MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imaelfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imaelfm 23386
Description: An image of a filter element is in the image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
imaelfm.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
imaelfm (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))

Proof of Theorem imaelfm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fimass 6726 . . . 4 (𝐹:𝑌𝑋 → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
213ad2ant3 1135 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑆) ⊆ 𝑋)
3 ssid 4001 . . . 4 (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)
4 imaeq2 6046 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
54sseq1d 4010 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆) ↔ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)))
65rspcev 3610 . . . 4 ((𝑆𝐿 ∧ (𝐹𝑆) ⊆ (𝐹𝑆)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
73, 6mpan2 689 . . 3 (𝑆𝐿 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))
82, 7anim12i 613 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆)))
9 imaelfm.l . . . 4 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
109elfm2 23383 . . 3 ((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
1110adantr 481 . 2 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → ((𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ ((𝐹𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ (𝐹𝑆))))
128, 11mpbird 256 1 (((𝑋𝐴𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑆𝐿) → (𝐹𝑆) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  wss 3945  cima 5673  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7394  fBascfbas 20868  filGencfg 20869   FilMap cfm 23368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-fbas 20877  df-fg 20878  df-fm 23373
This theorem is referenced by:  rnelfm  23388  fmfnfmlem2  23390  fmfnfmlem4  23392  fmfnfm  23393  fmco  23396  isfcf  23469  cnextcn  23502
  Copyright terms: Public domain W3C validator