Theorem enp1i 9179

Description: Proof induction for en2 9180 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) Generalize to all ordinals and avoid ax-pow 5310, ax-un 7680. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	⊢ Ord 𝑀
enp1i.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1i.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1i	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enp1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
2	1	breq2i 5106	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
3		enp1i.1	. . . . 5 ⊢ Ord 𝑀
4		encv 8891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝑀 ∈ V))
5	4	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ V)
6		sssucid 6399	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ⊆ suc 𝑀
7		ssexg 5268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ⊆ suc 𝑀 ∧ suc 𝑀 ∈ V) → 𝑀 ∈ V)
8	6, 7	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ V)
9		elong 6325	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
11	3, 10	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → 𝑀 ∈ On)
12		rexdif1en 9085	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
13	11, 12	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
14		enp1i.3	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
15	14	reximi 3074	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
16		df-rex 3061	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
17		enp1i.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
18	17	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝜓)
19	18	eximi 1836	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → ∃𝑥𝜓)
20	16, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑥𝜓)
21	13, 15, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥𝜓)
22	2, 21	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098  Ord word 6316  Oncon0 6317  suc csuc 6319   ≈ cen 8880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-en 8884

This theorem is referenced by:  en2  9180  en3  9181  en4  9182