Theorem imaelfm 23893

Description: An image of a filter element is in the image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
imaelfm.l	⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)

Assertion

Ref	Expression
imaelfm	⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Proof of Theorem imaelfm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimass 6680	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑌⟶𝑋 → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋)
3		ssid 3954	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)
4		imaeq2 6013	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑆))
5	4	sseq1d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆) ↔ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)))
6	5	rspcev 3574	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))
7	3, 6	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))
8	2, 7	anim12i 613	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆)))
9		imaelfm.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
10	9	elfm2 23890	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ((𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))))
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → ((𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (𝐹 “ 𝑆))))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐿) → (𝐹 “ 𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  fBascfbas 21295  filGencfg 21296   FilMap cfm 23875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-fm 23880

This theorem is referenced by:  rnelfm  23895  fmfnfmlem2  23897  fmfnfmlem4  23899  fmfnfm  23900  fmco  23903  isfcf  23976  cnextcn  24009