Theorem 0elcarsg 34477

Description: The empty set is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
0elcarsg	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem 0elcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑂)
3		in0 4348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ ∅) = ∅
4	3	fveq2i 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = (𝑀‘∅)
5		baselcarsg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	4, 5	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = 0)
7		dif0 4331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ ∅) = 𝑒
8	7	fveq2i 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒))
10	6, 9	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
12		iccssxr 13351	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
14	13	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 14	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
16		xaddlid 13162	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
18	11, 17	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
19	18	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
20		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
21	20, 13	elcarsg 34475	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∅ ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))))
22	2, 19, 21	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11031  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   +_𝑒 cxad 13029  [,]cicc 13269  toCaraSigaccarsg 34471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-xadd 13032  df-icc 13273  df-carsg 34472

This theorem is referenced by:  carsggect  34488  omsmeas  34493