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Theorem dignn0fr 47287
Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignn0fr ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Proof of Theorem dignn0fr
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„•)
2 eldifi 4127 . . 3 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3 nn0re 12481 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4 nn0ge0 12497 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
5 elrege0 13431 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑁))
63, 4, 5sylanbrc 584 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 digval 47284 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡))
81, 2, 6, 7syl3an 1161 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡))
9 nnz 12579 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
10 eldif 3959 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0))
11 znnn0nn 12673 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„•)
1210, 11sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„•)
1312nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„•0)
14 zexpcl 14042 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„€)
159, 13, 14syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„€)
16153adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„€)
17 nn0z 12583 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
18173ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1916, 18zmulcld 12672 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ β„€)
20 flid 13773 . . . . 5 (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) = ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) = ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁))
2221oveq1d 7424 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡) = (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡))
23 nnre 12219 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
24 reexpcl 14044 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ ℝ)
2523, 13, 24syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ ℝ)
2625recnd 11242 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚)
27263adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚)
28 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
29283ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
30 nncn 12220 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
31 nnne0 12246 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
3230, 31jca 513 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0))
33323ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0))
34 div23 11891 . . . . . . 7 (((𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) = (((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) Β· 𝑁))
3527, 29, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) = (((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) Β· 𝑁))
36303ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
37313ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 β‰  0)
3812nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
39383ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
4036, 37, 39expm1d 14121 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) = ((𝐡↑-𝐾) / 𝐡))
4140eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) = (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)))
4241oveq1d 7424 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) Β· 𝑁) = ((𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) Β· 𝑁))
4335, 42eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) = ((𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) Β· 𝑁))
44 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . 9 (-𝐾 ∈ β„• β†’ (-𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4512, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ (-𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
46 zexpcl 14042 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ (-𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
479, 45, 46syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
48473adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4948, 18zmulcld 12672 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) Β· 𝑁) ∈ β„€)
5043, 49eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) ∈ β„€)
51253adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ ℝ)
5233ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5351, 52remulcld 11244 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ ℝ)
54 nnrp 12985 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
55543ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
56 mod0 13841 . . . . 5 ((((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ ((((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡) = 0 ↔ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) ∈ β„€))
5753, 55, 56syl2anc 585 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡) = 0 ↔ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) ∈ β„€))
5850, 57mpbird 257 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡) = 0)
5922, 58eqtrd 2773 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡) = 0)
608, 59eqtrd 2773 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„+crp 12974  [,)cico 13326  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027  digitcdig 47281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-dig 47282
This theorem is referenced by:  dig1  47294
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