MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finnum 9947
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8976 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2 nnon 7865 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3 ensym 9003 . . . 4 (𝐴𝑥𝑥𝐴)
4 isnumi 9945 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
52, 3, 4syl2an 594 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
65rexlimiva 3145 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥𝐴 ∈ dom card)
71, 6sylbi 216 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2104  wrex 3068   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Oncon0 6365  ωcom 7859  cen 8940  Fincfn 8943  cardccrd 9934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-om 7860  df-er 8707  df-en 8944  df-fin 8947  df-card 9938
This theorem is referenced by:  ficardom  9960  ficardid  9961  fidomtri  9992  numwdom  10058  fodomfi2  10059  dfac12k  10146  ficardunOLD  10200  ficardun2  10201  ficardun2OLD  10202  pwsdompw  10203  ackbij2  10242  sdom2en01  10301  dfacfin7  10398  fin1a2lem9  10407  domtriomlem  10441  zornn0g  10504  canthnum  10648  pwfseqlem4  10661  uzindi  13953  hashkf  14298  hashgval  14299  hashen  14313  hashdom  14345  symggen  19381  pgpfac1lem5  19992  fiufl  23642  fineqvacALT  34394  finixpnum  36778  poimirlem32  36825  ttac  42079
  Copyright terms: Public domain W3C validator