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Theorem dignn0fr 47365
Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignn0fr ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Proof of Theorem dignn0fr
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„•)
2 eldifi 4126 . . 3 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3 nn0re 12483 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4 nn0ge0 12499 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
5 elrege0 13433 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑁))
63, 4, 5sylanbrc 583 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 digval 47362 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡))
81, 2, 6, 7syl3an 1160 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡))
9 nnz 12581 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
10 eldif 3958 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0))
11 znnn0nn 12675 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„•)
1210, 11sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„•)
1312nnnn0d 12534 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„•0)
14 zexpcl 14044 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„€)
159, 13, 14syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„€)
16153adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„€)
17 nn0z 12585 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
18173ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1916, 18zmulcld 12674 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ β„€)
20 flid 13775 . . . . 5 (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) = ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) = ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁))
2221oveq1d 7426 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡) = (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡))
23 nnre 12221 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
24 reexpcl 14046 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ ℝ)
2523, 13, 24syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ ℝ)
2625recnd 11244 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚)
27263adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚)
28 nn0cn 12484 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
29283ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
30 nncn 12222 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
31 nnne0 12248 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
3230, 31jca 512 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0))
33323ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0))
34 div23 11893 . . . . . . 7 (((𝐡↑-𝐾) ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) = (((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) Β· 𝑁))
3527, 29, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) = (((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) Β· 𝑁))
36303ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
37313ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 β‰  0)
3812nnzd 12587 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
39383ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ -𝐾 ∈ β„€)
4036, 37, 39expm1d 14123 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) = ((𝐡↑-𝐾) / 𝐡))
4140eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) = (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)))
4241oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) / 𝐡) Β· 𝑁) = ((𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) Β· 𝑁))
4335, 42eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) = ((𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) Β· 𝑁))
44 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . 9 (-𝐾 ∈ β„• β†’ (-𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4512, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) β†’ (-𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
46 zexpcl 14044 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ (-𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
479, 45, 46syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0)) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
48473adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4948, 18zmulcld 12674 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑(-𝐾 βˆ’ 1)) Β· 𝑁) ∈ β„€)
5043, 49eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) ∈ β„€)
51253adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑-𝐾) ∈ ℝ)
5233ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5351, 52remulcld 11246 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ ℝ)
54 nnrp 12987 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
55543ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
56 mod0 13843 . . . . 5 ((((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ ((((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡) = 0 ↔ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) ∈ β„€))
5753, 55, 56syl2anc 584 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡) = 0 ↔ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) / 𝐡) ∈ β„€))
5850, 57mpbird 256 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁) mod 𝐡) = 0)
5922, 58eqtrd 2772 . 2 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑-𝐾) Β· 𝑁)) mod 𝐡) = 0)
608, 59eqtrd 2772 1 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (β„€ βˆ– β„•0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„+crp 12976  [,)cico 13328  βŒŠcfl 13757   mod cmo 13836  β†‘cexp 14029  digitcdig 47359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-dig 47360
This theorem is referenced by:  dig1  47372
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