Theorem dignn0fr 49916

Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0fr	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignn0fr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
2		eldifi 4070	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		nn0re 12639	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4		nn0ge0 12655	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elrege0 13609	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		digval 49913	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
8	1, 2, 6, 7	syl3an 1178	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
9		nnz 12738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10		eldif 4052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
11		znnn0nn 12834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
12	10, 11	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ0)
14		zexpcl 14243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℤ)
16	15	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℤ)
17		nn0z 12741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	16, 18	zmulcld 12833	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ)
20		flid 13972	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁))
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁))
22	21	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) mod 𝐵))
23		nnre 12366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24		reexpcl 14245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℝ)
25	23, 13, 24	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℂ)
27	26	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℂ)
28		nn0cn 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		nncn 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
31		nnne0 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
32	30, 31	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
33	32	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
34		div23 12017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑ -𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑ -𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
35	27, 29, 33, 34	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑ -𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
36	30	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
38	12	nnzd 12743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
40	36, 37, 39	expm1d 14323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑( -𝐾 − 1)) = ((𝐵↑ -𝐾) / 𝐵))
41	40	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑ -𝐾) / 𝐵) = (𝐵↑( -𝐾 − 1)))
42	41	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑ -𝐾) / 𝐵) · 𝑁) = ((𝐵↑( -𝐾 − 1)) · 𝑁))
43	35, 42	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = ((𝐵↑( -𝐾 − 1)) · 𝑁))
44		nnm1nn0 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝐾 ∈ ℕ → ( -𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45	12, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → ( -𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
46		zexpcl 14243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ( -𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑( -𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
47	9, 45, 46	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑( -𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
48	47	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑( -𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
49	48, 18	zmulcld 12833	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑( -𝐾 − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
50	43, 49	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ)
51	25	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑ -𝐾) ∈ ℝ)
52	3	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11363	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
54		nnrp 13156	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	54	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
56		mod0 14040	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
57	53, 55, 56	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
58	50, 57	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0)
59	22, 58	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑ -𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = 0)
60	8, 59	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229  +∞cpnf 11364   ≤ cle 11368   − cmin 11565   -cneg 11566   / cdiv 11997  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ℝ⁺crp 13144  [,)cico 13502  ⌊cfl 13954   mod cmo 14033  ↑cexp 14228  digitcdig 49910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-dig 49911

This theorem is used by:  dig1  49923