Theorem bcc0 43588

Description: The generalized binomial coefficient 𝐶 choose 𝐾 is zero iff 𝐶 is an integer between zero and (𝐾 − 1) inclusive. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcc0	⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Proof of Theorem bcc0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 43586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4	3	eqeq1d 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0))
5		fallfaccl 15957	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
7		faccl 14240	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
10		facne0 14243	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
12	6, 9, 11	diveq0ad 11997	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0 ↔ (𝐶 FallFac 𝐾) = 0))
13		fallfacval 15950	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
14	1, 2, 13	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
15	14	eqeq1d 2726	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
16		elfzuz3 13495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18		nn0uz 12861	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		elfznn0 13591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
21	1	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		nn0cn 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
24	21, 23	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
25	1	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		eqcom 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑘)
27	26	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑘)
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑘)
29	25, 28	subeq0bd 11637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → (𝐶 − 𝑘) = 0)
30	18, 20, 24, 29	fprodeq0 15916	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
31	17, 30	mpdan 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
33		fzfid 13935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
34	1	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
35		elfznn0 13591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
39		nelne2 3032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≠ 𝐶)
40	39	necomd 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
41	40	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
42	41	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
43	34, 37, 42	subne0d 11577	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
44	33, 38, 43	fprodn0 15920	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0))
46	45	necon4bd 2952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0 → 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
47	32, 46	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
48	15, 47	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
49	4, 12, 48	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   − cmin 11441   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℤ_≥cuz 12819  ...cfz 13481  !cfa 14230  ∏cprod 15846   FallFac cfallfac 15945  C_𝑐cbcc 43584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847  df-fallfac 15948  df-bcc 43585

This theorem is referenced by:  bccbc  43593  binomcxplemnn0  43597  binomcxplemfrat  43599  binomcxplemradcnv  43600