Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat1 38316
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 37751 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
543ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
6 pmapjat.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
72, 3, 6pmapssat 38222 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
81, 5, 7syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
9 pmapjat.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
103, 9padd02 38275 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
111, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
1211adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
13 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14 hlatl 37822 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15143ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16 eqid 2736 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1716, 6pmap0 38228 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1913, 18sylan9eqr 2798 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) = ∅)
2019oveq1d 7372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) = (∅ + (𝑀𝑄)))
21 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 𝑄) = ((0.‘𝐾) 𝑄))
22 hlol 37823 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23223ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24 pmapjat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
252, 24, 16olj02 37688 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐵) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2623, 5, 25syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2721, 26sylan9eqr 2798 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 𝑄) = 𝑄)
2827fveq2d 6846 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = (𝑀𝑄))
2912, 20, 283eqtr4rd 2787 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
30 simpll1 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32 simpll2 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋𝐵)
34 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝𝐴)
35 simpll3 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑄𝐴)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑄𝐴)
3733, 34, 363jca 1128 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴))
38 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))
40 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 37907 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
4241imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4443ex 413 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
452, 40, 3, 6elpmap 38221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46453adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47 df-rex 3074 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
483, 6elpmapat 38227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49483adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
5049anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5150exbidv 1924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5247, 51bitr2id 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
53 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑞 𝑄))
5453breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5554ceqsexgv 3604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
56553ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5752, 56bitr3d 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5846, 57anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
59 anass 469 . . . . . . . . . 10 (((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6058, 59bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))))
6160rexbidv2 3171 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6261ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6344, 62sylibrd 258 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
6463imdistanda 572 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
65 hllat 37825 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66653ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑋𝐵)
682, 24latjcl 18328 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
6966, 67, 5, 68syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
702, 40, 3, 6elpmap 38221 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
711, 69, 70syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
7271adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
732, 3, 6pmapssat 38222 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
74733adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7566, 74, 83jca 1128 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
7675adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
772, 16, 6pmapeq0 38229 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78773adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
7978necon3bid 2988 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
8079biimpar 478 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) ≠ ∅)
81 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
8216, 3atn0 37770 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
8315, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
842, 16, 6pmapeq0 38229 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
851, 5, 84syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8685necon3bid 2988 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
8783, 86mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8887adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8940, 24, 3, 9elpaddn0 38263 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9076, 80, 88, 89syl12anc 835 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9164, 72, 903imtr4d 293 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄))))
9291ssrdv 3950 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ⊆ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
932, 24, 6, 9pmapjoin 38315 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9466, 67, 5, 93syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9594adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9692, 95eqssd 3961 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
9729, 96pm2.61dane 3032 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  0.cp0 18312  Latclat 18320  OLcol 37636  Atomscatm 37725  AtLatcal 37726  HLchlt 37812  pmapcpmap 37960  +𝑃cpadd 38258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-pmap 37967  df-padd 38259
This theorem is referenced by:  pmapjat2  38317  pmapjlln1  38318  atmod1i2  38322  paddatclN  38412
  Copyright terms: Public domain W3C validator