Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcc0 43700
Description: The generalized binomial coefficient 𝐶 choose 𝐾 is zero iff 𝐶 is an integer between zero and (𝐾 − 1) inclusive. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bcc0 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Proof of Theorem bcc0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
31, 2bccval 43698 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
43eqeq1d 2729 . 2 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0))
5 fallfaccl 15984 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
61, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
7 faccl 14266 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
98nncnd 12250 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
10 facne0 14269 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
112, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
126, 9, 11diveq0ad 12022 . 2 (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0 ↔ (𝐶 FallFac 𝐾) = 0))
13 fallfacval 15977 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘))
141, 2, 13syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘))
1514eqeq1d 2729 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
16 elfzuz3 13522 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶))
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶))
18 nn0uz 12886 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
19 elfznn0 13618 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
211ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
22 nn0cn 12504 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
2421, 23subcld 11593 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
251ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 eqcom 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐶𝐶 = 𝑘)
2726biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶𝐶 = 𝑘)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑘)
2925, 28subeq0bd 11662 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → (𝐶𝑘) = 0)
3018, 20, 24, 29fprodeq0 15943 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0)
3117, 30mpdan 686 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0)
3231ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
33 fzfid 13962 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
341ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
35 elfznn0 13618 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12556 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3834, 37subcld 11593 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
39 nelne2 3035 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘𝐶)
4039necomd 2991 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4140ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4241adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4334, 37, 42subne0d 11602 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶𝑘) ≠ 0)
4433, 38, 43fprodn0 15947 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) ≠ 0)
4544ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) ≠ 0))
4645necon4bd 2955 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0 → 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
4732, 46impbid 211 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
4815, 47bitr4d 282 . 2 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
494, 12, 483bitrd 305 1 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131  cmin 11466   / cdiv 11893  cn 12234  0cn0 12494  cuz 12844  ...cfz 13508  !cfa 14256  cprod 15873   FallFac cfallfac 15972  C𝑐cbcc 43696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-prod 15874  df-fallfac 15975  df-bcc 43697
This theorem is referenced by:  bccbc  43705  binomcxplemnn0  43709  binomcxplemfrat  43711  binomcxplemradcnv  43712
  Copyright terms: Public domain W3C validator