Theorem en3 9255

Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en3	⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8473	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2	1	onordi 6475	. 2 ⊢ Ord 2o
3		df-3o 8461	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
4		en2 9254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
5		tpass 4716	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
6	5	enp1ilem 9252	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
7	6	2eximdv 1952	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
8	2, 3, 4, 7	enp1i 9253	1 ⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591   class class class wbr 5107  2_oc2o 8453  3_oc3o 8454   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1o 8459  df-2o 8460  df-3o 8461  df-en 8957

This theorem is used by:  en4  9256  hash3tr  14560