Theorem dignn0fr 45835

Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0fr	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignn0fr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
2		eldifi 4057	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		nn0re 12172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4		nn0ge0 12188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5		elrege0 13115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
6	3, 4, 5	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		digval 45832	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
8	1, 2, 6, 7	syl3an 1158	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
9		nnz 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10		eldif 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
11		znnn0nn 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ0)
14		zexpcl 13725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
16	15	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
17		nn0z 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	16, 18	zmulcld 12361	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ)
20		flid 13456	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
22	21	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵))
23		nnre 11910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24		reexpcl 13727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
25	23, 13, 24	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
26	25	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
27	26	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
28		nn0cn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		nncn 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
31		nnne0 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
32	30, 31	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
33	32	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
34		div23 11582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
35	27, 29, 33, 34	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
36	30	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
38	12	nnzd 12354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
39	38	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
40	36, 37, 39	expm1d 13802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) = ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵))
41	40	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) = (𝐵↑(-𝐾 − 1)))
42	41	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
43	35, 42	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
44		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
46		zexpcl 13725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
47	9, 45, 46	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
48	47	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
49	48, 18	zmulcld 12361	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
50	43, 49	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ)
51	25	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
52	3	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
54		nnrp 12670	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	54	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
56		mod0 13524	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
57	53, 55, 56	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
58	50, 57	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0)
59	22, 58	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = 0)
60	8, 59	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  [,)cico 13010  ⌊cfl 13438   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  digitcdig 45829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dig 45830

This theorem is referenced by:  dig1  45842