Theorem enp1i 9200

Description: Proof induction for en2 9202 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) Generalize to all ordinals and avoid ax-pow 5315, ax-un 7691. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	⊢ Ord 𝑀
enp1i.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1i.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1i	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enp1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
2	1	breq2i 5110	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
3		enp1i.1	. . . . 5 ⊢ Ord 𝑀
4		encv 8903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝑀 ∈ V))
5	4	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ V)
6		sssucid 6402	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ⊆ suc 𝑀
7		ssexg 5273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ⊆ suc 𝑀 ∧ suc 𝑀 ∈ V) → 𝑀 ∈ V)
8	6, 7	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ V)
9		elong 6328	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
11	3, 10	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → 𝑀 ∈ On)
12		rexdif1en 9099	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
13	11, 12	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
14		enp1i.3	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
15	14	reximi 3067	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
16		df-rex 3054	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
17		enp1i.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
18	17	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝜓)
19	18	eximi 1835	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → ∃𝑥𝜓)
20	16, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑥𝜓)
21	13, 15, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥𝜓)
22	2, 21	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4585   class class class wbr 5102  Ord word 6319  Oncon0 6320  suc csuc 6322   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-en 8896

This theorem is referenced by:  en2  9202  en3  9203  en4  9204