Theorem qnnen 16301

Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set (ℤ × ℕ) is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. For purposes of the Metamath 100 list, we are considering Mario Carneiro's revision as the date this proof was completed. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	⊢ ℚ ≈ ℕ

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9625	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
2		nnenom 14044	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 9010	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
4		isnumi 9951	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5	1, 3, 4	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ dom card
6		znnen 16300	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ≈ ℕ
7		ennum 9952	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ≈ ℕ → (ℤ ∈ dom card ↔ ℕ ∈ dom card))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ dom card ↔ ℕ ∈ dom card)
9	5, 8	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ dom card
10		xpnum 9956	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℤ × ℕ) ∈ dom card)
11	9, 5, 10	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℤ × ℕ) ∈ dom card
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦))
13		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 / 𝑦) ∈ V
14	12, 13	fnmpoi 8067	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)) Fn (ℤ × ℕ)
15	12	rnmpo 7546	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)}
16		elq 12999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦))
17	16	eqabi 2895	. . . . . 6 ⊢ ℚ = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)}
18	15, 17	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)) = ℚ
19		df-fo 6539	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ ↔ ((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)) Fn (ℤ × ℕ) ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)) = ℚ))
20	14, 18, 19	mpbir2an 724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ
21		fodomnum 10060	. . . 4 ⊢ ((ℤ × ℕ) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥 / 𝑦)):(ℤ × ℕ)–onto→ℚ → ℚ ≼ (ℤ × ℕ)))
22	11, 20, 21	mp2 9	. . 3 ⊢ ℚ ≼ (ℤ × ℕ)
23		nnex 12263	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
24	23	enref 8991	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ℕ
25		xpen 9138	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ℕ) → (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ))
26	6, 24, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ (ℕ × ℕ)
27		xpnnen 16299	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
28	26, 27	entri 9014	. . 3 ⊢ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ
29		domentr 9019	. . 3 ⊢ ((ℚ ≼ (ℤ × ℕ) ∧ (ℤ × ℕ) ≈ ℕ) → ℚ ≼ ℕ)
30	22, 28, 29	mp2an 705	. 2 ⊢ ℚ ≼ ℕ
31		qex 13010	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
32		nnssq 13007	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℚ
33		ssdomg 9006	. . 3 ⊢ (ℚ ∈ V → (ℕ ⊆ ℚ → ℕ ≼ ℚ))
34	31, 32, 33	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℚ
35		sbth 9095	. 2 ⊢ ((ℚ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℚ) → ℚ ≈ ℕ)
36	30, 34, 35	mp2an 705	1 ⊢ ℚ ≈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656  Oncon0 6357   Fn wfn 6528  –onto→wfo 6531  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  ωcom 7862   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  cardccrd 9940   / cdiv 11895  ℕcn 12257  ℤcz 12615  ℚcq 12997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998

This theorem is used by:  rpnnen  16315  resdomq  16332  ex-chn2  18726  re2ndc  25027  ovolq  25719  opnmblALT  25831  vitali  25841  mbfimaopnlem  25883  mbfaddlem  25888  mblfinlem1  38406  irrapx1  43669  qenom  46191