Theorem enp1i 8350

Description: Proof induction for en2i 8146 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	⊢ 𝑀 ∈ ω
enp1i.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1i.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1i	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 5948	. . . . 5 ⊢ suc 𝑀 ≠ ∅
2		breq1 4787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3		enp1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
4		ensym 8157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 ≈ ∅)
5		en0 8171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
6	4, 5	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 = ∅)
7	3, 6	syl5eqr 2818	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
8	2, 7	syl6bi 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
9	8	necon3ad 2955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁))
10	1, 9	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁)
11	10	con2i 136	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12		neq0 4075	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sylib 208	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14	3	breq2i 4792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
15		enp1i.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ω
16		dif1en 8348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
17	15, 16	mp3an1 1558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18		enp1i.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
20	19	ex 397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
21	14, 20	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
22		enp1i.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
23	21, 22	sylcom 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜓))
24	23	eximdv 1997	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝜓))
25	13, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3718  ∅c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784  suc csuc 5868  ωcom 7211   ≈ cen 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-1o 7712  df-er 7895  df-en 8109  df-fin 8112

This theorem is referenced by:  en2  8351  en3  8352  en4  8353