Theorem elbigo2 48677

Description: Properties of a function of order G(x) under certain assumptions. (Contributed by AV, 17-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigo2	⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝐴,𝑚,𝑥,𝑦   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦

Proof of Theorem elbigo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbigo 48676	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
2		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
3	1, 2	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
4		reex 11104	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
5	4, 4	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V))
7		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
9		sstr2 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐵 ⊆ ℝ))
10	9	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ))
12	11	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
13		elpm2r 8775	. . . . 5 ⊢ (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
14	6, 8, 12, 13	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
15		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
16		elpm2r 8775	. . . . 5 ⊢ (((ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
17	6, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
18		ibar 528	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
19	18	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) → (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
20	14, 17, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (((𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
21	3, 20	bitrid 283	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))
22		elin 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)))
23		fdm 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐵⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐵)
24	23	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → dom 𝐹 = 𝐵)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐵)
26	25	eleq2d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
27	26	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞))))
28		elicopnf 13347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	28	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
30	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
31	30	sselda 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
32	31	biantrurd 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
33	29, 32	bitr4d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
34	33	pm5.32da 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
35	27, 34	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
36	22, 35	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
37	36	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
38		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
39	37, 38	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))))
40	39	ralbidv2 3152	. . . 4 ⊢ (((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
41	40	rexbidva 3155	. . 3 ⊢ ((((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
42	41	rexbidva 3155	. 2 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
43	21, 42	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐵⟶ℝ ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_pm cpm 8757  ℝcr 11012   · cmul 11018  +∞cpnf 11150   ≤ cle 11154  [,)cico 13249  Οcbigo 48672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-ico 13253  df-bigo 48673

This theorem is referenced by:  elbigo2r  48678  elbigoimp  48681  elbigolo1  48682