Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelcarsg 32519
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
inelcarsg.2 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
inelcarsg (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem inelcarsg
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difelcarsg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2 carsgval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
3 carsgval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
42, 3elcarsg 32513 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
51, 4mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
65simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐴𝑂)
7 ssinss1 4183 . . . 4 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑂)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑂)
9 iccssxr 13255 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
103adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
11 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
1211elpwdifcl 31103 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
1310, 12ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
149, 13sselid 3929 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ*)
1511elpwincl1 31102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
1615elpwdifcl 31103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
1710, 16ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
189, 17sselid 3929 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
1911elpwdifcl 31103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2010, 19ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
219, 20sselid 3929 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
2218, 21xaddcld 13128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) ∈ ℝ*)
2311elpwincl1 31102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
2410, 23ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
259, 24sselid 3929 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ*)
26 indifundif 31101 . . . . . . . . . 10 (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵))
2726fveq2i 6822 . . . . . . . . 9 (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))
28 inelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
29283expb 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
3029ralrimivva 3193 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
32 uneq1 4102 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑎𝑏) = (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏))
3332fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)))
34 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀𝑎) = (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)))
3534oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏)))
3633, 35breq12d 5102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏))))
37 uneq2 4103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑒𝐴) → (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏) = (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴)))
3837fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑒𝐴) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))))
39 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑒𝐴) → (𝑀𝑏) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
4039oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑒𝐴) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
4138, 40breq12d 5102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒𝐴) → ((𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
4236, 41rspc2v 3579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
4342imp 407 . . . . . . . . . 10 (((((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏))) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
4416, 19, 31, 43syl21anc 835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
4527, 44eqbrtrrid 5125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
46 xleadd2a 13081 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
4714, 22, 25, 45, 46syl31anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
48 inelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
492, 3elcarsg 32513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐵𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓))))
5048, 49mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓)))
5150simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓))
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓))
53 ineq1 4151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑓𝐵) = ((𝑒𝐴) ∩ 𝐵))
5453fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑀‘(𝑓𝐵)) = (𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)))
55 difeq1 4061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑓𝐵) = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))
5655fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑀‘(𝑓𝐵)) = (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)))
5754, 56oveq12d 7347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒𝐴) → ((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))))
58 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑀𝑓) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
5957, 58eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6059adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑓 = (𝑒𝐴)) → (((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6115, 60rspcdv 3562 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6252, 61mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
6362oveq1d 7344 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6415elpwincl1 31102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝐴) ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
6510, 64ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
66 xrge0addass 31527 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
6765, 17, 20, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
68 inass 4165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵))
6968fveq2i 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵)))
7069oveq1i 7339 . . . . . . . . 9 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
7167, 70eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
725simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
7372r19.21bi 3230 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
7463, 71, 733eqtr3d 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))) = (𝑀𝑒))
7547, 74breqtrd 5115 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒))
76 inundif 4424 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) = 𝑒
7776fveq2i 6822 . . . . . . 7 (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒)
78 uneq1 4102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → (𝑎𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏))
7978fveq2d 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)))
80 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → (𝑀𝑎) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))))
8180oveq1d 7344 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏)))
8279, 81breq12d 5102 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → ((𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏))))
83 uneq2 4103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))
8483fveq2d 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
85 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → (𝑀𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))
8685oveq2d 7345 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
8784, 86breq12d 5102 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))))
8882, 87rspc2v 3579 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))))
8988imp 407 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏))) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
9023, 12, 31, 89syl21anc 835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
9177, 90eqbrtrrid 5125 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
9275, 91jca 512 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))))
9325, 14xaddcld 13128 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ∈ ℝ*)
943ffvelcdmda 7011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
959, 94sselid 3929 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
96 xrletri3 12981 . . . . . 6 ((((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))))
9793, 95, 96syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))))
9892, 97mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒))
9998ralrimiva 3139 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒))
1008, 99jca 512 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒)))
1012, 3elcarsg 32513 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒))))
102100, 101mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  cdif 3894  cun 3895  cin 3896  wss 3897  𝒫 cpw 4546   class class class wbr 5089  wf 6469  cfv 6473  (class class class)co 7329  0cc0 10964  +∞cpnf 11099  *cxr 11101  cle 11103   +𝑒 cxad 12939  [,]cicc 13175  toCaraSigaccarsg 32509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-xadd 12942  df-icc 13179  df-carsg 32510
This theorem is referenced by:  unelcarsg  32520  difelcarsg2  32521
  Copyright terms: Public domain W3C validator