Theorem expcan 14120

Description: Cancellation law for integer exponentiation of reals. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expcan	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem expcan

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
2		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑀))
3		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑁))
4		zssre 12520	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0red 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7		1red 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
8		0lt1 11661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
10		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
11	6, 7, 5, 9, 10	lttrd 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
12	5, 11	elrpd 12972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
13		rpexpcl 14031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ+)
14	12, 13	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 12975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ)
16		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 < 𝐴)
20		ltexp2a 14117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦))
21	20	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦)))
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦)))
23	1, 2, 3, 4, 15, 22	eqord1 11667	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁)))
24	23	ancom2s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁)))
25	24	exp43 436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁))))))
26	25	com24 95	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁))))))
27	26	3imp1 1349	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁)))
28	27	bicomd 223	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   < clt 11168  ℤcz 12513  ℝ⁺crp 12931  ↑cexp 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013

This theorem is referenced by:  expcand  14204  fmtnof1  47995