Theorem pmapat 39720

Description: The projective map of an atom. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Proof of Theorem pmapat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 39245	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	1, 4, 2, 5	pmapval 39714	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
7	3, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
8		hlatl 39316	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
9	8	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
11		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12	4, 2	atcmp 39267	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
14	13	rabbidva 3450	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃} = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃})
15		rabsn 4746	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
17	7, 14, 16	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Atomscatm 39219  AtLatcal 39220  HLchlt 39306  pmapcpmap 39454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-glb 18417  df-p0 18495  df-lat 18502  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-pmap 39461

This theorem is referenced by:  elpmapat  39721  2polatN  39889  paddatclN  39906