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Theorem elbigo2 47238
Description: Properties of a function of order G(x) under certain assumptions. (Contributed by AV, 17-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigo2 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺,π‘š,𝑦   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘š,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem elbigo2
StepHypRef Expression
1 elbigo 47237 . . . 4 (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
2 df-3an 1090 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
31, 2bitri 275 . . 3 (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
4 reex 11201 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
54, 4pm3.2i 472 . . . . . 6 (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
65a1i 11 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V))
7 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
87adantl 483 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
9 sstr2 3990 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ))
109adantld 492 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ))
1110adantl 483 . . . . . 6 ((𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ))
1211impcom 409 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
13 elpm2r 8839 . . . . 5 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
146, 8, 12, 13syl12anc 836 . . . 4 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
15 simpl 484 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ))
16 elpm2r 8839 . . . . 5 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
176, 15, 16syl2anc 585 . . . 4 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
18 ibar 530 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
1918bicomd 222 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) β†’ (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
2014, 17, 19syl2anc 585 . . 3 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
213, 20bitrid 283 . 2 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
22 elin 3965 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)))
23 fdm 6727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π΅βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐡)
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ dom 𝐹 = 𝐡)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝐡)
2625eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐡))
2726anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞))))
28 elicopnf 13422 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
2928ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3012ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
3130sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3231biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3329, 32bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
3433pm5.32da 580 . . . . . . . . 9 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3527, 34bitrd 279 . . . . . . . 8 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3622, 35bitrid 283 . . . . . . 7 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3736imbi1d 342 . . . . . 6 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
38 impexp 452 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
3937, 38bitrdi 287 . . . . 5 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))))
4039ralbidv2 3174 . . . 4 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
4140rexbidva 3177 . . 3 ((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
4241rexbidva 3177 . 2 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
4321, 42bitrd 279 1 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„cr 11109   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  ΞŸcbigo 47233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330  df-bigo 47234
This theorem is referenced by:  elbigo2r  47239  elbigoimp  47242  elbigolo1  47243
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