Theorem pmap0 40929

Description: Value of the projective map of a Hilbert lattice at lattice zero. Part of Theorem 15.5.1 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmap0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
pmap0.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmap0	⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)

Proof of Theorem pmap0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		pmap0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
3	1, 2	atl0cl 40467	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6		pmap0.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	1, 4, 5, 6	pmapval 40921	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘ 0 ) = {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 })
8	3, 7	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 })
9	4, 2, 5	atnle0 40473	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑎(le‘𝐾) 0 )
10	9	nrexdv 3157	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ¬ ∃𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑎(le‘𝐾) 0 )
11		rabn0 4338	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑎(le‘𝐾) 0 )
12	10, 11	sylnibr 332	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ¬ {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } ≠ ∅)
13		nne 2959	. . 3 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } ≠ ∅ ↔ {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } = ∅)
14	12, 13	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → {𝑎 ∈ (Atoms‘𝐾) ∣ 𝑎(le‘𝐾) 0 } = ∅)
15	8, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  lecple 17442  0.cp0 18602  Atomscatm 40427  AtLatcal 40428  pmapcpmap 40661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-proset 18475  df-poset 18494  df-plt 18509  df-glb 18526  df-p0 18604  df-lat 18613  df-covers 40430  df-ats 40431  df-atl 40462  df-pmap 40668

This theorem is used by:  pmapeq0  40930  pmapjat1  41017  pol1N  41074  pnonsingN  41097