Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elbigo2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem elbigo2 47325
Description: Properties of a function of order G(x) under certain assumptions. (Contributed by AV, 17-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
elbigo2 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺,π‘š,𝑦   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘š,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem elbigo2
StepHypRef Expression
1 elbigo 47324 . . . 4 (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
2 df-3an 1087 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
31, 2bitri 274 . . 3 (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
4 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
54, 4pm3.2i 469 . . . . . 6 (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
65a1i 11 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V))
7 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
87adantl 480 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„)
9 sstr2 3988 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ))
109adantld 489 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† 𝐴 β†’ ((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ))
1110adantl 480 . . . . . 6 ((𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ))
1211impcom 406 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
13 elpm2r 8841 . . . . 5 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
146, 8, 12, 13syl12anc 833 . . . 4 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
15 simpl 481 . . . . 5 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ))
16 elpm2r 8841 . . . . 5 (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
176, 15, 16syl2anc 582 . . . 4 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
18 ibar 527 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
1918bicomd 222 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) β†’ (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
2014, 17, 19syl2anc 582 . . 3 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
213, 20bitrid 282 . 2 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))
22 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)))
23 fdm 6725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π΅βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐡)
2423ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ dom 𝐹 = 𝐡)
2524ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ dom 𝐹 = 𝐡)
2625eleq2d 2817 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐡))
2726anbi1d 628 . . . . . . . . 9 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞))))
28 elicopnf 13426 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
2928ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3012ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
3130sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3231biantrurd 531 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3329, 32bitr4d 281 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞) ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
3433pm5.32da 577 . . . . . . . . 9 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3527, 34bitrd 278 . . . . . . . 8 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3622, 35bitrid 282 . . . . . . 7 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)))
3736imbi1d 340 . . . . . 6 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
38 impexp 449 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
3937, 38bitrdi 286 . . . . 5 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦))))))
4039ralbidv2 3171 . . . 4 (((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
4140rexbidva 3174 . . 3 ((((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
4241rexbidva 3174 . 2 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ (π‘₯[,)+∞))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
4321, 42bitrd 278 1 (((𝐺:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ (𝐹:π΅βŸΆβ„ ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴)) β†’ (𝐹 ∈ (ΞŸβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (π‘š Β· (πΊβ€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„cr 11111   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253  [,)cico 13330  ΞŸcbigo 47320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13334  df-bigo 47321
This theorem is referenced by:  elbigo2r  47326  elbigoimp  47329  elbigolo1  47330
  Copyright terms: Public domain W3C validator