Theorem fallfacval3 15145

Description: A product representation of falling factorial when 𝐴 is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval3	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval3

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 12752	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 11704	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		elfznn0 12751	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		fallfacval 15142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
5	2, 3, 4	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
6		elfzel2 12657	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		elfzel1 12658	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ∈ ℤ)
8		elfzelz 12659	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		peano2zm 11772	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		elfzelz 12659	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 11835	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13		subcl 10621	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	2, 12, 13	syl2an 589	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
15		oveq2 6930	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝐴 − 𝑘) → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
16	6, 7, 10, 14, 15	fprodrev 15110	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
17	2	subid1d 10723	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) = ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴))
19	2	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		elfzelz 12659	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 11835	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23	19, 22	nncand 10739	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = 𝑘)
24	18, 23	prodeq12dv 15059	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
25	5, 16, 24	3eqtrd 2818	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   − cmin 10606  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ...cfz 12643  ∏cprod 15038   FallFac cfallfac 15137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-prod 15039  df-fallfac 15140

This theorem is referenced by:  fallfacval4  15176