MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en3 9185
Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en3 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en3
StepHypRef Expression
1 2on 8419 . . 3 2o ∈ On
21onordi 6426 . 2 Ord 2o
3 df-3o 8407 . 2 3o = suc 2o
4 en2 9184 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 2o → ∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧})
5 tpass 4712 . . . 4 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧})
65enp1ilem 9181 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
762eximdv 1923 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝑧(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧} → ∃𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}))
82, 3, 4, 7enp1i 9182 1 (𝐴 ≈ 3o → ∃𝑥𝑦𝑧 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  cdif 3906  {csn 4585  {cpr 4587  {ctp 4589   class class class wbr 5104  2oc2o 8399  3oc3o 8400  cen 8839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-1o 8405  df-2o 8406  df-3o 8407  df-en 8843
This theorem is referenced by:  en4  9186  hash3tr  14343
  Copyright terms: Public domain W3C validator