Theorem en3 9165

Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en3	⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8398	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2	1	onordi 6419	. 2 ⊢ Ord 2o
3		df-3o 8387	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
4		en2 9164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
5		tpass 4705	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
6	5	enp1ilem 9162	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
7	6	2eximdv 1920	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
8	2, 3, 4, 7	enp1i 9163	1 ⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899  {csn 4576  {cpr 4578  {ctp 4580   class class class wbr 5091  2_oc2o 8379  3_oc3o 8380   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-1o 8385  df-2o 8386  df-3o 8387  df-en 8870

This theorem is referenced by:  en4  9166  hash3tr  14398