Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapat 39746
Description: The projective map of an atom. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑀𝑃) = {𝑃})

Proof of Theorem pmapat
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 pmapat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2atbase 39271 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4 eqid 2735 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 pmapat.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
61, 4, 2, 5pmapval 39740 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀𝑃) = {𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑃})
73, 6sylan2 593 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑀𝑃) = {𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑃})
8 hlatl 39342 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
98ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
10 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
11 simplr 769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑃𝐴)
124, 2atcmp 39293 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞 = 𝑃))
139, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞 = 𝑃))
1413rabbidva 3440 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → {𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑃} = {𝑞𝐴𝑞 = 𝑃})
15 rabsn 4726 . . 3 (𝑃𝐴 → {𝑞𝐴𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
1615adantl 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → {𝑞𝐴𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
177, 14, 163eqtrd 2779 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑀𝑃) = {𝑃})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-glb 18405  df-p0 18483  df-lat 18490  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487
This theorem is referenced by:  elpmapat  39747  2polatN  39915  paddatclN  39932
  Copyright terms: Public domain W3C validator