Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctun 32725
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
carsgsiga.3 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
carsgclctun.1 (𝜑𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
carsgclctun (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctun
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgclctun.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
21unissd 4874 . . 3 (𝜑 𝐴 (toCaraSiga‘𝑀))
3 carsgval.1 . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
4 carsgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5 carsgsiga.1 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
63, 4, 5carsguni 32712 . . 3 (𝜑 (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
72, 6sseqtrd 3983 . 2 (𝜑 𝐴𝑂)
83adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑂𝑉)
94adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
105adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
11 carsgsiga.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
12113adant1r 1178 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
13 carsgsiga.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
14133adant1r 1178 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
15 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≼ ω)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ≼ ω)
171adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
18 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
198, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18carsgclctunlem3 32724 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) ≤ (𝑀𝑒))
20 inex1g 5275 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 𝐴) ∈ V)
2120adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 𝐴) ∈ V)
22 difexg 5283 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 𝐴) ∈ V)
2322adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 𝐴) ∈ V)
24 prct 31456 . . . . . . . 8 (((𝑒 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 𝐴) ∈ V) → {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω)
2521, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω)
2618elpwincl1 31281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2718elpwdifcl 31282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28 prssi 4780 . . . . . . . 8 (((𝑒 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
30 prex 5388 . . . . . . . . 9 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ∈ V
31 breq1 5107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω))
32 sseq1 3968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂))
3331, 323anbi23d 1440 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)))
34 unieq 4875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → 𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)})
3534fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → (𝑀 𝑥) = (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}))
36 esumeq1 32437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦))
3735, 36breq12d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → ((𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦) ↔ (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦)))
3833, 37imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} → (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦))))
3938, 11vtoclg 3524 . . . . . . . . 9 ({(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦)))
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦))
41403adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦))
4225, 29, 41mpd3an23 1464 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦))
43 uniprg 4881 . . . . . . . . 9 (((𝑒 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} = ((𝑒 𝐴) ∪ (𝑒 𝐴)))
4426, 27, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} = ((𝑒 𝐴) ∪ (𝑒 𝐴)))
45 inundif 4437 . . . . . . . 8 ((𝑒 𝐴) ∪ (𝑒 𝐴)) = 𝑒
4644, 45eqtrdi 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} = 𝑒)
4746fveq2d 6844 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)}) = (𝑀𝑒))
48 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 𝐴))
4948fveq2d 6844 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 𝐴)) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑒 𝐴)))
50 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 𝐴))
5150fveq2d 6844 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 𝐴)) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑒 𝐴)))
529, 26ffvelcdmd 7033 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
539, 27ffvelcdmd 7033 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54 ineq2 4165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴) → ((𝑒 𝐴) ∩ (𝑒 𝐴)) = ((𝑒 𝐴) ∩ (𝑒 𝐴)))
55 inidm 4177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 𝐴) ∩ (𝑒 𝐴)) = (𝑒 𝐴)
56 inindif 31271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 𝐴) ∩ (𝑒 𝐴)) = ∅
5754, 55, 563eqtr3g 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴) → (𝑒 𝐴) = ∅)
5857adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴)) → (𝑒 𝐴) = ∅)
5958fveq2d 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 𝐴)) = (𝑀‘∅))
605ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
6159, 60eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 𝐴)) = 0)
6261orcd 872 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 𝐴)) = +∞))
6362ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 𝐴) = (𝑒 𝐴) → ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 𝐴)) = +∞)))
6449, 51, 26, 27, 52, 53, 63esumpr2 32470 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 𝐴), (𝑒 𝐴)} (𝑀𝑦) = ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))))
6542, 47, 643brtr3d 5135 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))))
6619, 65jca 513 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴)))))
67 iccssxr 13302 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6867, 52sselid 3941 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 𝐴)) ∈ ℝ*)
6967, 53sselid 3941 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 𝐴)) ∈ ℝ*)
7068, 69xaddcld 13175 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) ∈ ℝ*)
714ffvelcdmda 7032 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
7267, 71sselid 3941 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 13028 . . . . 5 ((((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) = (𝑀𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))))))
7470, 72, 73syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) = (𝑀𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))))))
7566, 74mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) = (𝑀𝑒))
7675ralrimiva 3142 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) = (𝑀𝑒))
773, 4elcarsg 32709 . 2 (𝜑 → ( 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝐴))) = (𝑀𝑒))))
787, 76, 77mpbir2and 712 1 (𝜑 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  Vcvv 3444  cdif 3906  cun 3907  cin 3908  wss 3909  c0 4281  𝒫 cpw 4559  {cpr 4587   cuni 4864   class class class wbr 5104  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  ωcom 7795  cdom 8840  0cc0 11010  +∞cpnf 11145  *cxr 11147  cle 11149   +𝑒 cxad 12986  [,]cicc 13222  Σ*cesum 32430  toCaraSigaccarsg 32705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-ac2 10358  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088  ax-addf 11089  ax-mulf 11090
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8607  df-map 8726  df-pm 8727  df-ixp 8795  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-dju 9796  df-card 9834  df-acn 9837  df-ac 10011  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-ioo 13223  df-ioc 13224  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-mod 13730  df-seq 13862  df-exp 13923  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913  df-pi 15915  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-ordt 17343  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-ps 18415  df-tsr 18416  df-plusf 18456  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-subrg 20173  df-abv 20229  df-lmod 20277  df-scaf 20278  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-tmd 23375  df-tgp 23376  df-tsms 23430  df-trg 23463  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-nm 23890  df-ngp 23891  df-nrg 23893  df-nlm 23894  df-ii 24192  df-cncf 24193  df-limc 25182  df-dv 25183  df-log 25864  df-esum 32431  df-carsg 32706
This theorem is referenced by:  carsgsiga  32726  omsmeas  32727
  Copyright terms: Public domain W3C validator