Theorem carsgclctun 34302

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
carsgclctun	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgclctun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
2	1	unissd 4921	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (toCaraSiga‘𝑀))
3		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5		carsgsiga.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	3, 4, 5	carsguni 34289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
7	2, 6	sseqtrd 4035	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑂)
8	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
9	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
11		carsgsiga.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
12	11	3adant1r 1176	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
13		carsgsiga.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
14	13	3adant1r 1176	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
15		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ≼ ω)
17	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
19	8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18	carsgclctunlem3 34301	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒))
20		inex1g 5324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
22		difexg 5334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
24		prct 32731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
26	18	elpwincl1 32552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
27	18	elpwdifcl 32553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28		prssi 4825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
30		prex 5442	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V
31		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω))
32		sseq1 4020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂))
33	31, 32	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)))
34		unieq 4922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ∪ 𝑥 = ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)})
35	34	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}))
36		esumeq1 34014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
37	35, 36	breq12d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
38	33, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))))
39	38, 11	vtoclg 3553	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
41	40	3adant1r 1176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
42	25, 29, 41	mpd3an23 1462	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
43		uniprg 4927	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
44	26, 27, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
45		inundif 4484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = 𝑒
46	44, 45	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = 𝑒)
47	46	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) = (𝑀‘𝑒))
48		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴))
49	48	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴))
51	50	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
52	9, 26	ffvelcdmd 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
53	9, 27	ffvelcdmd 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54		ineq2 4221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
55		inidm 4234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)
56		inindif 4380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = ∅
57	54, 55, 56	3eqtr3g 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
59	58	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
60	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
61	59, 60	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0)
62	61	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞))
63	62	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞)))
64	49, 51, 26, 27, 52, 53, 63	esumpr2 34047	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
65	42, 47, 64	3brtr3d 5178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
66	19, 65	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))))
67		iccssxr 13466	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
68	67, 52	sselid 3992	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
69	67, 53	sselid 3992	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
70	68, 69	xaddcld 13339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
71	4	ffvelcdmda 7103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
72	67, 71	sselid 3992	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 13192	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
74	70, 72, 73	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
75	66, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
76	75	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
77	3, 4	elcarsg 34286	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∪ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
78	7, 76, 77	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  {cpr 4632  ∪ cuni 4911   class class class wbr 5147  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886   ≼ cdom 8981  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293   +_𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386  Σ^*cesum 34007  toCaraSigaccarsg 34282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-plusf 18664  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-abv 20826  df-lmod 20876  df-scaf 20877  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-tmd 24095  df-tgp 24096  df-tsms 24150  df-trg 24183  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nrg 24613  df-nlm 24614  df-ii 24916  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-esum 34008  df-carsg 34283

This theorem is referenced by:  carsgsiga  34303  omsmeas  34304