Theorem inelcarsg 34309

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
inelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem inelcarsg

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difelcarsg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
3		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	elcarsg 34303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
5	1, 4	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
6	5	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
7		ssinss1 4212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂)
9		iccssxr 13398	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
12	11	elpwdifcl 32462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
13	10, 12	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*)
15	11	elpwincl1 32461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
16	15	elpwdifcl 32462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
17	10, 16	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
18	9, 17	sselid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19	11	elpwdifcl 32462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
20	10, 19	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
21	9, 20	sselid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
22	18, 21	xaddcld 13268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) ∈ ℝ*)
23	11	elpwincl1 32461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
24	10, 23	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
25	9, 24	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*)
26		indifundif 32460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))
27	26	fveq2i 6864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))
28		inelcarsg.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
29	28	3expb 1120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
30	29	ralrimivva 3181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
32		uneq1 4127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑎 ∪ 𝑏) = (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏))
33	32	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)))
34		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)))
35	34	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
36	33, 35	breq12d 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏))))
37		uneq2 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏) = (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴)))
38	37	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))))
39		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
40	39	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
41	38, 40	breq12d 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → ((𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
42	36, 41	rspc2v 3602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏))) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
44	16, 19, 31, 43	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
45	27, 44	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
46		xleadd2a 13221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
47	14, 22, 25, 45, 46	syl31anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
48		inelcarsg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
49	2, 3	elcarsg 34303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓)))
51	50	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))
53		ineq1 4179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑓 ∩ 𝐵) = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵))
54	53	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)))
55		difeq1 4085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑓 ∖ 𝐵) = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))
56	55	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)))
57	54, 56	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))))
58		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
59	57, 58	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴)) → (((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
61	15, 60	rspcdv 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
62	52, 61	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
63	62	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
64	15	elpwincl1 32461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
65	10, 64	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
66		xrge0addass 32964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
67	65, 17, 20, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
68		inass 4194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
69	68	fveq2i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)))
70	69	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
71	67, 70	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
72	5	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
73	72	r19.21bi 3230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
74	63, 71, 73	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
75	47, 74	breqtrd 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒))
76		inundif 4445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 𝑒
77	76	fveq2i 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒)
78		uneq1 4127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑎 ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏))
79	78	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)))
80		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))))
81	80	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
82	79, 81	breq12d 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏))))
83		uneq2 4128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
84	83	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
85		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
86	85	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
87	84, 86	breq12d 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
88	82, 87	rspc2v 3602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
89	88	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏))) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
90	23, 12, 31, 89	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
91	77, 90	eqbrtrrid 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
92	75, 91	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
93	25, 14	xaddcld 13268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ ℝ*)
94	3	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
95	9, 94	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
96		xrletri3 13121	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))))
97	93, 95, 96	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))))
98	92, 97	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))
99	98	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))
100	8, 99	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒)))
101	2, 3	elcarsg 34303	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))))
102	100, 101	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   +_𝑒 cxad 13077  [,]cicc 13316  toCaraSigaccarsg 34299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-xadd 13080  df-icc 13320  df-carsg 34300

This theorem is referenced by:  unelcarsg  34310  difelcarsg2  34311