Theorem nn0digval 48593

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0digval	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Proof of Theorem nn0digval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12561	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		digval 48591	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
3	1, 2	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
4		nncn 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
6		expneg 14041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
8	7	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
9	8	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
10		elrege0 13422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
11		recn 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℂ)
13	10, 12	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℂ)
15	5	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
16		expcl 14051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
18	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		nnne0 12227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
20	19	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ≠ 0)
21	1	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	18, 20, 21	expne0d 14124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
23	14, 17, 22	divrec2d 11969	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑅 / (𝐵↑𝐾)) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
24	9, 23	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = (𝑅 / (𝐵↑𝐾)))
25	24	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) = (⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))))
26	25	oveq1d 7405	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
27	3, 26	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  +∞cpnf 11212   ≤ cle 11216  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  [,)cico 13315  ⌊cfl 13759   mod cmo 13838  ↑cexp 14033  digitcdig 48588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-ico 13319  df-seq 13974  df-exp 14034  df-dig 48589

This theorem is referenced by:  dignnld  48596  dig2nn1st  48598  digexp  48600  0dig2nn0e  48605  0dig2nn0o  48606  dig2bits  48607  dignn0ehalf  48610  dignn0flhalf  48611