Theorem dig0 45952

Description: All digits of 0 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig0	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)

Proof of Theorem dig0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0e0icopnf 13190	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
2		digval 45944	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
3	1, 2	mp3an3 1449	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
4		nncn 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		nnne0 12007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
8		znegcl 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	expclzd 13869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵↑-𝐾) · 0) = 0)
12	11	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = (⌊‘0))
13		0zd 12331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
14		flid 13528	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘0) = 0)
16	12, 15	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = 0)
17	16	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
18		nnrp 12741	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
19		0mod 13622	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 mod 𝐵) = 0)
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 mod 𝐵) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = 0)
23	3, 22	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  ⌊cfl 13510   mod cmo 13589  ↑cexp 13782  digitcdig 45941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-dig 45942

This theorem is referenced by:  0dig2pr01  45956  nn0sumshdiglem1  45967