MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en3 8548
Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en3 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3
StepHypRef Expression
1 2onn 8065 . 2 2o ∈ ω
2 df-3o 7905 . 2 3o = suc 2o
3 en2 8547 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
4 tpass 4558 . . . 4 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
54enp1ilem 8545 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
652eximdv 1879 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
71, 2, 3, 6enp1i 8546 1 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wex 1743  wcel 2051  cdif 3819  {csn 4435  {cpr 4437  {ctp 4439   class class class wbr 4925  2oc2o 7897  3oc3o 7898  cen 8301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-om 7395  df-1o 7903  df-2o 7904  df-3o 7905  df-er 8087  df-en 8305  df-fin 8308
This theorem is referenced by:  en4  8549  hash3tr  13657
  Copyright terms: Public domain W3C validator