Theorem enp1i 9223

Description: Proof induction for en2 9224 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) Generalize to all ordinals and avoid ax-pow 5322, ax-un 7718. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	⊢ Ord 𝑀
enp1i.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1i.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1i	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enp1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
2	1	breq2i 5108	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
3		enp1i.1	. . . . 5 ⊢ Ord 𝑀
4		encv 8935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝑀 ∈ V))
5	4	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ V)
6		sssucid 6428	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ⊆ suc 𝑀
7		ssexg 5279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ⊆ suc 𝑀 ∧ suc 𝑀 ∈ V) → 𝑀 ∈ V)
8	6, 7	mpan 700	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ V)
9		elong 6354	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
11	3, 10	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → 𝑀 ∈ On)
12		rexdif1en 9129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
13	11, 12	mpancom 698	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
14		enp1i.3	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
15	14	reximi 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
16		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
17		enp1i.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
18	17	imp 410	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝜓)
19	18	eximi 1855	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → ∃𝑥𝜓)
20	16, 19	sylbi 219	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑥𝜓)
21	13, 15, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥𝜓)
22	2, 21	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582   class class class wbr 5100  Ord word 6345  Oncon0 6346  suc csuc 6348   ≈ cen 8924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-en 8928

This theorem is referenced by:  en2  9224  en3  9225  en4  9226