Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat1 39028
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmapjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapjat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
pmapjat.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3atbase 38463 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
543ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
6 pmapjat.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
72, 3, 6pmapssat 38934 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴)
81, 5, 7syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴)
9 pmapjat.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
103, 9padd02 38987 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴) β†’ (βˆ… + (π‘€β€˜π‘„)) = (π‘€β€˜π‘„))
111, 8, 10syl2anc 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ… + (π‘€β€˜π‘„)) = (π‘€β€˜π‘„))
1211adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (βˆ… + (π‘€β€˜π‘„)) = (π‘€β€˜π‘„))
13 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(0.β€˜πΎ)))
14 hlatl 38534 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
15143ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
16 eqid 2731 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
1716, 6pmap0 38940 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat β†’ (π‘€β€˜(0.β€˜πΎ)) = βˆ…)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(0.β€˜πΎ)) = βˆ…)
1913, 18sylan9eqr 2793 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) = βˆ…)
2019oveq1d 7427 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)) = (βˆ… + (π‘€β€˜π‘„)))
21 oveq1 7419 . . . . 5 (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) = ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑄))
22 hlol 38535 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
23223ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OL)
24 pmapjat.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
252, 24, 16olj02 38400 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑄) = 𝑄)
2623, 5, 25syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ 𝑄) = 𝑄)
2721, 26sylan9eqr 2793 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) = 𝑄)
2827fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) = (π‘€β€˜π‘„))
2912, 20, 283eqtr4rd 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
30 simpll1 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32 simpll2 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
34 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
35 simpll3 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3733, 34, 363jca 1127 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
38 simpllr 773 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ))
39 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄))
40 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 38619 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄))))
4241imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)))
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)))
4443ex 412 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄))))
452, 40, 3, 6elpmap 38933 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
46453adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ↔ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋)))
47 df-rex 3070 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
483, 6elpmapat 38939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„) ↔ π‘Ÿ = 𝑄))
49483adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„) ↔ π‘Ÿ = 𝑄))
5049anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ (π‘Ÿ = 𝑄 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
5150exbidv 1923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ = 𝑄 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
5247, 51bitr2id 284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ = 𝑄 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
53 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑄 β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) = (π‘ž ∨ 𝑄))
5453breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑄 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)))
5554ceqsexgv 3642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ = 𝑄 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)))
56553ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ = 𝑄 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)))
5752, 56bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)))
5846, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄))))
59 anass 468 . . . . . . . . . 10 (((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)) ↔ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄))))
6058, 59bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)) ↔ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄)))))
6160rexbidv2 3173 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄))))
6261ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ 𝑄))))
6344, 62sylibrd 259 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
6463imdistanda 571 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
65 hllat 38537 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
66653ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
67 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
682, 24latjcl 18397 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
6966, 67, 5, 68syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
702, 40, 3, 6elpmap 38933 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄))))
711, 69, 70syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄))))
7271adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑄))))
732, 3, 6pmapssat 38934 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
74733adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
7566, 74, 83jca 1127 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴))
7675adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴))
772, 16, 6pmapeq0 38941 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = βˆ… ↔ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)))
78773adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = βˆ… ↔ 𝑋 = (0.β€˜πΎ)))
7978necon3bid 2984 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) β‰  βˆ… ↔ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)))
8079biimpar 477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
81 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
8216, 3atn0 38482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 β‰  (0.β€˜πΎ))
8315, 81, 82syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 β‰  (0.β€˜πΎ))
842, 16, 6pmapeq0 38941 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘„) = βˆ… ↔ 𝑄 = (0.β€˜πΎ)))
851, 5, 84syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘„) = βˆ… ↔ 𝑄 = (0.β€˜πΎ)))
8685necon3bid 2984 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘„) β‰  βˆ… ↔ 𝑄 β‰  (0.β€˜πΎ)))
8783, 86mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘„) β‰  βˆ…)
8887adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘€β€˜π‘„) β‰  βˆ…)
8940, 24, 3, 9elpaddn0 38975 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) β‰  βˆ… ∧ (π‘€β€˜π‘„) β‰  βˆ…)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
9076, 80, 88, 89syl12anc 834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ (π‘€β€˜π‘‹)βˆƒπ‘Ÿ ∈ (π‘€β€˜π‘„)𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž ∨ π‘Ÿ))))
9164, 72, 903imtr4d 294 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑝 ∈ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑝 ∈ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„))))
9291ssrdv 3988 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) βŠ† ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
932, 24, 6, 9pmapjoin 39027 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)))
9466, 67, 5, 93syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)))
9594adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)) βŠ† (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)))
9692, 95eqssd 3999 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
9729, 96pm2.61dane 3028 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  0.cp0 18381  Latclat 18389  OLcol 38348  Atomscatm 38437  AtLatcal 38438  HLchlt 38524  pmapcpmap 38672  +𝑃cpadd 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-pmap 38679  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  pmapjat2  39029  pmapjlln1  39030  atmod1i2  39034  paddatclN  39124
  Copyright terms: Public domain W3C validator