Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig0 46782
Description: All digits of 0 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig0 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = 0)

Proof of Theorem dig0
StepHypRef Expression
1 0e0icopnf 13384 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
2 digval 46774 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡))
31, 2mp3an3 1451 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡))
4 nncn 12169 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 nnne0 12195 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐡 β‰  0)
8 znegcl 12546 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ -𝐾 ∈ β„€)
98adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
105, 7, 9expclzd 14065 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚)
1110mul01d 11362 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 0) = 0)
1211fveq2d 6850 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) = (βŒŠβ€˜0))
13 0zd 12519 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ β„€)
14 flid 13722 . . . . . 6 (0 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜0) = 0)
1612, 15eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) = 0)
1716oveq1d 7376 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡) = (0 mod 𝐡))
18 nnrp 12934 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
19 0mod 13816 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2120adantr 482 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2217, 21eqtrd 2773 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡) = 0)
233, 22eqtrd 2773 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  -cneg 11394  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„+crp 12923  [,)cico 13275  βŒŠcfl 13704   mod cmo 13783  β†‘cexp 13976  digitcdig 46771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-dig 46772
This theorem is referenced by:  0dig2pr01  46786  nn0sumshdiglem1  46797
  Copyright terms: Public domain W3C validator