Theorem pmapat 35784

Description: The projective map of an atom. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Proof of Theorem pmapat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 35310	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	1, 4, 2, 5	pmapval 35778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
7	3, 6	sylan2 587	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
8		hlatl 35381	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
9	8	ad2antrr 718	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
10		simpr 478	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
11		simplr 786	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12	4, 2	atcmp 35332	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
14	13	rabbidva 3372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃} = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃})
15		rabsn 4445	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
16	15	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
17	7, 14, 16	3eqtrd 2837	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3093  {csn 4368   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  Atomscatm 35284  AtLatcal 35285  HLchlt 35371  pmapcpmap 35518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-glb 17290  df-p0 17354  df-lat 17361  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-pmap 35525

This theorem is referenced by:  elpmapat  35785  2polatN  35953  paddatclN  35970