Theorem carsgclctun 34286

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
carsgclctun	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgclctun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
2	1	unissd 4941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (toCaraSiga‘𝑀))
3		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5		carsgsiga.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	3, 4, 5	carsguni 34273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
7	2, 6	sseqtrd 4049	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑂)
8	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
9	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
11		carsgsiga.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
12	11	3adant1r 1177	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
13		carsgsiga.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
14	13	3adant1r 1177	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
15		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ≼ ω)
17	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
19	8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18	carsgclctunlem3 34285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒))
20		inex1g 5337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
22		difexg 5347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
24		prct 32728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
25	21, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
26	18	elpwincl1 32555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
27	18	elpwdifcl 32556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28		prssi 4846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
30		prex 5452	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V
31		breq1 5169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω))
32		sseq1 4034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂))
33	31, 32	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)))
34		unieq 4942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ∪ 𝑥 = ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)})
35	34	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}))
36		esumeq1 33998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
37	35, 36	breq12d 5179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
38	33, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))))
39	38, 11	vtoclg 3566	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
41	40	3adant1r 1177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
42	25, 29, 41	mpd3an23 1463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
43		uniprg 4947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
44	26, 27, 43	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
45		inundif 4502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = 𝑒
46	44, 45	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = 𝑒)
47	46	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) = (𝑀‘𝑒))
48		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴))
49	48	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴))
51	50	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
52	9, 26	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
53	9, 27	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54		ineq2 4235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
55		inidm 4248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)
56		inindif 32546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = ∅
57	54, 55, 56	3eqtr3g 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
59	58	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
60	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
61	59, 60	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0)
62	61	orcd 872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞))
63	62	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞)))
64	49, 51, 26, 27, 52, 53, 63	esumpr2 34031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
65	42, 47, 64	3brtr3d 5197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
66	19, 65	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))))
67		iccssxr 13490	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
68	67, 52	sselid 4006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
69	67, 53	sselid 4006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
70	68, 69	xaddcld 13363	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
71	4	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
72	67, 71	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 13216	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
74	70, 72, 73	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
75	66, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
76	75	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
77	3, 4	elcarsg 34270	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∪ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
78	7, 76, 77	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325   +_𝑒 cxad 13173  [,]cicc 13410  Σ^*cesum 33991  toCaraSigaccarsg 34266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-abv 20832  df-lmod 20882  df-scaf 20883  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tmd 24101  df-tgp 24102  df-tsms 24156  df-trg 24189  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nrg 24619  df-nlm 24620  df-ii 24922  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-esum 33992  df-carsg 34267

This theorem is referenced by:  carsgsiga  34287  omsmeas  34288