Theorem finnum 9612

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnon 7690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3		ensym 8721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnumi 9610	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
6	5	rexlimiva 3210	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom card)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3065   class class class wbr 5070  dom cdm 5579  Oncon0 6248  ωcom 7684   ≈ cen 8665  Fincfn 8668  cardccrd 9599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-ord 6251  df-on 6252  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-om 7685  df-er 8433  df-en 8669  df-fin 8672  df-card 9603

This theorem is referenced by:  ficardom  9625  ficardid  9626  fidomtri  9657  numwdom  9721  fodomfi2  9722  dfac12k  9809  ficardunOLD  9863  ficardun2  9864  ficardun2OLD  9865  pwsdompw  9866  ackbij2  9905  sdom2en01  9964  dfacfin7  10061  fin1a2lem9  10070  domtriomlem  10104  zornn0g  10167  canthnum  10311  pwfseqlem4  10324  uzindi  13605  hashkf  13949  hashgval  13950  hashen  13964  hashdom  13997  symggen  18968  pgpfac1lem5  19572  fiufl  22950  fineqvacALT  32942  finixpnum  35668  poimirlem32  35715  ttac  40746