Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig0 45506
Description: All digits of 0 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig0 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)

Proof of Theorem dig0
StepHypRef Expression
1 0e0icopnf 12932 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
2 digval 45498 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
31, 2mp3an3 1451 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
4 nncn 11724 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
54adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 nnne0 11750 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
8 znegcl 12098 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
98adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
105, 7, 9expclzd 13607 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
1110mul01d 10917 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵↑-𝐾) · 0) = 0)
1211fveq2d 6678 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = (⌊‘0))
13 0zd 12074 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
14 flid 13269 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘0) = 0)
1612, 15eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = 0)
1716oveq1d 7185 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
18 nnrp 12483 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
19 0mod 13361 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (0 mod 𝐵) = 0)
2120adantr 484 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 mod 𝐵) = 0)
2217, 21eqtrd 2773 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = 0)
233, 22eqtrd 2773 1 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  0cc0 10615   · cmul 10620  +∞cpnf 10750  -cneg 10949  cn 11716  cz 12062  +crp 12472  [,)cico 12823  cfl 13251   mod cmo 13328  cexp 13521  digitcdig 45495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-ico 12827  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-dig 45496
This theorem is referenced by:  0dig2pr01  45510  nn0sumshdiglem1  45521
  Copyright terms: Public domain W3C validator