Theorem f1ocnvfv 6677

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6332	. . 3 ⊢ (𝐷 = (𝐹‘𝐶) → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
2	1	eqcoms 2779	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
3		f1ocnvfv1 6675	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)
4	3	eqeq2d 2781	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) ↔ (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))
5	2, 4	syl5ib 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5248  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6678  f1oiso2  6745  curry1  7420  curry2  7423  mapfienlem2  8467  infxpenc2lem1  9042  axcclem  9481  uzrdgfni  12965  uzrdgsuci  12967  fzennn  12975  axdc4uzlem  12990  seqf1olem1  13047  seqf1olem2  13048  hashginv  13325  sadaddlem  15396  xpsaddlem  16443  xpsvsca  16447  xpsle  16449  catcisolem  16963  mhmf1o  17553  ghmf1o  17898  lmhmf1o  19259  symgtgp  22125  xpsdsval  22406  cnvbraval  29309  madjusmdetlem2  30234  reprpmtf1o  31044  derangenlem  31491  subfacp1lem4  31503  subfacp1lem5  31504  cvmliftlem9  31613  rngoisocnv  34112  cdleme51finvfvN  36364  ltrniotacnvval  36391  dssmapclsntr  38953  mgmhmf1o  42315