Theorem 0elcarsg 34141

Description: The empty set is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
0elcarsg	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem 0elcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4401	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑂)
3		in0 4396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ ∅) = ∅
4	3	fveq2i 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = (𝑀‘∅)
5		baselcarsg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	4, 5	eqtrid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = 0)
7		dif0 4377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ ∅) = 𝑒
8	7	fveq2i 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒))
10	6, 9	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
11	10	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
12		iccssxr 13461	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
14	13	ffvelcdmda 7098	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 14	sselid 3977	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
16		xaddlid 13275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
18	11, 17	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
19	18	ralrimiva 3136	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
20		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
21	20, 13	elcarsg 34139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∅ ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))))
22	2, 19, 21	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  𝒫 cpw 4607  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  ℝ^*cxr 11297   +_𝑒 cxad 13144  [,]cicc 13381  toCaraSigaccarsg 34135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-xadd 13147  df-icc 13385  df-carsg 34136

This theorem is referenced by:  carsggect  34152  omsmeas  34157