Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem carsgclctun 33389
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
carsgsiga.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
carsgclctun.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
carsgclctun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
carsgclctun (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem carsgclctun
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carsgclctun.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
21unissd 4918 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
3 carsgval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
4 carsgval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5 carsgsiga.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
63, 4, 5carsguni 33376 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (toCaraSigaβ€˜π‘€) = 𝑂)
72, 6sseqtrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑂)
83adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
94adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
105adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
11 carsgsiga.2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
12113adant1r 1177 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
13 carsgsiga.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
14133adant1r 1177 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
15 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
171adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
18 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
198, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18carsgclctunlem3 33388 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’))
20 inex1g 5319 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ V)
2120adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ V)
22 difexg 5327 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ V)
2322adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ V)
24 prct 31977 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ V) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰)
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰)
2618elpwincl1 31801 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2718elpwdifcl 31802 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28 prssi 4824 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂)
30 prex 5432 . . . . . . . . 9 {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} ∈ V
31 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰))
32 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂))
3331, 323anbi23d 1439 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) ↔ (πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂)))
34 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)})
3534fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}))
36 esumeq1 33101 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
3735, 36breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) ↔ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦)))
3833, 37imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))))
3938, 11vtoclg 3556 . . . . . . . . 9 ({(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} ∈ V β†’ ((πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦)))
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
41403adant1r 1177 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
4225, 29, 41mpd3an23 1463 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
43 uniprg 4925 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
4426, 27, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
45 inundif 4478 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) βˆͺ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) = 𝑒
4644, 45eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} = 𝑒)
4746fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)}) = (π‘€β€˜π‘’))
48 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) β†’ 𝑦 = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴))
4948fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)))
50 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ 𝑦 = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))
5150fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
529, 26ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
539, 27ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54 ineq2 4206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) β†’ ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
55 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)
56 inindif 31792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) ∩ (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) = βˆ…
5754, 55, 563eqtr3g 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = βˆ…)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = βˆ…)
5958fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
605ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
6159, 60eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = 0)
6261orcd 871 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = 0 ∨ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = +∞))
6362ex 413 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = 0 ∨ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) = +∞)))
6449, 51, 26, 27, 52, 53, 63esumpr2 33134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴), (𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦) = ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))
6542, 47, 643brtr3d 5179 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))
6619, 65jca 512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’) ∧ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)))))
67 iccssxr 13409 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
6867, 52sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
6967, 53sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
7068, 69xaddcld 13282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
714ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (0[,]+∞))
7267, 71sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ ℝ*)
73 xrletri3 13135 . . . . 5 ((((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜π‘’) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’) ∧ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))))
7470, 72, 73syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜π‘’) ∧ (π‘€β€˜π‘’) ≀ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))))))
7566, 74mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
7675ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
773, 4elcarsg 33373 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))))
787, 76, 77mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {cpr 4630  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   ≀ cle 11251   +𝑒 cxad 13092  [,]cicc 13329  Ξ£*cesum 33094  toCaraSigaccarsg 33369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-ordt 17449  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-subrg 20321  df-abv 20429  df-lmod 20477  df-scaf 20478  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-tmd 23583  df-tgp 23584  df-tsms 23638  df-trg 23671  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nrg 24101  df-nlm 24102  df-ii 24400  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-esum 33095  df-carsg 33370
This theorem is referenced by:  carsgsiga  33390  omsmeas  33391
  Copyright terms: Public domain W3C validator