Theorem finnum 10022

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8995	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnon 7881	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3		ensym 9023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnumi 10020	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
6	5	rexlimiva 3156	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom card)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Oncon0 6361  ωcom 7875   ≈ cen 8963  Fincfn 8966  cardccrd 10009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-om 7876  df-er 8710  df-en 8967  df-fin 8970  df-card 10013

This theorem is used by:  ficardom  10035  ficardid  10036  fidomtri  10067  numwdom  10131  fodomfi2  10132  dfac12k  10219  ficardun2  10273  pwsdompw  10274  ackbij2  10313  sdom2en01  10373  dfacfin7  10470  fin1a2lem9  10479  domtriomlem  10513  zornn0g  10576  canthnum  10727  pwfseqlem4  10740  uzindi  14118  hashkf  14469  hashgval  14470  hashen  14484  hashdom  14516  symggen  19677  pgpfac1lem5  20288  fiufl  24228  ffsrn  33313  fineqvacALT  35768  finixpnum  38508  poimirlem32  38550  ttac  44022