Theorem inelcarsg 34145

Description: The Caratheodory measurable sets are closed under intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
inelcarsg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
inelcarsg	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem inelcarsg

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difelcarsg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
3		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	elcarsg 34139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))))
5	1, 4	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒)))
6	5	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
7		ssinss1 4239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂)
9		iccssxr 13461	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10	3	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
11		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
12	11	elpwdifcl 32453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
13	10, 12	ffvelcdmd 7099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sselid 3977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*)
15	11	elpwincl1 32452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
16	15	elpwdifcl 32453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
17	10, 16	ffvelcdmd 7099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
18	9, 17	sselid 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19	11	elpwdifcl 32453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
20	10, 19	ffvelcdmd 7099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
21	9, 20	sselid 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ*)
22	18, 21	xaddcld 13334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) ∈ ℝ*)
23	11	elpwincl1 32452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
24	10, 23	ffvelcdmd 7099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
25	9, 24	sselid 3977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*)
26		indifundif 32451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴)) = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))
27	26	fveq2i 6904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))
28		inelcarsg.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
29	28	3expb 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
30	29	ralrimivva 3191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
31	30	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
32		uneq1 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑎 ∪ 𝑏) = (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏))
33	32	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)))
34		fveq2 6901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)))
35	34	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
36	33, 35	breq12d 5166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏))))
37		uneq2 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏) = (((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴)))
38	37	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))))
39		fveq2 6901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))
40	39	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
41	38, 40	breq12d 5166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ 𝐴) → ((𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
42	36, 41	rspc2v 3619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
43	42	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏))) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
44	16, 19, 31, 43	syl21anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒 ∖ 𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
45	27, 44	eqbrtrrid 5189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
46		xleadd2a 13287	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
47	14, 22, 25, 45, 46	syl31anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
48		inelcarsg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
49	2, 3	elcarsg 34139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))))
50	48, 49	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓)))
51	50	simprd 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))
52	51	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓))
53		ineq1 4206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑓 ∩ 𝐵) = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵))
54	53	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)))
55		difeq1 4114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑓 ∖ 𝐵) = ((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))
56	55	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)))
57	54, 56	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → ((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))))
58		fveq2 6901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
59	57, 58	eqeq12d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴) → (((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
60	59	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑓 = (𝑒 ∩ 𝐴)) → (((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
61	15, 60	rspcdv 3600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓 ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓 ∖ 𝐵))) = (𝑀‘𝑓) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴))))
62	52, 61	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)))
63	62	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
64	15	elpwincl1 32452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
65	10, 64	ffvelcdmd 7099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
66		xrge0addass 32899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
67	65, 17, 20, 66	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
68		inass 4221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
69	68	fveq2i 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)))
70	69	oveq1i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))))
71	67, 70	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))))
72	5	simprd 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
73	72	r19.21bi 3239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴))) = (𝑀‘𝑒))
74	63, 71, 73	3eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒 ∩ 𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ 𝐴)))) = (𝑀‘𝑒))
75	47, 74	breqtrd 5179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒))
76		inundif 4483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 𝑒
77	76	fveq2i 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒)
78		uneq1 4156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑎 ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏))
79	78	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)))
80		fveq2 6901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))))
81	80	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)))
82	79, 81	breq12d 5166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏))))
83		uneq2 4157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
84	83	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
85		fveq2 6901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))
86	85	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
87	84, 86	breq12d 5166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
88	82, 87	rspc2v 3619	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
89	88	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂∀𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎 ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘𝑎) +𝑒 (𝑀‘𝑏))) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
90	23, 12, 31, 89	syl21anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
91	77, 90	eqbrtrrid 5189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
92	75, 91	jca 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
93	25, 14	xaddcld 13334	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ ℝ*)
94	3	ffvelcdmda 7098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
95	9, 94	sselid 3977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
96		xrletri3 13187	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))))
97	93, 95, 96	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ≤ (𝑀‘𝑒) ∧ (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))))))
98	92, 97	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))
99	98	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))
100	8, 99	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒)))
101	2, 3	elcarsg 34139	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵)))) = (𝑀‘𝑒))))
102	100, 101	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4607   class class class wbr 5153  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  ℝ^*cxr 11297   ≤ cle 11299   +_𝑒 cxad 13144  [,]cicc 13381  toCaraSigaccarsg 34135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-xadd 13147  df-icc 13385  df-carsg 34136

This theorem is referenced by:  unelcarsg  34146  difelcarsg2  34147