Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baselcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baselcarsg 31674
 Description: The universe set, 𝑂, is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
baselcarsg (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem baselcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3938 . . 3 (𝜑𝑂𝑂)
2 elpwi 4506 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑒𝑂)
32adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒𝑂)
4 df-ss 3898 . . . . . . . 8 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = 𝑒)
53, 4sylib 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = 𝑒)
65fveq2d 6649 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑂)) = (𝑀𝑒))
7 ssdif0 4277 . . . . . . . . 9 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = ∅)
83, 7sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = ∅)
98fveq2d 6649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑂)) = (𝑀‘∅))
10 baselcarsg.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
1110adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
129, 11eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑂)) = 0)
136, 12oveq12d 7153 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = ((𝑀𝑒) +𝑒 0))
14 iccssxr 12808 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
1615adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
17 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
1816, 17ffvelrnd 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sseldi 3913 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
20 xaddid1 12622 . . . . . 6 ((𝑀𝑒) ∈ ℝ* → ((𝑀𝑒) +𝑒 0) = (𝑀𝑒))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀𝑒) +𝑒 0) = (𝑀𝑒))
2213, 21eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒))
2322ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒))
241, 23jca 515 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒)))
25 carsgval.1 . . 3 (𝜑𝑂𝑉)
2625, 15elcarsg 31673 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝑂𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒))))
2724, 26mpbird 260 1 (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ*cxr 10663   +𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  toCaraSigaccarsg 31669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-xadd 12496  df-icc 12733  df-carsg 31670 This theorem is referenced by:  carsguni  31676  fiunelcarsg  31684  carsgsiga  31690
 Copyright terms: Public domain W3C validator