Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapat 37058
Description: The projective map of an atom. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑀𝑃) = {𝑃})

Proof of Theorem pmapat
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 pmapat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2atbase 36584 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4 eqid 2801 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 pmapat.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
61, 4, 2, 5pmapval 37052 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀𝑃) = {𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑃})
73, 6sylan2 595 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑀𝑃) = {𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑃})
8 hlatl 36655 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
98ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
10 simpr 488 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
11 simplr 768 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑃𝐴)
124, 2atcmp 36606 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞 = 𝑃))
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞 = 𝑃))
1413rabbidva 3428 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → {𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑃} = {𝑞𝐴𝑞 = 𝑃})
15 rabsn 4620 . . 3 (𝑃𝐴 → {𝑞𝐴𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
1615adantl 485 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → {𝑞𝐴𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
177, 14, 163eqtrd 2840 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (𝑀𝑃) = {𝑃})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {crab 3113  {csn 4528   class class class wbr 5033  cfv 6328  Basecbs 16479  lecple 16568  Atomscatm 36558  AtLatcal 36559  HLchlt 36645  pmapcpmap 36792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-glb 17581  df-p0 17645  df-lat 17652  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-pmap 36799
This theorem is referenced by:  elpmapat  37059  2polatN  37227  paddatclN  37244
  Copyright terms: Public domain W3C validator