MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finnum 9374
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8529 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2 nnon 7580 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3 ensym 8554 . . . 4 (𝐴𝑥𝑥𝐴)
4 isnumi 9372 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
52, 3, 4syl2an 598 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
65rexlimiva 3273 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥𝐴 ∈ dom card)
71, 6sylbi 220 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  wrex 3134   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  Oncon0 6178  ωcom 7574  cen 8502  Fincfn 8505  cardccrd 9361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-om 7575  df-er 8285  df-en 8506  df-fin 8509  df-card 9365
This theorem is referenced by:  ficardom  9387  ficardid  9388  fidomtri  9419  numwdom  9483  fodomfi2  9484  dfac12k  9571  ficardun  9622  ficardun2  9623  pwsdompw  9624  ackbij2  9663  sdom2en01  9722  dfacfin7  9819  fin1a2lem9  9828  domtriomlem  9862  zornn0g  9925  canthnum  10069  pwfseqlem4  10082  uzindi  13354  hashkf  13697  hashgval  13698  hashen  13712  hashdom  13745  symggen  18598  pgpfac1lem5  19201  fiufl  22528  finixpnum  34991  poimirlem32  35038  ttac  39898
  Copyright terms: Public domain W3C validator