Theorem dignn0fr 48590

Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0fr	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignn0fr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
2		eldifi 4094	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		nn0re 12451	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4		nn0ge0 12467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elrege0 13415	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		digval 48587	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
8	1, 2, 6, 7	syl3an 1160	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
9		nnz 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10		eldif 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
11		znnn0nn 12645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ0)
14		zexpcl 14041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
16	15	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
17		nn0z 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	16, 18	zmulcld 12644	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ)
20		flid 13770	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
22	21	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵))
23		nnre 12193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24		reexpcl 14043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
25	23, 13, 24	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
27	26	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
28		nn0cn 12452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		nncn 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
31		nnne0 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
32	30, 31	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
34		div23 11856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
35	27, 29, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
36	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
38	12	nnzd 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
40	36, 37, 39	expm1d 14121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) = ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵))
41	40	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) = (𝐵↑(-𝐾 − 1)))
42	41	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
43	35, 42	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
44		nnm1nn0 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
46		zexpcl 14041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
47	9, 45, 46	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
48	47	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
49	48, 18	zmulcld 12644	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
50	43, 49	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ)
51	25	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
52	3	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11204	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
54		nnrp 12963	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
56		mod0 13838	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
57	53, 55, 56	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
58	50, 57	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0)
59	22, 58	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = 0)
60	8, 59	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  +∞cpnf 11205   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  [,)cico 13308  ⌊cfl 13752   mod cmo 13831  ↑cexp 14026  digitcdig 48584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-dig 48585

This theorem is referenced by:  dig1  48597