MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finnum 9891
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8923 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2 nnon 7813 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3 ensym 8950 . . . 4 (𝐴𝑥𝑥𝐴)
4 isnumi 9889 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
52, 3, 4syl2an 597 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
65rexlimiva 3145 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥𝐴 ∈ dom card)
71, 6sylbi 216 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wrex 3074   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  Oncon0 6322  ωcom 7807  cen 8887  Fincfn 8890  cardccrd 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-om 7808  df-er 8655  df-en 8891  df-fin 8894  df-card 9882
This theorem is referenced by:  ficardom  9904  ficardid  9905  fidomtri  9936  numwdom  10002  fodomfi2  10003  dfac12k  10090  ficardunOLD  10144  ficardun2  10145  ficardun2OLD  10146  pwsdompw  10147  ackbij2  10186  sdom2en01  10245  dfacfin7  10342  fin1a2lem9  10351  domtriomlem  10385  zornn0g  10448  canthnum  10592  pwfseqlem4  10605  uzindi  13894  hashkf  14239  hashgval  14240  hashen  14254  hashdom  14286  symggen  19259  pgpfac1lem5  19865  fiufl  23283  fineqvacALT  33739  finixpnum  36092  poimirlem32  36139  ttac  41389
  Copyright terms: Public domain W3C validator