Theorem elbigo2 49758

Description: Properties of a function of order G(x) under certain assumptions. (Contributed by AV, 17-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigo2	⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝐴,𝑚,𝑥,𝑦   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦

Proof of Theorem elbigo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbigo 49757	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
2		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
3	1, 2	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
4		reex 11295	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
5	4, 4	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V))
7		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
9		sstr2 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐵 ⊆ ℝ))
10	9	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ))
11	10	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ))
12	11	impcom 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
13		elpm2r 8869	. . . . 5 ⊢ (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
14	6, 8, 12, 13	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
15		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
16		elpm2r 8869	. . . . 5 ⊢ (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
17	6, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
18		ibar 538	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
19	18	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) → (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
20	14, 17, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
21	3, 20	bitrid 286	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
22		elin 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)))
23		fdm 6720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐵⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐵)
24	23	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → dom 𝐹 = 𝐵)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐵)
26	25	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
27	26	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞))))
28		elicopnf 13580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	28	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
30	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
31	30	sselda 3908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
32	31	biantrurd 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
33	29, 32	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
34	33	pm5.32da 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
35	27, 34	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
36	22, 35	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
37	36	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
38		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
39	37, 38	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))))
40	39	ralbidv2 3181	. . . 4 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
41	40	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ ((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
42	41	rexbidva 3184	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
43	21, 42	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_pm cpm 8852  ℝcr 11203   · cmul 11209  +∞cpnf 11344   ≤ cle 11348  [,)cico 13482  Οcbigo 49753

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ico 13486  df-bigo 49754

This theorem is used by:  elbigo2r  49759  elbigoimp  49762  elbigolo1  49763