Theorem dignn0fr 48606

Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0fr	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignn0fr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
2		eldifi 4082	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		nn0re 12393	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4		nn0ge0 12409	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elrege0 13357	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		digval 48603	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
8	1, 2, 6, 7	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
9		nnz 12492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10		eldif 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
11		znnn0nn 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ0)
14		zexpcl 13983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
16	15	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
17		nn0z 12496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	16, 18	zmulcld 12586	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ)
20		flid 13712	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
22	21	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵))
23		nnre 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24		reexpcl 13985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
25	23, 13, 24	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
27	26	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
28		nn0cn 12394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		nncn 12136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
31		nnne0 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
32	30, 31	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
34		div23 11798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
35	27, 29, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
36	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
38	12	nnzd 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
40	36, 37, 39	expm1d 14063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) = ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵))
41	40	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) = (𝐵↑(-𝐾 − 1)))
42	41	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
43	35, 42	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
44		nnm1nn0 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
46		zexpcl 13983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
47	9, 45, 46	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
48	47	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
49	48, 18	zmulcld 12586	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
50	43, 49	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ)
51	25	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
52	3	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11145	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
54		nnrp 12905	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
56		mod0 13780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
57	53, 55, 56	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
58	50, 57	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0)
59	22, 58	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = 0)
60	8, 59	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  +∞cpnf 11146   ≤ cle 11150   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℝ⁺crp 12893  [,)cico 13250  ⌊cfl 13694   mod cmo 13773  ↑cexp 13968  digitcdig 48600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-dig 48601

This theorem is referenced by:  dig1  48613