MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en3 9300
Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en3 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3
StepHypRef Expression
1 2on 8494 . . 3 2o ∈ On
21onordi 6474 . 2 Ord 2o
3 df-3o 8482 . 2 3o = suc 2o
4 en2 9299 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
5 tpass 4752 . . . 4 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
65enp1ilem 9296 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
762eximdv 1915 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
82, 3, 4, 7enp1i 9297 1 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  {ctp 4628   class class class wbr 5142  2oc2o 8474  3oc3o 8475  cen 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-1o 8480  df-2o 8481  df-3o 8482  df-en 8958
This theorem is referenced by:  en4  9301  hash3tr  14477
  Copyright terms: Public domain W3C validator