Theorem pmapat 40820

Description: The projective map of an atom. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Proof of Theorem pmapat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 40346	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	1, 4, 2, 5	pmapval 40814	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
7	3, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
8		hlatl 40417	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
11		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12	4, 2	atcmp 40368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
14	13	rabbidva 3419	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃} = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃})
15		rabsn 4682	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
17	7, 14, 16	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  Atomscatm 40320  AtLatcal 40321  HLchlt 40407  pmapcpmap 40554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-glb 18519  df-p0 18597  df-lat 18606  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-pmap 40561

This theorem is used by:  elpmapat  40821  2polatN  40989  paddatclN  41006