Theorem bcc0 44438

Description: The generalized binomial coefficient 𝐶 choose 𝐾 is zero iff 𝐶 is an integer between zero and (𝐾 − 1) inclusive. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcc0	⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Proof of Theorem bcc0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 44436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4	3	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0))
5		fallfaccl 15929	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
7		faccl 14196	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
10		facne0 14199	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
12	6, 9, 11	diveq0ad 11913	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0 ↔ (𝐶 FallFac 𝐾) = 0))
13		fallfacval 15922	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
14	1, 2, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘))
15	14	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
16		elfzuz3 13427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
18		nn0uz 12780	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		elfznn0 13526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
21	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
22		nn0cn 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
24	21, 23	subcld 11478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
25	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		eqcom 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑘)
27	26	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑘)
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑘)
29	25, 28	subeq0bd 11549	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → (𝐶 − 𝑘) = 0)
30	18, 20, 24, 29	fprodeq0 15888	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
31	17, 30	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0)
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
33		fzfid 13886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
34	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
35		elfznn0 13526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
39		nelne2 3026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≠ 𝐶)
40	39	necomd 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
41	40	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
42	41	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ≠ 𝑘)
43	34, 37, 42	subne0d 11487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
44	33, 38, 43	fprodn0 15892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0)
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) ≠ 0))
46	45	necon4bd 2948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0 → 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
47	32, 46	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶 − 𝑘) = 0))
48	15, 47	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
49	4, 12, 48	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012  1c1 11013   − cmin 11350   / cdiv 11780  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13413  !cfa 14186  ∏cprod 15816   FallFac cfallfac 15917  C_𝑐cbcc 44434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-fac 14187  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-prod 15817  df-fallfac 15920  df-bcc 44435

This theorem is referenced by:  bccbc  44443  binomcxplemnn0  44447  binomcxplemfrat  44449  binomcxplemradcnv  44450