Theorem enp1i 8737

Description: Proof induction for en2i 8530 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	⊢ 𝑀 ∈ ω
enp1i.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1i.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1i	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6239	. . . . 5 ⊢ suc 𝑀 ≠ ∅
2		breq1 5033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3		enp1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
4		ensym 8541	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 ≈ ∅)
5		en0 8555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
6	4, 5	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 = ∅)
7	3, 6	syl5eqr 2847	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
8	2, 7	syl6bi 256	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
9	8	necon3ad 3000	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁))
10	1, 9	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁)
11	10	con2i 141	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12		neq0 4259	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14	3	breq2i 5038	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
15		enp1i.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ω
16		dif1en 8735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
17	15, 16	mp3an1 1445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18		enp1i.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
20	19	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
21	14, 20	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
22		enp1i.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
23	21, 22	sylcom 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜓))
24	23	eximdv 1918	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝜓))
25	13, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030  suc csuc 6161  ωcom 7560   ≈ cen 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  en2  8738  en3  8739  en4  8740