MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaelfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelfm 23676
Description: An image of a filter element is in the image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
imaelfm.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
imaelfm (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Proof of Theorem imaelfm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fimass 6738 . . . 4 (𝐹:𝑌𝑋 → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
213ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
3 ssid 4004 . . . 4 (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)
4 imaeq2 6055 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
54sseq1d 4013 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆) ↔ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)))
65rspcev 3612 . . . 4 ((𝑆𝐿 ∧ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
73, 6mpan2 688 . . 3 (𝑆𝐿 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
82, 7anim12i 612 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆)))
9 imaelfm.l . . . 4 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
109elfm2 23673 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
1110adantr 480 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
128, 11mpbird 257 1 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  wss 3948  cima 5679  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  fBascfbas 21133  filGencfg 21134   FilMap cfm 23658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-fm 23663
This theorem is referenced by:  rnelfm  23678  fmfnfmlem2  23680  fmfnfmlem4  23682  fmfnfm  23683  fmco  23686  isfcf  23759  cnextcn  23792
  Copyright terms: Public domain W3C validator