Theorem expcan 14172

Description: Cancellation law for integer exponentiation of reals. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expcan	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem expcan

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
2		oveq2 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑀))
3		oveq2 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑁))
4		zssre 12565	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0red 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7		1red 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
8		0lt1 11699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
10		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
11	6, 7, 5, 9, 10	lttrd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
12	5, 11	elrpd 13024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
13		rpexpcl 14083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ+)
14	12, 13	sylan 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℝ)
16		simpll 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simprl 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simprr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		simplr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 < 𝐴)
20		ltexp2a 14169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦))
21	20	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦)))
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴↑𝑥) < (𝐴↑𝑦)))
23	1, 2, 3, 4, 15, 22	eqord1 11705	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁)))
24	23	ancom2s 658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁)))
25	24	exp43 439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁))))))
26	25	com24 95	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁))))))
27	26	3imp1 1357	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁)))
28	27	bicomd 225	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑀) = (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   < clt 11206  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12983  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by:  expcand  14256  fmtnof1  48092