Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig0 47602
Description: All digits of 0 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig0 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = 0)

Proof of Theorem dig0
StepHypRef Expression
1 0e0icopnf 13459 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
2 digval 47594 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡))
31, 2mp3an3 1447 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡))
4 nncn 12242 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 nnne0 12268 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 𝐡 β‰  0)
8 znegcl 12619 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ -𝐾 ∈ β„€)
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
105, 7, 9expclzd 14139 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚)
1110mul01d 11435 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 0) = 0)
1211fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) = (βŒŠβ€˜0))
13 0zd 12592 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ β„€)
14 flid 13797 . . . . . 6 (0 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜0) = 0)
1612, 15eqtrd 2767 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) = 0)
1716oveq1d 7429 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡) = (0 mod 𝐡))
18 nnrp 13009 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
19 0mod 13891 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2120adantr 480 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
2217, 21eqtrd 2767 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 0)) mod 𝐡) = 0)
233, 22eqtrd 2767 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267  -cneg 11467  β„•cn 12234  β„€cz 12580  β„+crp 12998  [,)cico 13350  βŒŠcfl 13779   mod cmo 13858  β†‘cexp 14050  digitcdig 47591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-dig 47592
This theorem is referenced by:  0dig2pr01  47606  nn0sumshdiglem1  47617
  Copyright terms: Public domain W3C validator