MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en3 9314
Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en3 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3
StepHypRef Expression
1 2on 8519 . . 3 2o ∈ On
21onordi 6497 . 2 Ord 2o
3 df-3o 8507 . 2 3o = suc 2o
4 en2 9313 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
5 tpass 4757 . . . 4 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
65enp1ilem 9310 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
762eximdv 1917 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
82, 3, 4, 7enp1i 9311 1 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635   class class class wbr 5148  2oc2o 8499  3oc3o 8500  cen 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-3o 8507  df-en 8985
This theorem is referenced by:  en4  9315  hash3tr  14527
  Copyright terms: Public domain W3C validator