Theorem fallfacval3 16060

Description: A product representation of falling factorial when 𝐴 is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval3	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval3

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13678	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		elfznn0 13677	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		fallfacval 16057	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
6		elfzel2 13582	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		elfzel1 13583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ∈ ℤ)
8		elfzelz 13584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		peano2zm 12686	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		elfzelz 13584	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12748	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13		subcl 11535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	2, 12, 13	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
15		oveq2 7456	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝐴 − 𝑘) → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
16	6, 7, 10, 14, 15	fprodrev 16025	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
17	2	subid1d 11636	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) = ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴))
19	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		elfzelz 13584	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12748	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23	19, 22	nncand 11652	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = 𝑘)
24	18, 23	prodeq12dv 15974	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
25	5, 16, 24	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  ∏cprod 15951   FallFac cfallfac 16052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-prod 15952  df-fallfac 16055

This theorem is referenced by:  fallfacval4  16091