Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat1 39836
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 39271 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
543ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
6 pmapjat.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
72, 3, 6pmapssat 39742 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
81, 5, 7syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
9 pmapjat.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
103, 9padd02 39795 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
111, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
1211adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
13 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14 hlatl 39342 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15143ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16 eqid 2735 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1716, 6pmap0 39748 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1913, 18sylan9eqr 2797 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) = ∅)
2019oveq1d 7446 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) = (∅ + (𝑀𝑄)))
21 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 𝑄) = ((0.‘𝐾) 𝑄))
22 hlol 39343 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23223ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24 pmapjat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
252, 24, 16olj02 39208 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐵) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2623, 5, 25syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2721, 26sylan9eqr 2797 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 𝑄) = 𝑄)
2827fveq2d 6911 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = (𝑀𝑄))
2912, 20, 283eqtr4rd 2786 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
30 simpll1 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32 simpll2 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋𝐵)
34 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝𝐴)
35 simpll3 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑄𝐴)
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑄𝐴)
3733, 34, 363jca 1127 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴))
38 simpllr 776 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))
40 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 39427 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
4241imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 839 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4443ex 412 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
452, 40, 3, 6elpmap 39741 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46453adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47 df-rex 3069 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
483, 6elpmapat 39747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49483adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
5049anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5150exbidv 1919 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5247, 51bitr2id 284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
53 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑞 𝑄))
5453breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5554ceqsexgv 3654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
56553ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5752, 56bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5846, 57anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
59 anass 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6058, 59bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))))
6160rexbidv2 3173 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6261ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6344, 62sylibrd 259 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
6463imdistanda 571 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
65 hllat 39345 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66653ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑋𝐵)
682, 24latjcl 18497 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
6966, 67, 5, 68syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
702, 40, 3, 6elpmap 39741 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
711, 69, 70syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
7271adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
732, 3, 6pmapssat 39742 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
74733adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7566, 74, 83jca 1127 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
7675adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
772, 16, 6pmapeq0 39749 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78773adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
7978necon3bid 2983 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
8079biimpar 477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) ≠ ∅)
81 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
8216, 3atn0 39290 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
8315, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
842, 16, 6pmapeq0 39749 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
851, 5, 84syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8685necon3bid 2983 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
8783, 86mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8887adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8940, 24, 3, 9elpaddn0 39783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9076, 80, 88, 89syl12anc 837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9164, 72, 903imtr4d 294 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄))))
9291ssrdv 4001 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ⊆ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
932, 24, 6, 9pmapjoin 39835 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9466, 67, 5, 93syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9594adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9692, 95eqssd 4013 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
9729, 96pm2.61dane 3027 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  0.cp0 18481  Latclat 18489  OLcol 39156  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  +𝑃cpadd 39778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487  df-padd 39779
This theorem is referenced by:  pmapjat2  39837  pmapjlln1  39838  atmod1i2  39842  paddatclN  39932
  Copyright terms: Public domain W3C validator