Theorem baselcarsg 34804

Description: The universe set, 𝑂, is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
baselcarsg	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem baselcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ⊆ 𝑂)
2		elpwi 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝑒 ⊆ 𝑂)
3	2	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ⊆ 𝑂)
4		dfss2 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
5	3, 4	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
6	5	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) = (𝑀‘𝑒))
7		ssdif0 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
8	3, 7	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
9	8	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂)) = (𝑀‘∅))
10		baselcarsg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
12	9, 11	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂)) = 0)
13	6, 12	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = ((𝑀‘𝑒) +𝑒 0))
14		iccssxr 13485	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
18	16, 17	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
19	14, 18	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
20		xaddrid 13295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* → ((𝑀‘𝑒) +𝑒 0) = (𝑀‘𝑒))
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘𝑒) +𝑒 0) = (𝑀‘𝑒))
22	13, 21	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒))
23	22	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒))
24	1, 23	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒)))
25		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
26	25, 15	elcarsg 34803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝑂 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒))))
27	24, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   +_𝑒 cxad 13163  [,]cicc 13403  toCaraSigaccarsg 34799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-xadd 13166  df-icc 13407  df-carsg 34800

This theorem is used by:  carsguni  34806  fiunelcarsg  34814  carsgsiga  34820