MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcan 13121
Description: Cancellation law for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expcan (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴𝑀) = (𝐴𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem expcan
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6802 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
2 oveq2 6802 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑀))
3 oveq2 6802 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
4 zssre 11587 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
5 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0red 10244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7 1red 10258 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
8 0lt1 10753 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
10 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
116, 7, 5, 9, 10lttrd 10401 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
125, 11elrpd 12073 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
13 rpexpcl 13087 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1412, 13sylan 563 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1514rpred 12076 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
16 simpll 744 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 simprl 748 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
18 simprr 750 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19 simplr 746 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 < 𝐴)
20 ltexp2a 13120 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑥 < 𝑦)) → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦))
2120expr 444 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
231, 2, 3, 4, 15, 22eqord1 10759 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2423ancom2s 623 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2524exp43 423 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁))))))
2625com24 95 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁))))))
27263imp1 1440 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2827bicomd 213 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴𝑀) = (𝐴𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   < clt 10277  cz 11580  +crp 12036  cexp 13068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-seq 13010  df-exp 13069
This theorem is referenced by:  expcand  13248  fmtnof1  41976
  Copyright terms: Public domain W3C validator