Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0elcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elcarsg 34289
Description: The empty set is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
0elcarsg (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem 0elcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4406 . . 3 ∅ ⊆ 𝑂
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑂)
3 in0 4401 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ ∅) = ∅
43fveq2i 6910 . . . . . . 7 (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = (𝑀‘∅)
5 baselcarsg.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
64, 5eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = 0)
7 dif0 4384 . . . . . . . 8 (𝑒 ∖ ∅) = 𝑒
87fveq2i 6910 . . . . . . 7 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀𝑒)
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀𝑒))
106, 9oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀𝑒)))
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀𝑒)))
12 iccssxr 13467 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13 carsgval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
1413ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
1512, 14sselid 3993 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
16 xaddlid 13281 . . . . 5 ((𝑀𝑒) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝑒)) = (𝑀𝑒))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑀𝑒)) = (𝑀𝑒))
1811, 17eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀𝑒))
1918ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀𝑒))
20 carsgval.1 . . 3 (𝜑𝑂𝑉)
2120, 13elcarsg 34287 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∅ ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀𝑒))))
222, 19, 21mpbir2and 713 1 (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   +𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387  toCaraSigaccarsg 34283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-xadd 13153  df-icc 13391  df-carsg 34284
This theorem is referenced by:  carsggect  34300  omsmeas  34305
  Copyright terms: Public domain W3C validator