MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv 7279
Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . 3 (𝐷 = (𝐹𝐶) → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
21eqcoms 2739 . 2 ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
3 f1ocnvfv1 7277 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
43eqeq2d 2742 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))
52, 4imbitrid 243 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  ccnv 5675  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7280  f1oiso2  7352  curry1  8093  curry2  8096  dif1en  9163  dif1enOLD  9165  mapfienlem2  9404  infxpenc2lem1  10017  axcclem  10455  uzrdgfni  13928  uzrdgsuci  13930  fzennn  13938  axdc4uzlem  13953  seqf1olem1  14012  seqf1olem2  14013  hashginv  14299  sadaddlem  16412  xpsaddlem  17524  xpsvsca  17528  xpsle  17530  catcisolem  18065  mgmhmf1o  18626  mhmf1o  18719  ghmf1o  19163  lmhmf1o  20802  symgtgp  23831  xpsdsval  24108  cnvbraval  31631  madjusmdetlem2  33107  reprpmtf1o  33937  derangenlem  34461  subfacp1lem4  34473  subfacp1lem5  34474  cvmliftlem9  34583  rngoisocnv  37153  cdleme51finvfvN  39730  ltrniotacnvval  39757  dssmapclsntr  43183
  Copyright terms: Public domain W3C validator