Theorem fallfacval3 16056

Description: A product representation of falling factorial when 𝐴 is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval3	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval3

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13640	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12558	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		elfznn0 13639	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		fallfacval 16053	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
6		elfzel2 13541	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		elfzel1 13542	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ∈ ℤ)
8		elfzelz 13543	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		peano2zm 12628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		elfzelz 13543	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12692	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13		subcl 11444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	2, 12, 13	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
15		oveq2 7408	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝐴 − 𝑘) → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
16	6, 7, 10, 14, 15	fprodrev 16021	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
17	2	subid1d 11546	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) = ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴))
19	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		elfzelz 13543	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12692	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23	19, 22	nncand 11562	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = 𝑘)
24	18, 23	prodeq12dv 15970	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
25	5, 16, 24	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ...cfz 13526  ∏cprod 15947   FallFac cfallfac 16048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-prod 15948  df-fallfac 16051

This theorem is referenced by:  fallfacval4  16087