MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enp1i 8350
Description: Proof induction for en2i 8146 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
enp1i.1 𝑀 ∈ ω
enp1i.2 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
enp1i.4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
enp1i (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1i
StepHypRef Expression
1 nsuceq0 5948 . . . . 5 suc 𝑀 ≠ ∅
2 breq1 4787 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3 enp1i.2 . . . . . . . 8 𝑁 = suc 𝑀
4 ensym 8157 . . . . . . . . 9 (∅ ≈ 𝑁𝑁 ≈ ∅)
5 en0 8171 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
64, 5sylib 208 . . . . . . . 8 (∅ ≈ 𝑁𝑁 = ∅)
73, 6syl5eqr 2818 . . . . . . 7 (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
82, 7syl6bi 243 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
98necon3ad 2955 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴𝑁))
101, 9mpi 20 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴𝑁)
1110con2i 136 . . 3 (𝐴𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12 neq0 4075 . . 3 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1311, 12sylib 208 . 2 (𝐴𝑁 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
143breq2i 4792 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 ≈ suc 𝑀)
15 enp1i.1 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ω
16 dif1en 8348 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1715, 16mp3an1 1558 . . . . . . 7 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18 enp1i.3 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → 𝜑)
2019ex 397 . . . . 5 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥𝐴𝜑))
2114, 20sylbi 207 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜑))
22 enp1i.4 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylcom 30 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜓))
2423eximdv 1997 . 2 (𝐴𝑁 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥𝜓))
2513, 24mpd 15 1 (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  cdif 3718  c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784  suc csuc 5868  ωcom 7211  cen 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-1o 7712  df-er 7895  df-en 8109  df-fin 8112
This theorem is referenced by:  en2  8351  en3  8352  en4  8353
  Copyright terms: Public domain W3C validator