Theorem elpmapat 40741

Description: Member of the projective map of an atom. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))

Proof of Theorem elpmapat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
3	1, 2	pmapat 40740	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})
4	3	eleq2d 2846	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ {𝑃}))
5		elsn2g 4624	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ {𝑃} ↔ 𝑋 = 𝑃))
7	4, 6	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∈ (𝑀‘𝑃) ↔ 𝑋 = 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4583  ‘cfv 6527  Atomscatm 40240  HLchlt 40327  pmapcpmap 40474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-proset 18429  df-poset 18448  df-plt 18463  df-glb 18480  df-p0 18558  df-lat 18567  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328  df-pmap 40481

This theorem is used by:  pmapjat1  40830