Theorem pmapjat1 39840

Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjat1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
6		pmapjat.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	2, 3, 6	pmapssat 39746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
8	1, 5, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
9		pmapjat.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	3, 9	padd02 39799	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
13		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14		hlatl 39346	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
17	16, 6	pmap0 39752	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
19	13, 18	sylan9eqr 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) = ∅)
20	19	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) = (∅ + (𝑀‘𝑄)))
21		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 ∨ 𝑄) = ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄))
22		hlol 39347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24		pmapjat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25	2, 24, 16	olj02 39212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
26	23, 5, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
27	21, 26	sylan9eqr 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑄) = 𝑄)
28	27	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
29	12, 20, 28	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
30		simpll1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32		simpll2 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
35		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
37	33, 34, 36	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
38		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))
40		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
41	2, 40, 24, 16, 3	cvrat42 39431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
42	41	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
43	31, 37, 38, 39, 42	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
44	43	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
45	2, 40, 3, 6	elpmap 39745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46	45	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47		df-rex 3054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
48	3, 6	elpmapat 39751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49	48	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
50	49	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
51	50	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
52	47, 51	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
53		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑄))
54	53	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
55	54	ceqsexgv 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
56	55	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
57	52, 56	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
58	46, 57	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
59		anass 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
60	58, 59	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))))
61	60	rexbidv2 3153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
62	61	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
63	44, 62	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
64	63	imdistanda 571	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
65		hllat 39349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66	65	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	2, 24	latjcl 18380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
69	66, 67, 5, 68	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
70	2, 40, 3, 6	elpmap 39745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
71	1, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
72	71	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
73	2, 3, 6	pmapssat 39746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
74	73	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
75	66, 74, 8	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
76	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
77	2, 16, 6	pmapeq0 39753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78	77	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
79	78	necon3bid 2969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
80	79	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) ≠ ∅)
81		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
82	16, 3	atn0 39294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
83	15, 81, 82	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
84	2, 16, 6	pmapeq0 39753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
85	1, 5, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
86	85	necon3bid 2969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
87	83, 86	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
88	87	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
89	40, 24, 3, 9	elpaddn0 39787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
90	76, 80, 88, 89	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
91	64, 72, 90	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄))))
92	91	ssrdv 3949	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
93	2, 24, 6, 9	pmapjoin 39839	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
94	66, 67, 5, 93	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
95	94	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
96	92, 95	eqssd 3961	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
97	29, 96	pm2.61dane 3012	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  joincjn 18252  0.cp0 18362  Latclat 18372  OLcol 39160  Atomscatm 39249  AtLatcal 39250  HLchlt 39336  pmapcpmap 39484  +_𝑃cpadd 39782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-pmap 39491  df-padd 39783

This theorem is referenced by:  pmapjat2  39841  pmapjlln1  39842  atmod1i2  39846  paddatclN  39936