Theorem pmapjat1 40655

Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjat1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
6		pmapjat.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	2, 3, 6	pmapssat 40561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
8	1, 5, 7	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
9		pmapjat.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	3, 9	padd02 40614	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
11	1, 8, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀‘𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
13		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14		hlatl 40162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	3ad2ant1 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
17	16, 6	pmap0 40567	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
18	15, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
19	13, 18	sylan9eqr 2819	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) = ∅)
20	19	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) = (∅ + (𝑀‘𝑄)))
21		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 ∨ 𝑄) = ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄))
22		hlol 40163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23	22	3ad2ant1 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24		pmapjat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25	2, 24, 16	olj02 40028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
26	23, 5, 25	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑄) = 𝑄)
27	21, 26	sylan9eqr 2819	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑄) = 𝑄)
28	27	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = (𝑀‘𝑄))
29	12, 20, 28	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
30		simpll1 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
31	30	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32		simpll2 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
35		simpll3 1232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
36	35	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
37	33, 34, 36	3jca 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
38		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))
40		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
41	2, 40, 24, 16, 3	cvrat42 40246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
42	41	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
43	31, 37, 38, 39, 42	syl22anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
44	43	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
45	2, 40, 3, 6	elpmap 40560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46	45	3adant3 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47		df-rex 3089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
48	3, 6	elpmapat 40566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49	48	3adant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
50	49	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
51	50	exbidv 1950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
52	47, 51	bitr2id 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
53		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑞 ∨ 𝑄))
54	53	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
55	54	ceqsexgv 3612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
56	55	3ad2ant3 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
57	52, 56	bitr3d 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))
58	46, 57	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
59		anass 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
60	58, 59	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄)))))
61	60	rexbidv2 3184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
62	61	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑄))))
63	44, 62	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟)))
64	63	imdistanda 581	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄)) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
65		hllat 40165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66	65	3ad2ant1 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67		simp2 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	2, 24	latjcl 18501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
69	66, 67, 5, 68	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
70	2, 40, 3, 6	elpmap 40560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
71	1, 69, 70	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
72	71	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑄))))
73	2, 3, 6	pmapssat 40561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
74	73	3adant3 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
75	66, 74, 8	3jca 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
76	75	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴))
77	2, 16, 6	pmapeq0 40568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78	77	3adant3 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
79	78	necon3bid 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
80	79	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑋) ≠ ∅)
81		simp3 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
82	16, 3	atn0 40110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
83	15, 81, 82	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
84	2, 16, 6	pmapeq0 40568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
85	1, 5, 84	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
86	85	necon3bid 3001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
87	83, 86	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
88	87	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)
89	40, 24, 3, 9	elpaddn0 40602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀‘𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀‘𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
90	76, 80, 88, 89	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ↔ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀‘𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀‘𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 ∨ 𝑟))))
91	64, 72, 90	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄))))
92	91	ssrdv 3942	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
93	2, 24, 6, 9	pmapjoin 40654	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
94	66, 67, 5, 93	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
95	94	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
96	92, 95	eqssd 3953	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
97	29, 96	pm2.61dane 3044	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  lecple 17323  joincjn 18373  0.cp0 18483  Latclat 18493  OLcol 39976  Atomscatm 40065  AtLatcal 40066  HLchlt 40152  pmapcpmap 40299  +_𝑃cpadd 40597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-lat 18494  df-clat 18561  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-pmap 40306  df-padd 40598

This theorem is used by:  pmapjat2  40656  pmapjlln1  40657  atmod1i2  40661  paddatclN  40751