MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv 7278
Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . 3 (𝐷 = (𝐹𝐶) → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
21eqcoms 2738 . 2 ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
3 f1ocnvfv1 7276 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
43eqeq2d 2741 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))
52, 4imbitrid 243 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  ccnv 5674  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7279  f1oiso2  7351  curry1  8092  curry2  8095  dif1en  9162  dif1enOLD  9164  mapfienlem2  9403  infxpenc2lem1  10016  axcclem  10454  uzrdgfni  13927  uzrdgsuci  13929  fzennn  13937  axdc4uzlem  13952  seqf1olem1  14011  seqf1olem2  14012  hashginv  14298  sadaddlem  16411  xpsaddlem  17523  xpsvsca  17527  xpsle  17529  catcisolem  18064  mgmhmf1o  18625  mhmf1o  18718  ghmf1o  19162  lmhmf1o  20801  symgtgp  23830  xpsdsval  24107  cnvbraval  31630  madjusmdetlem2  33106  reprpmtf1o  33936  derangenlem  34460  subfacp1lem4  34472  subfacp1lem5  34473  cvmliftlem9  34582  rngoisocnv  37152  cdleme51finvfvN  39729  ltrniotacnvval  39756  dssmapclsntr  43182
  Copyright terms: Public domain W3C validator