Theorem elpmapat 40269

Description: Member of the projective map of an atom. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))

Proof of Theorem elpmapat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
3	1, 2	pmapat 40268	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})
4	3	eleq2d 2827	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ {𝑃}))
5		elsn2g 4598	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
6	5	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
7	4, 6	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4557  ‘cfv 6488  Atomscatm 39768  HLchlt 39855  pmapcpmap 40002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-glb 18306  df-p0 18384  df-lat 18393  df-covers 39771  df-ats 39772  df-atl 39803  df-cvlat 39827  df-hlat 39856  df-pmap 40009

This theorem is referenced by:  pmapjat1  40358