Theorem carsgclctun 34819

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
carsgclctun	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem carsgclctun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgclctun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
2	1	unissd 4880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (toCaraSiga‘𝑀))
3		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5		carsgsiga.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	3, 4, 5	carsguni 34806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
7	2, 6	sseqtrd 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑂)
8	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
9	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
11		carsgsiga.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
12	11	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
13		carsgsiga.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
14	13	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
15		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ≼ ω)
17	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
18		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
19	8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18	carsgclctunlem3 34818	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒))
20		inex1g 5286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
21	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
22		difexg 5298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
23	22	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
24		prct 33172	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
26	18	elpwincl1 32986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
27	18	elpwdifcl 32987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28		prssi 4785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
30		prex 5407	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V
31		breq1 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω))
32		sseq1 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂))
33	31, 32	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)))
34		unieq 4881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ∪ 𝑥 = ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)})
35	34	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}))
36		esumeq1 34531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
37	35, 36	breq12d 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
38	33, 37	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))))
39	38, 11	vtoclg 3520	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
41	40	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
42	25, 29, 41	mpd3an23 1492	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
43		uniprg 4886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
44	26, 27, 43	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
45		inundif 4438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = 𝑒
46	44, 45	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = 𝑒)
47	46	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) = (𝑀‘𝑒))
48		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴))
49	48	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)))
50		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴))
51	50	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
52	9, 26	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
53	9, 27	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54		ineq2 4163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
55		inidm 4175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)
56		inindif 4327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = ∅
57	54, 55, 56	3eqtr3g 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
59	58	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
60	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
61	59, 60	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0)
62	61	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞))
63	62	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞)))
64	49, 51, 26, 27, 52, 53, 63	esumpr2 34564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
65	42, 47, 64	3brtr3d 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
66	19, 65	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))))
67		iccssxr 13485	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
68	67, 52	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
69	67, 53	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
70	68, 69	xaddcld 13355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
71	4	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
72	67, 71	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 13207	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
74	70, 72, 73	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
75	66, 74	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
76	75	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
77	3, 4	elcarsg 34803	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∪ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
78	7, 76, 77	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {cpr 4589  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ωcom 7865   ≼ cdom 8953  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271   +_𝑒 cxad 13163  [,]cicc 13403  Σ^*cesum 34524  toCaraSigaccarsg 34799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-ordt 17591  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-ps 18658  df-tsr 18659  df-plusf 18733  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-abv 20976  df-lmod 21047  df-scaf 21048  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-tmd 24299  df-tgp 24300  df-tsms 24354  df-trg 24387  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-nm 24809  df-ngp 24810  df-nrg 24812  df-nlm 24813  df-ii 25106  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-esum 34525  df-carsg 34800

This theorem is used by:  carsgsiga  34820  omsmeas  34821