Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem carsgclctun 33320
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
carsgsiga.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
carsgclctun.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
carsgclctun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
carsgclctun (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem carsgclctun
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgclctun.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
21unissd 4919 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
3 carsgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
4 carsgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5 carsgsiga.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
63, 4, 5carsguni 33307 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
72, 6sseqtrd 4023 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑂)
83adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
94adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
105adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
11 carsgsiga.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
12113adant1r 1178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
13 carsgsiga.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
14133adant1r 1178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
15 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
171adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
18 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
198, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18carsgclctunlem3 33319 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’))
20 inex1g 5320 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ V)
2120adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ V)
22 difexg 5328 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ V)
2322adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ V)
24 prct 31939 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ V) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰)
2521, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰)
2618elpwincl1 31763 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2718elpwdifcl 31764 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28 prssi 4825 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂)
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂)
30 prex 5433 . . . . . . . . 9 {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} ∈ V
31 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰))
32 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂))
3331, 323anbi23d 1440 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) ↔ (πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂)))
34 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)})
3534fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}))
36 esumeq1 33032 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
3735, 36breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) ↔ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦)))
3833, 37imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))))
3938, 11vtoclg 3557 . . . . . . . . 9 ({(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} ∈ V β†’ ((πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦)))
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
41403adant1r 1178 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
4225, 29, 41mpd3an23 1464 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
43 uniprg 4926 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
4426, 27, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
45 inundif 4479 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) = 𝑒
4644, 45eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} = 𝑒)
4746fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) = (π‘€β€˜π‘’))
48 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) β†’ 𝑦 = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴))
4948fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)))
50 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ 𝑦 = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))
5150fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
529, 26ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
539, 27ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54 ineq2 4207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) β†’ ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
55 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)
56 inindif 31754 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) = βˆ…
5754, 55, 563eqtr3g 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = βˆ…)
5857adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = βˆ…)
5958fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
605ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
6159, 60eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = 0)
6261orcd 872 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = 0 ∨ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = +∞))
6362ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = 0 ∨ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = +∞)))
6449, 51, 26, 27, 52, 53, 63esumpr2 33065 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦) = ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))
6542, 47, 643brtr3d 5180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))
6619, 65jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’) ∧ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))))
67 iccssxr 13407 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
6867, 52sselid 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
6967, 53sselid 3981 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
7068, 69xaddcld 13280 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
714ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (0[,]+∞))
7267, 71sselid 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 13133 . . . . 5 ((((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜π‘’) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’) ∧ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))))
7470, 72, 73syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’) ∧ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))))
7566, 74mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
7675ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
773, 4elcarsg 33304 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))))
787, 76, 77mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   +𝑒 cxad 13090  [,]cicc 13327  Ξ£*cesum 33025  toCaraSigaccarsg 33300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-esum 33026  df-carsg 33301
This theorem is referenced by:  carsgsiga  33321  omsmeas  33322
  Copyright terms: Public domain W3C validator