MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enp1i 8741
Description: Proof induction for en2i 8535 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
enp1i.1 𝑀 ∈ ω
enp1i.2 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
enp1i.4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
enp1i (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1i
StepHypRef Expression
1 nsuceq0 6264 . . . . 5 suc 𝑀 ≠ ∅
2 breq1 5060 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3 enp1i.2 . . . . . . . 8 𝑁 = suc 𝑀
4 ensym 8546 . . . . . . . . 9 (∅ ≈ 𝑁𝑁 ≈ ∅)
5 en0 8560 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
64, 5sylib 219 . . . . . . . 8 (∅ ≈ 𝑁𝑁 = ∅)
73, 6syl5eqr 2867 . . . . . . 7 (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
82, 7syl6bi 254 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
98necon3ad 3026 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴𝑁))
101, 9mpi 20 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴𝑁)
1110con2i 141 . . 3 (𝐴𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12 neq0 4306 . . 3 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1311, 12sylib 219 . 2 (𝐴𝑁 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
143breq2i 5065 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 ≈ suc 𝑀)
15 enp1i.1 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ω
16 dif1en 8739 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1715, 16mp3an1 1439 . . . . . . 7 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18 enp1i.3 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → 𝜑)
2019ex 413 . . . . 5 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥𝐴𝜑))
2114, 20sylbi 218 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜑))
22 enp1i.4 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylcom 30 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜓))
2423eximdv 1909 . 2 (𝐴𝑁 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥𝜓))
2513, 24mpd 15 1 (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  suc csuc 6186  ωcom 7569  cen 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  en2  8742  en3  8743  en4  8744
  Copyright terms: Public domain W3C validator