Theorem baselcarsg 34438

Description: The universe set, 𝑂, is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
baselcarsg	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem baselcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ⊆ 𝑂)
2		elpwi 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝑒 ⊆ 𝑂)
3	2	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ⊆ 𝑂)
4		dfss2 3903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
5	3, 4	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝑂) = 𝑒)
6	5	fveq2d 6833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) = (𝑀‘𝑒))
7		ssdif0 4296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ⊆ 𝑂 ↔ (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
8	3, 7	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝑂) = ∅)
9	8	fveq2d 6833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂)) = (𝑀‘∅))
10		baselcarsg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
12	9, 11	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂)) = 0)
13	6, 12	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = ((𝑀‘𝑒) +𝑒 0))
14		iccssxr 13372	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15		carsgval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
18	16, 17	ffvelcdmd 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
19	14, 18	sselid 3915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
20		xaddrid 13182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* → ((𝑀‘𝑒) +𝑒 0) = (𝑀‘𝑒))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘𝑒) +𝑒 0) = (𝑀‘𝑒))
22	13, 21	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒))
23	22	ralrimiva 3127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒))
24	1, 23	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒)))
25		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
26	25, 15	elcarsg 34437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝑂 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝑂))) = (𝑀‘𝑒))))
27	24, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263  𝒫 cpw 4531  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   +_𝑒 cxad 13050  [,]cicc 13290  toCaraSigaccarsg 34433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-xadd 13053  df-icc 13294  df-carsg 34434

This theorem is referenced by:  carsguni  34440  fiunelcarsg  34448  carsgsiga  34454