Theorem nn0digval 45619

Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0digval	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Proof of Theorem nn0digval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12200	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		digval 45617	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
3	1, 2	syl3an2 1166	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
4		nncn 11838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	anim1i 618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
6		expneg 13643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
8	7	3adant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵↑𝐾)))
9	8	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
10		elrege0 13042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
11		recn 10819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
12	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℂ)
13	10, 12	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℂ)
15	5	3adant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
16		expcl 13653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ∈ ℂ)
18	4	3ad2ant1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		nnne0 11864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
20	19	3ad2ant1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ≠ 0)
21	1	3ad2ant2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	18, 20, 21	expne0d 13722	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑𝐾) ≠ 0)
23	14, 17, 22	divrec2d 11612	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑅 / (𝐵↑𝐾)) = ((1 / (𝐵↑𝐾)) · 𝑅))
24	9, 23	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = (𝑅 / (𝐵↑𝐾)))
25	24	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) = (⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))))
26	25	oveq1d 7228	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
27	3, 26	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  +∞cpnf 10864   ≤ cle 10868  -cneg 11063   / cdiv 11489  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  [,)cico 12937  ⌊cfl 13365   mod cmo 13442  ↑cexp 13635  digitcdig 45614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-ico 12941  df-seq 13575  df-exp 13636  df-dig 45615

This theorem is referenced by:  dignnld  45622  dig2nn1st  45624  digexp  45626  0dig2nn0e  45631  0dig2nn0o  45632  dig2bits  45633  dignn0ehalf  45636  dignn0flhalf  45637