Theorem en3 8984

Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en3	⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8433	. 2 ⊢ 2o ∈ ω
2		df-3o 8269	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
3		en2 8983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
4		tpass 4685	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
5	4	enp1ilem 8981	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
6	5	2eximdv 1923	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
7	1, 2, 3, 6	enp1i 8982	1 ⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880  {csn 4558  {cpr 4560  {ctp 4562   class class class wbr 5070  2_oc2o 8261  3_oc3o 8262   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-2o 8268  df-3o 8269  df-er 8456  df-en 8692

This theorem is referenced by:  en4  8985  hash3tr  14132