Theorem pmapjat1 40321

Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjat1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
6		pmapjat.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	2, 3, 6	pmapssat 40227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
8	1, 5, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
9		pmapjat.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	3, 9	padd02 40280	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
11	1, 8, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
13		fveq2 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14		hlatl 39828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
17	16, 6	pmap0 40233	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
19	13, 18	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) = ∅)
20	19	oveq1d 7379	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) = (∅ + (𝑀‘𝑄)))
21		oveq1 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 ∨ 𝑄) = ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄))
22		hlol 39829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24		pmapjat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25	2, 24, 16	olj02 39694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
26	23, 5, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
27	21, 26	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑄) = 𝑄)
28	27	fveq2d 6842	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
29	12, 20, 28	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
30		simpll1 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32		simpll2 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
35		simpll3 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
37	33, 34, 36	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
38		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
41	2, 40, 24, 16, 3	cvrat42 39912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
42	41	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
43	31, 37, 38, 39, 42	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
44	43	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
45	2, 40, 3, 6	elpmap 40226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46	45	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47		df-rex 3063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
48	3, 6	elpmapat 40232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49	48	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
50	49	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
51	50	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
52	47, 51	bitr2id 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
53		oveq2 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑄))
54	53	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
55	54	ceqsexgv 3597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
56	55	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
57	52, 56	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
58	46, 57	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
59		anass 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
60	58, 59	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))))
61	60	rexbidv2 3158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
62	61	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
63	44, 62	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
64	63	imdistanda 571	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
65		hllat 39831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66	65	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	2, 24	latjcl 18402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
69	66, 67, 5, 68	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
70	2, 40, 3, 6	elpmap 40226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
71	1, 69, 70	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
72	71	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
73	2, 3, 6	pmapssat 40227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
74	73	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
75	66, 74, 8	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
76	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
77	2, 16, 6	pmapeq0 40234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78	77	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
79	78	necon3bid 2977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
80	79	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) ≠ ∅)
81		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
82	16, 3	atn0 39776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
83	15, 81, 82	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
84	2, 16, 6	pmapeq0 40234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
85	1, 5, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
86	85	necon3bid 2977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
87	83, 86	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
88	87	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
89	40, 24, 3, 9	elpaddn0 40268	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
90	76, 80, 88, 89	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
91	64, 72, 90	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄))))
92	91	ssrdv 3928	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
93	2, 24, 6, 9	pmapjoin 40320	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
94	66, 67, 5, 93	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
95	94	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
96	92, 95	eqssd 3940	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
97	29, 96	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176  lecple 17224  joincjn 18274  0.cp0 18384  Latclat 18394  OLcol 39642  Atomscatm 39731  AtLatcal 39732  HLchlt 39818  pmapcpmap 39965  +_𝑃cpadd 40263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-proset 18257  df-poset 18276  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 39644  df-ol 39646  df-oml 39647  df-covers 39734  df-ats 39735  df-atl 39766  df-cvlat 39790  df-hlat 39819  df-pmap 39972  df-padd 40264

This theorem is referenced by:  pmapjat2  40322  pmapjlln1  40323  atmod1i2  40327  paddatclN  40417