Theorem bcc0 39374

Description: The generalized binomial coefficient 𝐶 choose 𝐾 is zero iff 𝐶 is an integer between zero and (𝐾 − 1) inclusive. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcc0	⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Proof of Theorem bcc0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 39372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4	3	eqeq1d 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0))
5		fallfaccl 15126	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
7		faccl 13370	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9	8	nncnd 11375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
10		facne0 13373	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
12	6, 9, 11	diveq0ad 11144	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0 ↔ (𝐶 FallFac 𝐾) = 0))
13		fallfacval 15119	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
14	1, 2, 13	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
15	14	eqeq1d 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
16		elfzuz3 12639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	16	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18		nn0uz 12011	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		elfznn0 12734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
21	1	ad2antrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		nn0cn 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
23	22	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
24	21, 23	subcld 10720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
25	1	ad2antrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		eqcom 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑘)
27	26	biimpi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑘)
28	27	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑘)
29	25, 28	subeq0bd 10787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → (𝐶 − 𝑘) = 0)
30	18, 20, 24, 29	fprodeq0 15085	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
31	17, 30	mpdan 678	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
32	31	ex 403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
33		fzfid 13074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
34	1	ad2antrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
35		elfznn0 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 11687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
37	36	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 10720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
39		nelne2 3096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≠ 𝐶)
40	39	necomd 3054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
41	40	ancoms 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
42	41	adantll 705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
43	34, 37, 42	subne0d 10729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
44	33, 38, 43	fprodn0 15089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
45	44	ex 403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0))
46	45	necon4bd 3019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0 → 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
47	32, 46	impbid 204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
48	15, 47	bitr4d 274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
49	4, 12, 48	3bitrd 297	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   − cmin 10592   / cdiv 11016  ℕcn 11357  ℕ₀cn0 11625  ℤ_≥cuz 11975  ...cfz 12626  !cfa 13360  ∏cprod 15015   FallFac cfallfac 15114  C_𝑐cbcc 39370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-prod 15016  df-fallfac 15117  df-bcc 39371

This theorem is referenced by:  bccbc  39379  binomcxplemnn0  39383  binomcxplemfrat  39385  binomcxplemradcnv  39386