Theorem pmapat 39962

Description: The projective map of an atom. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Proof of Theorem pmapat

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		pmapat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 39488	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		pmapat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	1, 4, 2, 5	pmapval 39956	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
7	3, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃})
8		hlatl 39559	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
9	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
11		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12	4, 2	atcmp 39510	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 = 𝑃))
14	13	rabbidva 3403	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞(le‘𝐾)𝑃} = {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃})
15		rabsn 4676	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → {𝑞 ∈ 𝐴 ∣ 𝑞 = 𝑃} = {𝑃})
17	7, 14, 16	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑃) = {𝑃})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397  {csn 4578   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  lecple 17182  Atomscatm 39462  AtLatcal 39463  HLchlt 39549  pmapcpmap 39696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-glb 18266  df-p0 18344  df-lat 18353  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-pmap 39703

This theorem is referenced by:  elpmapat  39963  2polatN  40131  paddatclN  40148