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Theorem inelcarsg 30889
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
inelcarsg.2 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
inelcarsg (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem inelcarsg
Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difelcarsg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2 carsgval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
3 carsgval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
42, 3elcarsg 30883 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
51, 4mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
65simpld 489 . . . 4 (𝜑𝐴𝑂)
7 ssinss1 4037 . . . 4 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑂)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑂)
9 iccssxr 12505 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
103adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
11 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
1211elpwdifcl 29876 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
1310, 12ffvelrnd 6586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
149, 13sseldi 3796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ*)
1511elpwincl1 29875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
1615elpwdifcl 29876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
1710, 16ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
189, 17sseldi 3796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
1911elpwdifcl 29876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2010, 19ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
219, 20sseldi 3796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
2218, 21xaddcld 12380 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) ∈ ℝ*)
2311elpwincl1 29875 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂)
2410, 23ffvelrnd 6586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
259, 24sseldi 3796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ*)
26 indifundif 29874 . . . . . . . . . 10 (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵))
2726fveq2i 6414 . . . . . . . . 9 (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))
28 inelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
29283expb 1150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
3029ralrimivva 3152 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
3130adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
32 uneq1 3958 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑎𝑏) = (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏))
3332fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)))
34 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → (𝑀𝑎) = (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)))
3534oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏)))
3633, 35breq12d 4856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) → ((𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏))))
37 uneq2 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑒𝐴) → (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏) = (((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴)))
3837fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑒𝐴) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))))
39 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑒𝐴) → (𝑀𝑏) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
4039oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑒𝐴) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
4138, 40breq12d 4856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒𝐴) → ((𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
4236, 41rspc2v 3510 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
4342imp 396 . . . . . . . . . 10 (((((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏))) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
4416, 19, 31, 43syl21anc 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(((𝑒𝐴) ∖ 𝐵) ∪ (𝑒𝐴))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
4527, 44syl5eqbrr 4879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
46 xleadd2a 12333 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) ≤ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
4714, 22, 25, 45, 46syl31anc 1493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
48 inelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
492, 3elcarsg 30883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐵𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓))))
5048, 49mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝑂 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓)))
5150simprd 490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓))
5251adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓))
53 ineq1 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑓𝐵) = ((𝑒𝐴) ∩ 𝐵))
5453fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑀‘(𝑓𝐵)) = (𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)))
55 difeq1 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑓𝐵) = ((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))
5655fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑀‘(𝑓𝐵)) = (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)))
5754, 56oveq12d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒𝐴) → ((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))))
58 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (𝑀𝑓) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
5957, 58eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑒𝐴) → (((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6059adantl 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑓 = (𝑒𝐴)) → (((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓) ↔ ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6115, 60rspcdv 3500 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑓𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑓𝐵))) = (𝑀𝑓) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6252, 61mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
6362oveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
6415elpwincl1 29875 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝐴) ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 𝑂)
6510, 64ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
66 xrge0addass 30206 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
6765, 17, 20, 66syl3anc 1491 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
68 inass 4019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵))
6968fveq2i 6414 . . . . . . . . . 10 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵)))
7069oveq1i 6888 . . . . . . . . 9 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
7167, 70syl6eq 2849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘((𝑒𝐴) ∩ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))))
725simprd 490 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
7372r19.21bi 3113 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
7463, 71, 733eqtr3d 2841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 ((𝑀‘((𝑒𝐴) ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴)))) = (𝑀𝑒))
7547, 74breqtrd 4869 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒))
76 inundif 4240 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵))) = 𝑒
7776fveq2i 6414 . . . . . . 7 (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒)
78 uneq1 3958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → (𝑎𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏))
7978fveq2d 6415 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)))
80 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → (𝑀𝑎) = (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))))
8180oveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏)))
8279, 81breq12d 4856 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) → ((𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏))))
83 uneq2 3959 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏) = ((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))
8483fveq2d 6415 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)) = (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
85 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → (𝑀𝑏) = (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))
8685oveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏)) = ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
8784, 86breq12d 4856 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ 𝑏)) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀𝑏)) ↔ (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))))
8882, 87rspc2v 3510 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))))
8988imp 396 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)) ∈ 𝒫 𝑂) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂(𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏))) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
9023, 12, 31, 89syl21anc 867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘((𝑒 ∩ (𝐴𝐵)) ∪ (𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
9177, 90syl5eqbrr 4879 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))
9275, 91jca 508 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵))))))
9325, 14xaddcld 12380 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ∈ ℝ*)
943ffvelrnda 6585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
959, 94sseldi 3796 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
96 xrletri3 12234 . . . . . 6 ((((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝑒) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))))
9793, 95, 96syl2anc 580 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒) ↔ (((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) ≤ (𝑀𝑒) ∧ (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))))))
9892, 97mpbird 249 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒))
9998ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒))
1008, 99jca 508 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒)))
1012, 3elcarsg 30883 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝐴𝐵))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝐴𝐵)))) = (𝑀𝑒))))
102100, 101mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  cdif 3766  cun 3767  cin 3768  wss 3769  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  +∞cpnf 10360  *cxr 10362  cle 10364   +𝑒 cxad 12191  [,]cicc 12427  toCaraSigaccarsg 30879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-xadd 12194  df-icc 12431  df-carsg 30880
This theorem is referenced by:  unelcarsg  30890  difelcarsg2  30891
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