Theorem pmapjat1 40181

Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjat1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
6		pmapjat.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	2, 3, 6	pmapssat 40087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
8	1, 5, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
9		pmapjat.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	3, 9	padd02 40140	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
11	1, 8, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
13		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14		hlatl 39688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
17	16, 6	pmap0 40093	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
19	13, 18	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) = ∅)
20	19	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) = (∅ + (𝑀‘𝑄)))
21		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 ∨ 𝑄) = ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄))
22		hlol 39689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24		pmapjat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25	2, 24, 16	olj02 39554	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
26	23, 5, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
27	21, 26	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑄) = 𝑄)
28	27	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
29	12, 20, 28	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
30		simpll1 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32		simpll2 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
35		simpll3 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
37	33, 34, 36	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
38		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
41	2, 40, 24, 16, 3	cvrat42 39772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
42	41	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
43	31, 37, 38, 39, 42	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
44	43	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
45	2, 40, 3, 6	elpmap 40086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46	45	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47		df-rex 3062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
48	3, 6	elpmapat 40092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49	48	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
50	49	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
51	50	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
52	47, 51	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
53		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑄))
54	53	breq2d 5111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
55	54	ceqsexgv 3609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
56	55	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
57	52, 56	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
58	46, 57	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
59		anass 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
60	58, 59	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))))
61	60	rexbidv2 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
62	61	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
63	44, 62	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
64	63	imdistanda 571	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
65		hllat 39691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66	65	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	2, 24	latjcl 18366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
69	66, 67, 5, 68	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
70	2, 40, 3, 6	elpmap 40086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
71	1, 69, 70	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
72	71	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
73	2, 3, 6	pmapssat 40087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
74	73	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
75	66, 74, 8	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
76	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
77	2, 16, 6	pmapeq0 40094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78	77	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
79	78	necon3bid 2977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
80	79	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) ≠ ∅)
81		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
82	16, 3	atn0 39636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
83	15, 81, 82	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
84	2, 16, 6	pmapeq0 40094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
85	1, 5, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
86	85	necon3bid 2977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
87	83, 86	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
88	87	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
89	40, 24, 3, 9	elpaddn0 40128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
90	76, 80, 88, 89	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
91	64, 72, 90	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄))))
92	91	ssrdv 3940	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
93	2, 24, 6, 9	pmapjoin 40180	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
94	66, 67, 5, 93	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
95	94	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
96	92, 95	eqssd 3952	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
97	29, 96	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  lecple 17188  joincjn 18238  0.cp0 18348  Latclat 18358  OLcol 39502  Atomscatm 39591  AtLatcal 39592  HLchlt 39678  pmapcpmap 39825  +_𝑃cpadd 40123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-lat 18359  df-clat 18426  df-oposet 39504  df-ol 39506  df-oml 39507  df-covers 39594  df-ats 39595  df-atl 39626  df-cvlat 39650  df-hlat 39679  df-pmap 39832  df-padd 40124

This theorem is referenced by:  pmapjat2  40182  pmapjlln1  40183  atmod1i2  40187  paddatclN  40277