Theorem 0elcarsg 33592

Description: The empty set is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
0elcarsg	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem 0elcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4396	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑂)
3		in0 4391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ ∅) = ∅
4	3	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = (𝑀‘∅)
5		baselcarsg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	4, 5	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = 0)
7		dif0 4372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ ∅) = 𝑒
8	7	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒))
10	6, 9	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
12		iccssxr 13411	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
14	13	ffvelcdmda 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 14	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
16		xaddlid 13225	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
18	11, 17	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
19	18	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
20		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
21	20, 13	elcarsg 33590	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∅ ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))))
22	2, 19, 21	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   +_𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  toCaraSigaccarsg 33586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-xadd 13097  df-icc 13335  df-carsg 33587

This theorem is referenced by:  carsggect  33603  omsmeas  33608