Theorem carsgclctun 34487

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
carsgclctun	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctun

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgclctun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
2	1	unissd 4861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (toCaraSiga‘𝑀))
3		carsgval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		carsgval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5		carsgsiga.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	3, 4, 5	carsguni 34474	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (toCaraSiga‘𝑀) = 𝑂)
7	2, 6	sseqtrd 3959	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑂)
8	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑂 ∈ 𝑉)
9	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
11		carsgsiga.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
12	11	3adant1r 1179	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
13		carsgsiga.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
14	13	3adant1r 1179	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
15		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ≼ ω)
17	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
19	8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18	carsgclctunlem3 34486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒))
20		inex1g 5259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V)
22		difexg 5269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V)
24		prct 32807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ V ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ V) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
25	21, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω)
26	18	elpwincl1 32616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
27	18	elpwdifcl 32617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
28		prssi 4765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)
30		prex 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V
31		breq1 5089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ≼ ω ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω))
32		sseq1 3948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂))
33	31, 32	3anbi23d 1442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂)))
34		unieq 4862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ∪ 𝑥 = ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)})
35	34	fveq2d 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}))
36		esumeq1 34200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
37	35, 36	breq12d 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
38	33, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))))
39	38, 11	vtoclg 3500	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ∈ V → ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦)))
40	30, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
41	40	3adant1r 1179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ≼ ω ∧ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
42	25, 29, 41	mpd3an23 1466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦))
43		uniprg 4867	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
44	26, 27, 43	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
45		inundif 4420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∪ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = 𝑒
46	44, 45	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} = 𝑒)
47	46	fveq2d 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)}) = (𝑀‘𝑒))
48		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴))
49	48	fveq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴))
51	50	fveq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
52	9, 26	ffvelcdmd 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
53	9, 27	ffvelcdmd 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
54		ineq2 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))
55		inidm 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑒 ∩ ∪ 𝐴)
56		inindif 4316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) ∩ (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) = ∅
57	54, 55, 56	3eqtr3g 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
59	58	fveq2d 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
60	5	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
61	59, 60	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0)
62	61	orcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ (𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞))
63	62	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ ∪ 𝐴) = (𝑒 ∖ ∪ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = 0 ∨ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) = +∞)))
64	49, 51, 26, 27, 52, 53, 63	esumpr2 34233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → Σ*𝑦 ∈ {(𝑒 ∩ ∪ 𝐴), (𝑒 ∖ ∪ 𝐴)} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
65	42, 47, 64	3brtr3d 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))
66	19, 65	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)))))
67		iccssxr 13380	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
68	67, 52	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
69	67, 53	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
70	68, 69	xaddcld 13250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
71	4	ffvelcdmda 7034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
72	67, 71	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 13102	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
74	70, 72, 73	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))))))
75	66, 74	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
76	75	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
77	3, 4	elcarsg 34471	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∪ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
78	7, 76, 77	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  ωcom 7814   ≼ cdom 8888  0cc0 11035  +∞cpnf 11173  ℝ^*cxr 11175   ≤ cle 11177   +_𝑒 cxad 13058  [,]cicc 13298  Σ^*cesum 34193  toCaraSigaccarsg 34467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-ac2 10382  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113  ax-addf 11114  ax-mulf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9822  df-card 9860  df-acn 9863  df-ac 10035  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-ioo 13299  df-ioc 13300  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-fl 13748  df-mod 13826  df-seq 13961  df-exp 14021  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15026  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-limsup 15430  df-clim 15447  df-rlim 15448  df-sum 15646  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-rest 17382  df-topn 17383  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-topgen 17403  df-pt 17404  df-prds 17407  df-ordt 17462  df-xrs 17463  df-qtop 17468  df-imas 17469  df-xps 17471  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-plusf 18604  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-mulg 19041  df-subg 19096  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-subrng 20520  df-subrg 20544  df-abv 20783  df-lmod 20854  df-scaf 20855  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22875  df-topon 22892  df-topsp 22914  df-bases 22927  df-cld 23000  df-ntr 23001  df-cls 23002  df-nei 23079  df-lp 23117  df-perf 23118  df-cn 23208  df-cnp 23209  df-haus 23296  df-tx 23543  df-hmeo 23736  df-fil 23827  df-fm 23919  df-flim 23920  df-flf 23921  df-tmd 24053  df-tgp 24054  df-tsms 24108  df-trg 24141  df-xms 24301  df-ms 24302  df-tms 24303  df-nm 24563  df-ngp 24564  df-nrg 24566  df-nlm 24567  df-ii 24860  df-cncf 24861  df-limc 25849  df-dv 25850  df-log 26539  df-esum 34194  df-carsg 34468

This theorem is referenced by:  carsgsiga  34488  omsmeas  34489