MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en3 9278
Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en3 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3
StepHypRef Expression
1 2on 8476 . . 3 2o ∈ On
21onordi 6472 . 2 Ord 2o
3 df-3o 8464 . 2 3o = suc 2o
4 en2 9277 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
5 tpass 4755 . . . 4 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
65enp1ilem 9274 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
762eximdv 1922 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
82, 3, 4, 7enp1i 9275 1 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629  {ctp 4631   class class class wbr 5147  2oc2o 8456  3oc3o 8457  cen 8932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1o 8462  df-2o 8463  df-3o 8464  df-en 8936
This theorem is referenced by:  en4  9279  hash3tr  14447
  Copyright terms: Public domain W3C validator