Theorem pmap0 39759

Description: Value of the projective map of a Hilbert lattice at lattice zero. Part of Theorem 15.5.1 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmap0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
pmap0.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmap0	⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)

Proof of Theorem pmap0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		pmap0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3	1, 2	atl0cl 39296	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6		pmap0.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	1, 4, 5, 6	pmapval 39751	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘ 0 ) = {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 })
8	3, 7	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 })
9	4, 2, 5	atnle0 39302	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑎(le‘𝐾) 0 )
10	9	nrexdv 3128	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ¬ ∃𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑎(le‘𝐾) 0 )
11		rabn0 4352	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑎(le‘𝐾) 0 )
12	10, 11	sylnibr 329	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ¬ {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } ≠ ∅)
13		nne 2929	. . 3 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } ≠ ∅ ↔ {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } = ∅)
14	12, 13	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } = ∅)
15	8, 14	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3405  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  0.cp0 18382  Atomscatm 39256  AtLatcal 39257  pmapcpmap 39491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-glb 18306  df-p0 18384  df-lat 18391  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-pmap 39498

This theorem is referenced by:  pmapeq0  39760  pmapjat1  39847  pol1N  39904  pnonsingN  39927