public domain W3C validator