Theorem pmapat 38939

Description: The projective map of an atom. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Proof of Theorem pmapat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 38464	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	1, 4, 2, 5	pmapval 38933	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
7	3, 6	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
8		hlatl 38535	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
9	8	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
10		simpr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
11		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12	4, 2	atcmp 38486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
14	13	rabbidva 3437	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃} = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃})
15		rabsn 4726	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
16	15	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
17	7, 14, 16	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Basecbs 17150  lecple 17210  Atomscatm 38438  AtLatcal 38439  HLchlt 38525  pmapcpmap 38673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-proset 18254  df-poset 18272  df-plt 18289  df-glb 18306  df-p0 18384  df-lat 18391  df-covers 38441  df-ats 38442  df-atl 38473  df-cvlat 38497  df-hlat 38526  df-pmap 38680

This theorem is referenced by:  elpmapat  38940  2polatN  39108  paddatclN  39125