Theorem elpmapat 40198

Description: Member of the projective map of an atom. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))

Proof of Theorem elpmapat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
3	1, 2	pmapat 40197	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})
4	3	eleq2d 2821	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ {𝑃}))
5		elsn2g 4598	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
7	4, 6	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4557  ‘cfv 6487  Atomscatm 39697  HLchlt 39784  pmapcpmap 39931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-glb 18300  df-p0 18378  df-lat 18387  df-covers 39700  df-ats 39701  df-atl 39732  df-cvlat 39756  df-hlat 39785  df-pmap 39938

This theorem is referenced by:  pmapjat1  40287