Theorem en3 9256

Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en3	⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8474	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2	1	onordi 6469	. 2 ⊢ Ord 2o
3		df-3o 8462	. 2 ⊢ 3o = suc 2o
4		en2 9255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
5		tpass 4713	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
6	5	enp1ilem 9253	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
7	6	2eximdv 1952	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
8	2, 3, 4, 7	enp1i 9254	1 ⊢ (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588   class class class wbr 5103  2_oc2o 8454  3_oc3o 8455   ≈ cen 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-1o 8460  df-2o 8461  df-3o 8462  df-en 8958

This theorem is used by:  en4  9257  hash3tr  14616