Theorem finnum 9836

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnon 7797	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3		ensym 8920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnumi 9834	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
6	5	rexlimiva 3125	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom card)
7	1, 6	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  Oncon0 6301  ωcom 7791   ≈ cen 8861  Fincfn 8864  cardccrd 9823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-om 7792  df-er 8617  df-en 8865  df-fin 8868  df-card 9827

This theorem is referenced by:  ficardom  9849  ficardid  9850  fidomtri  9881  numwdom  9945  fodomfi2  9946  dfac12k  10034  ficardun2  10088  pwsdompw  10089  ackbij2  10128  sdom2en01  10188  dfacfin7  10285  fin1a2lem9  10294  domtriomlem  10328  zornn0g  10391  canthnum  10535  pwfseqlem4  10548  uzindi  13884  hashkf  14234  hashgval  14235  hashen  14249  hashdom  14281  symggen  19377  pgpfac1lem5  19988  fiufl  23826  fineqvacALT  35132  finixpnum  37645  poimirlem32  37692  ttac  43069