Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig0 47282
Description: All digits of 0 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig0 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = 0)

Proof of Theorem dig0
StepHypRef Expression
1 0e0icopnf 13434 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
2 digval 47274 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡))
31, 2mp3an3 1450 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡))
4 nncn 12219 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 nnne0 12245 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐡 β‰  0)
8 znegcl 12596 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ -𝐾 ∈ β„€)
98adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
105, 7, 9expclzd 14115 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚)
1110mul01d 11412 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 0) = 0)
1211fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) = (βŒŠβ€˜0))
13 0zd 12569 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ β„€)
14 flid 13772 . . . . . 6 (0 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜0) = 0)
1612, 15eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) = 0)
1716oveq1d 7423 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡) = (0 mod 𝐡))
18 nnrp 12984 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
19 0mod 13866 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2120adantr 481 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2217, 21eqtrd 2772 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡) = 0)
233, 22eqtrd 2772 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  -cneg 11444  β„•cn 12211  β„€cz 12557  β„+crp 12973  [,)cico 13325  βŒŠcfl 13754   mod cmo 13833  β†‘cexp 14026  digitcdig 47271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-dig 47272
This theorem is referenced by:  0dig2pr01  47286  nn0sumshdiglem1  47297
  Copyright terms: Public domain W3C validator