Theorem imaelfm 24164

Description: An image of a filter element is in the image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
imaelfm.l	⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)

Assertion

Ref	Expression
imaelfm	⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Proof of Theorem imaelfm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimass 6731	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑌⟶𝑋 → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
2	1	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
3		ssid 3960	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)
4		imaeq2 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑆))
5	4	sseq1d 3969	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆) ↔ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)))
6	5	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))
7	3, 6	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))
8	2, 7	anim12i 625	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)))
9		imaelfm.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
10	9	elfm2 24161	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))))
11	10	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))))
12	8, 11	mpbird 260	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   “ cima 5666  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  fBascfbas 21565  filGencfg 21566   FilMap cfm 24146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-fbas 21574  df-fg 21575  df-fm 24151

This theorem is used by:  rnelfm  24166  fmfnfmlem2  24168  fmfnfmlem4  24170  fmfnfm  24171  fmco  24174  isfcf  24247  cnextcn  24280