Theorem dig0 43248

Description: All digits of 0 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig0	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)

Proof of Theorem dig0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0e0icopnf 12573	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
2		digval 43240	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
3	1, 2	mp3an3 1580	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
4		nncn 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		nnne0 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
8		znegcl 11741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	expclzd 13308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
11	10	mul01d 10555	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵↑-𝐾) · 0) = 0)
12	11	fveq2d 6438	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = (⌊‘0))
13		0zd 11717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
14		flid 12905	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘0) = 0)
16	12, 15	eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = 0)
17	16	oveq1d 6921	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
18		nnrp 12126	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
19		0mod 12997	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 mod 𝐵) = 0)
21	20	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 mod 𝐵) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = 0)
23	3, 22	eqtrd 2862	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  0cc0 10253   · cmul 10258  +∞cpnf 10389  -cneg 10587  ℕcn 11351  ℤcz 11705  ℝ⁺crp 12113  [,)cico 12466  ⌊cfl 12887   mod cmo 12964  ↑cexp 13155  digitcdig 43237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ico 12470  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-dig 43238

This theorem is referenced by:  0dig2pr01  43252  nn0sumshdiglem1  43263