Theorem enp1i 9168

Description: Proof induction for en2 9169 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) Generalize to all ordinals and avoid ax-pow 5304, ax-un 7671. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	⊢ Ord 𝑀
enp1i.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1i.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1i	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enp1i.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
2	1	breq2i 5100	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
3		enp1i.1	. . . . 5 ⊢ Ord 𝑀
4		encv 8880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝐴 ∈ V ∧ suc 𝑀 ∈ V))
5	4	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → suc 𝑀 ∈ V)
6		sssucid 6389	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ⊆ suc 𝑀
7		ssexg 5262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ⊆ suc 𝑀 ∧ suc 𝑀 ∈ V) → 𝑀 ∈ V)
8	6, 7	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑀 ∈ V → 𝑀 ∈ V)
9		elong 6315	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
10	5, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑀 ∈ On ↔ Ord 𝑀))
11	3, 10	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → 𝑀 ∈ On)
12		rexdif1en 9074	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
13	11, 12	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
14		enp1i.3	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
15	14	reximi 3067	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
16		df-rex 3054	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
17		enp1i.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
18	17	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝜓)
19	18	eximi 1835	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → ∃𝑥𝜓)
20	16, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑥𝜓)
21	13, 15, 20	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → ∃𝑥𝜓)
22	2, 21	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092  Ord word 6306  Oncon0 6307  suc csuc 6309   ≈ cen 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-en 8873

This theorem is referenced by:  en2  9169  en3  9170  en4  9171