Theorem f1ocnvfv 7233

Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝐷 = (𝐹‘𝐶) → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
2	1	eqcoms 2744	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)))
3		f1ocnvfv1 7231	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) = 𝐶)
4	3	eqeq2d 2747	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((◡𝐹‘𝐷) = (◡𝐹‘(𝐹‘𝐶)) ↔ (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))
5	2, 4	imbitrid 244	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) = 𝐷 → (◡𝐹‘𝐷) = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5630  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7234  f1oiso2  7307  curry1  8054  curry2  8057  dif1en  9096  mapfienlem2  9319  infxpenc2lem1  9941  axcclem  10379  uzrdgfni  13920  uzrdgsuci  13922  fzennn  13930  axdc4uzlem  13945  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  hashginv  14296  sadaddlem  16435  xpsaddlem  17537  xpsvsca  17541  xpsle  17543  catcisolem  18077  mgmhmf1o  18668  mhmf1o  18764  ghmf1o  19223  lmhmf1o  21041  symgtgp  24071  xpsdsval  24346  noseqrdgfn  28298  noseqrdgsuc  28300  cnvbraval  32181  madjusmdetlem2  33972  reprpmtf1o  34770  derangenlem  35353  subfacp1lem4  35365  subfacp1lem5  35366  cvmliftlem9  35475  rngoisocnv  38302  cdleme51finvfvN  41001  ltrniotacnvval  41028  dssmapclsntr  44556  isubgr3stgrlem7  48448