Theorem f1ocnvfv 7256

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . 3 ⊢ (𝐷 = (𝐹‘𝐶) → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
2	1	eqcoms 2738	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
3		f1ocnvfv1 7254	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)
4	3	eqeq2d 2741	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) ↔ (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))
5	2, 4	imbitrid 244	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5640  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7257  f1oiso2  7330  curry1  8086  curry2  8089  dif1en  9130  dif1enOLD  9132  mapfienlem2  9364  infxpenc2lem1  9979  axcclem  10417  uzrdgfni  13930  uzrdgsuci  13932  fzennn  13940  axdc4uzlem  13955  seqf1olem1  14013  seqf1olem2  14014  hashginv  14306  sadaddlem  16443  xpsaddlem  17543  xpsvsca  17547  xpsle  17549  catcisolem  18079  mgmhmf1o  18634  mhmf1o  18730  ghmf1o  19187  lmhmf1o  20960  symgtgp  24000  xpsdsval  24276  noseqrdgfn  28207  noseqrdgsuc  28209  cnvbraval  32046  madjusmdetlem2  33825  reprpmtf1o  34624  derangenlem  35165  subfacp1lem4  35177  subfacp1lem5  35178  cvmliftlem9  35287  rngoisocnv  37982  cdleme51finvfvN  40556  ltrniotacnvval  40583  dssmapclsntr  44125  isubgr3stgrlem7  47975