Theorem inelcarsg 34824

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
inelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem inelcarsg

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difelcarsg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
3		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	elcarsg 34818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
5	1, 4	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
6	5	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
7		ssinss1 4194	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂)
9		iccssxr 13485	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10	3	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
11		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
12	11	elpwdifcl 33002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
13	10, 12	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*)
15	11	elpwincl1 33001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
16	15	elpwdifcl 33002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
17	10, 16	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
18	9, 17	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19	11	elpwdifcl 33002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
20	10, 19	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
21	9, 20	sselid 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
22	18, 21	xaddcld 13355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) ∈ ℝ*)
23	11	elpwincl1 33001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
24	10, 23	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
25	9, 24	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*)
26		indifundif 33000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))
27	26	fveq2i 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))
28		inelcarsg.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
29	28	3expb 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
30	29	ralrimivva 3207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
32		uneq1 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑎 ∪ 𝑏) = (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏))
33	32	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)))
34		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)))
35	34	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
36	33, 35	breq12d 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏))))
37		uneq2 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏) = (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴)))
38	37	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))))
39		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
40	39	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
41	38, 40	breq12d 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → ((𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
42	36, 41	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
43	42	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏))) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
44	16, 19, 31, 43	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
45	27, 44	eqbrtrrid 5145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
46		xleadd2a 13308	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
47	14, 22, 25, 45, 46	syl31anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
48		inelcarsg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
49	2, 3	elcarsg 34818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))))
50	48, 49	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓)))
51	50	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))
53		ineq1 4162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑓 ∩ 𝐵) = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵))
54	53	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)))
55		difeq1 4070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑓 ∖ 𝐵) = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))
56	55	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)))
57	54, 56	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))))
58		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
59	57, 58	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
60	59	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴)) → (((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
61	15, 60	rspcdv 3571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
62	52, 61	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
63	62	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
64	15	elpwincl1 33001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
65	10, 64	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
66		xrge0addass 33458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
67	65, 17, 20, 66	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
68		inass 4176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
69	68	fveq2i 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)))
70	69	oveq1i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
71	67, 70	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
72	5	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
73	72	r19.21bi 3256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
74	63, 71, 73	3eqtr3d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
75	47, 74	breqtrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒))
76		inundif 4438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 𝑒
77	76	fveq2i 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒)
78		uneq1 4111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑎 ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏))
79	78	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)))
80		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))))
81	80	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
82	79, 81	breq12d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏))))
83		uneq2 4112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
84	83	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
85		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
86	85	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
87	84, 86	breq12d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
88	82, 87	rspc2v 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
89	88	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏))) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
90	23, 12, 31, 89	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
91	77, 90	eqbrtrrid 5145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
92	75, 91	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
93	25, 14	xaddcld 13355	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ ℝ*)
94	3	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
95	9, 94	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
96		xrletri3 13207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))))
97	93, 95, 96	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))))
98	92, 97	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))
99	98	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))
100	8, 99	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒)))
101	2, 3	elcarsg 34818	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))))
102	100, 101	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271   +_𝑒 cxad 13163  [,]cicc 13403  toCaraSigaccarsg 34814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-xadd 13166  df-icc 13407  df-carsg 34815

This theorem is used by:  unelcarsg  34825  difelcarsg2  34826