MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enp1i 8540
Description: Proof induction for en2i 8336 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
enp1i.1 𝑀 ∈ ω
enp1i.2 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
enp1i.4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
enp1i (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1i
StepHypRef Expression
1 nsuceq0 6103 . . . . 5 suc 𝑀 ≠ ∅
2 breq1 4926 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3 enp1i.2 . . . . . . . 8 𝑁 = suc 𝑀
4 ensym 8347 . . . . . . . . 9 (∅ ≈ 𝑁𝑁 ≈ ∅)
5 en0 8361 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
64, 5sylib 210 . . . . . . . 8 (∅ ≈ 𝑁𝑁 = ∅)
73, 6syl5eqr 2822 . . . . . . 7 (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
82, 7syl6bi 245 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
98necon3ad 2974 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴𝑁))
101, 9mpi 20 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴𝑁)
1110con2i 137 . . 3 (𝐴𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12 neq0 4190 . . 3 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1311, 12sylib 210 . 2 (𝐴𝑁 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
143breq2i 4931 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 ≈ suc 𝑀)
15 enp1i.1 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ω
16 dif1en 8538 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1715, 16mp3an1 1427 . . . . . . 7 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18 enp1i.3 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → 𝜑)
2019ex 405 . . . . 5 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥𝐴𝜑))
2114, 20sylbi 209 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜑))
22 enp1i.4 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylcom 30 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜓))
2423eximdv 1876 . 2 (𝐴𝑁 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥𝜓))
2513, 24mpd 15 1 (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048  wne 2961  cdif 3822  c0 4173  {csn 4435   class class class wbr 4923  suc csuc 6025  ωcom 7390  cen 8295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-1o 7897  df-er 8081  df-en 8299  df-fin 8302
This theorem is referenced by:  en2  8541  en3  8542  en4  8543
  Copyright terms: Public domain W3C validator