Theorem imaelfm 23912

Description: An image of a filter element is in the image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
imaelfm.l	⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)

Assertion

Ref	Expression
imaelfm	⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Proof of Theorem imaelfm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimass 6692	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑌⟶𝑋 → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
2	1	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
3		ssid 3958	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)
4		imaeq2 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑆))
5	4	sseq1d 3967	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆) ↔ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)))
6	5	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))
7	3, 6	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))
8	2, 7	anim12i 614	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)))
9		imaelfm.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
10	9	elfm2 23909	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   “ cima 5637  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  fBascfbas 21314  filGencfg 21315   FilMap cfm 23894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-fm 23899

This theorem is referenced by:  rnelfm  23914  fmfnfmlem2  23916  fmfnfmlem4  23918  fmfnfm  23919  fmco  23922  isfcf  23995  cnextcn  24028