Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcc0 44335
Description: The generalized binomial coefficient 𝐶 choose 𝐾 is zero iff 𝐶 is an integer between zero and (𝐾 − 1) inclusive. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bcc0 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Proof of Theorem bcc0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
31, 2bccval 44333 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
43eqeq1d 2736 . 2 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0))
5 fallfaccl 16048 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
7 faccl 14318 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
98nncnd 12279 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
10 facne0 14321 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
112, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
126, 9, 11diveq0ad 12050 . 2 (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0 ↔ (𝐶 FallFac 𝐾) = 0))
13 fallfacval 16041 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘))
141, 2, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘))
1514eqeq1d 2736 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
16 elfzuz3 13557 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶))
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶))
18 nn0uz 12917 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
19 elfznn0 13656 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
211ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
22 nn0cn 12533 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
2421, 23subcld 11617 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
251ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 eqcom 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐶𝐶 = 𝑘)
2726biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶𝐶 = 𝑘)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑘)
2925, 28subeq0bd 11686 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → (𝐶𝑘) = 0)
3018, 20, 24, 29fprodeq0 16007 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0)
3117, 30mpdan 687 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0)
3231ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
33 fzfid 14010 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
341ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
35 elfznn0 13656 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3834, 37subcld 11617 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
39 nelne2 3037 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘𝐶)
4039necomd 2993 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4140ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4241adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4334, 37, 42subne0d 11626 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶𝑘) ≠ 0)
4433, 38, 43fprodn0 16011 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) ≠ 0)
4544ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) ≠ 0))
4645necon4bd 2957 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0 → 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
4732, 46impbid 212 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
4815, 47bitr4d 282 . 2 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
494, 12, 483bitrd 305 1 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cuz 12875  ...cfz 13543  !cfa 14308  cprod 15935   FallFac cfallfac 16036  C𝑐cbcc 44331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936  df-fallfac 16039  df-bcc 44332
This theorem is referenced by:  bccbc  44340  binomcxplemnn0  44344  binomcxplemfrat  44346  binomcxplemradcnv  44347
  Copyright terms: Public domain W3C validator