Theorem enp1i 8540

Description: Proof induction for en2i 8336 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1i.1	⊢ 𝑀 ∈ ω
enp1i.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1i.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1i.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1i	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6103	. . . . 5 ⊢ suc 𝑀 ≠ ∅
2		breq1 4926	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3		enp1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
4		ensym 8347	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 ≈ ∅)
5		en0 8361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
6	4, 5	sylib 210	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 = ∅)
7	3, 6	syl5eqr 2822	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
8	2, 7	syl6bi 245	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
9	8	necon3ad 2974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁))
10	1, 9	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁)
11	10	con2i 137	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12		neq0 4190	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sylib 210	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14	3	breq2i 4931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
15		enp1i.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ω
16		dif1en 8538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
17	15, 16	mp3an1 1427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18		enp1i.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
20	19	ex 405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
21	14, 20	sylbi 209	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
22		enp1i.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
23	21, 22	sylcom 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜓))
24	23	eximdv 1876	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝜓))
25	13, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507  ∃wex 1742   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3822  ∅c0 4173  {csn 4435   class class class wbr 4923  suc csuc 6025  ωcom 7390   ≈ cen 8295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-1o 7897  df-er 8081  df-en 8299  df-fin 8302

This theorem is referenced by:  en2  8541  en3  8542  en4  8543