Theorem bcc0 45151

Description: The generalized binomial coefficient 𝐶 choose 𝐾 is zero iff 𝐶 is an integer between zero and (𝐾 − 1) inclusive. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcc0	⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Proof of Theorem bcc0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 45149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4	3	eqeq1d 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0))
5		fallfaccl 16107	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
7		faccl 14349	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
10		facne0 14352	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
11	2, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
12	6, 9, 11	diveq0ad 12028	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0 ↔ (𝐶 FallFac 𝐾) = 0))
13		fallfacval 16100	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
14	1, 2, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
15	14	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
16		elfzuz3 13577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18		nn0uz 12928	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		elfznn0 13677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
21	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		nn0cn 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
24	21, 23	subcld 11596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
25	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		eqcom 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑘)
27	26	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑘)
28	25, 27	subeq0bd 11667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → (𝐶 − 𝑘) = 0)
29	18, 20, 24, 28	fprodeq0 16066	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
30	17, 29	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
31	30	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
32		fzfid 14039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
33	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
34		elfznn0 13677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	35	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
37	33, 36	subcld 11596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
38		nelne2 3055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≠ 𝐶)
39	38	necomd 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
40	39	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
41	40	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
42	33, 36, 41	subne0d 11605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
43	32, 37, 42	fprodn0 16070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
44	43	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0))
45	44	necon4bd 2977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0 → 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
46	31, 45	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
47	15, 46	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
48	4, 12, 47	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563  !cfa 14339  ∏cprod 15994   FallFac cfallfac 16095  C_𝑐cbcc 45147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-prod 15995  df-fallfac 16098  df-bcc 45148

This theorem is used by:  bccbc  45156  binomcxplemnn0  45160  binomcxplemfrat  45162  binomcxplemradcnv  45163