Theorem pmapjat1 40911

Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjat1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
6		pmapjat.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	2, 3, 6	pmapssat 40817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
8	1, 5, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
9		pmapjat.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	3, 9	padd02 40870	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
13		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14		hlatl 40418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
17	16, 6	pmap0 40823	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
18	15, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
19	13, 18	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) = ∅)
20	19	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) = (∅ + (𝑀‘𝑄)))
21		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 ∨ 𝑄) = ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄))
22		hlol 40419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24		pmapjat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25	2, 24, 16	olj02 40284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
26	23, 5, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
27	21, 26	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑄) = 𝑄)
28	27	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
29	12, 20, 28	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
30		simpll1 1231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32		simpll2 1232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
35		simpll3 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
37	33, 34, 36	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
38		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))
40		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
41	2, 40, 24, 16, 3	cvrat42 40502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
42	41	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
43	31, 37, 38, 39, 42	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
44	43	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
45	2, 40, 3, 6	elpmap 40816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46	45	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47		df-rex 3087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
48	3, 6	elpmapat 40822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49	48	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
50	49	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
51	50	exbidv 1953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
52	47, 51	bitr2id 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
53		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑄))
54	53	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
55	54	ceqsexgv 3607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
56	55	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
57	52, 56	bitr3d 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
58	46, 57	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
59		anass 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
60	58, 59	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))))
61	60	rexbidv2 3182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
62	61	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
63	44, 62	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
64	63	imdistanda 582	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
65		hllat 40421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66	65	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	2, 24	latjcl 18613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
69	66, 67, 5, 68	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
70	2, 40, 3, 6	elpmap 40816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
71	1, 69, 70	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
72	71	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
73	2, 3, 6	pmapssat 40817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
74	73	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
75	66, 74, 8	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
76	75	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
77	2, 16, 6	pmapeq0 40824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78	77	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
79	78	necon3bid 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
80	79	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) ≠ ∅)
81		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
82	16, 3	atn0 40366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
83	15, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
84	2, 16, 6	pmapeq0 40824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
85	1, 5, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
86	85	necon3bid 2999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
87	83, 86	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
88	87	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
89	40, 24, 3, 9	elpaddn0 40858	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
90	76, 80, 88, 89	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
91	64, 72, 90	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄))))
92	91	ssrdv 3914	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
93	2, 24, 6, 9	pmapjoin 40910	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
94	66, 67, 5, 93	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
95	94	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
96	92, 95	eqssd 3925	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
97	29, 96	pm2.61dane 3042	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  joincjn 18485  0.cp0 18595  Latclat 18605  OLcol 40232  Atomscatm 40321  AtLatcal 40322  HLchlt 40408  pmapcpmap 40555  +_𝑃cpadd 40853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-pmap 40562  df-padd 40854

This theorem is used by:  pmapjat2  40912  pmapjlln1  40913  atmod1i2  40917  paddatclN  41007