Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0elcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elcarsg 31592
Description: The empty set is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
0elcarsg (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem 0elcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4333 . . 3 ∅ ⊆ 𝑂
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑂)
3 in0 4328 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ ∅) = ∅
43fveq2i 6662 . . . . . . 7 (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = (𝑀‘∅)
5 baselcarsg.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
64, 5syl5eq 2871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = 0)
7 dif0 4315 . . . . . . . 8 (𝑒 ∖ ∅) = 𝑒
87fveq2i 6662 . . . . . . 7 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀𝑒)
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀𝑒))
106, 9oveq12d 7164 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀𝑒)))
1110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀𝑒)))
12 iccssxr 12815 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13 carsgval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
1413ffvelrnda 6840 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
1512, 14sseldi 3951 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
16 xaddid2 12630 . . . . 5 ((𝑀𝑒) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝑒)) = (𝑀𝑒))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑀𝑒)) = (𝑀𝑒))
1811, 17eqtrd 2859 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀𝑒))
1918ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀𝑒))
20 carsgval.1 . . 3 (𝜑𝑂𝑉)
2120, 13elcarsg 31590 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∅ ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀𝑒))))
222, 19, 21mpbir2and 712 1 (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  c0 4276  𝒫 cpw 4522  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   +𝑒 cxad 12500  [,]cicc 12736  toCaraSigaccarsg 31586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-xadd 12503  df-icc 12740  df-carsg 31587
This theorem is referenced by:  carsggect  31603  omsmeas  31608
  Copyright terms: Public domain W3C validator