MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enp1i 9219
Description: Proof induction for en2 9221 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) Generalize to all ordinals and avoid ax-pow 5318, ax-un 7668. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
enp1i.1 Ord 𝑀
enp1i.2 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
enp1i.4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
enp1i (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem enp1i
StepHypRef Expression
1 enp1i.2 . . 3 𝑁 = suc 𝑀
21breq2i 5111 . 2 (𝐴𝑁𝐴 ≈ suc 𝑀)
3 enp1i.1 . . . . 5 Ord 𝑀
4 encv 8887 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝑀 ∈ V))
54simprd 496 . . . . . 6 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ V)
6 sssucid 6395 . . . . . . 7 𝑀 ⊆ suc 𝑀
7 ssexg 5278 . . . . . . 7 ((𝑀 ⊆ suc 𝑀 ∧ suc 𝑀 ∈ V) → 𝑀 ∈ V)
86, 7mpan 688 . . . . . 6 (suc 𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ V)
9 elong 6323 . . . . . 6 (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
105, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
113, 10mpbiri 257 . . . 4 (𝐴 ≈ suc 𝑀𝑀 ∈ On)
12 rexdif1en 9098 . . . 4 ((𝑀 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1311, 12mpancom 686 . . 3 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
14 enp1i.3 . . . 4 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
1514reximi 3085 . . 3 (∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → ∃𝑥𝐴 𝜑)
16 df-rex 3072 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
17 enp1i.4 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
1817imp 407 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝜑) → 𝜓)
1918eximi 1837 . . . 4 (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) → ∃𝑥𝜓)
2016, 19sylbi 216 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 → ∃𝑥𝜓)
2113, 15, 203syl 18 . 2 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥𝜓)
222, 21sylbi 216 1 (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3071  Vcvv 3443  cdif 3905  wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  Ord word 6314  Oncon0 6315  suc csuc 6317  cen 8876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-en 8880
This theorem is referenced by:  en2  9221  en3  9222  en4  9223
  Copyright terms: Public domain W3C validator