MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcan 14206
Description: Cancellation law for integer exponentiation of reals. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expcan (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴𝑀) = (𝐴𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem expcan
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
2 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑀))
3 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
4 zssre 12618 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
5 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0red 11262 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7 1red 11260 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
8 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
116, 7, 5, 9, 10lttrd 11420 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
125, 11elrpd 13072 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
13 rpexpcl 14118 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1412, 13sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1514rpred 13075 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
16 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
18 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 < 𝐴)
20 ltexp2a 14203 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑥 < 𝑦)) → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦))
2120expr 456 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
231, 2, 3, 4, 15, 22eqord1 11789 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2423ancom2s 650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2524exp43 436 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁))))))
2625com24 95 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁))))))
27263imp1 1346 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2827bicomd 223 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴𝑀) = (𝐴𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cz 12611  +crp 13032  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  expcand  14289  fmtnof1  47460
  Copyright terms: Public domain W3C validator