Theorem fallfacval3 15974

Description: A product representation of falling factorial when 𝐴 is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval3	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval3

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13613	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12550	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		elfznn0 13612	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		fallfacval 15971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
6		elfzel2 13517	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		elfzel1 13518	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ∈ ℤ)
8		elfzelz 13519	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		peano2zm 12621	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		elfzelz 13519	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12683	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13		subcl 11475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	2, 12, 13	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
15		oveq2 7422	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝐴 − 𝑘) → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
16	6, 7, 10, 14, 15	fprodrev 15939	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
17	2	subid1d 11576	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) = ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴))
19	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		elfzelz 13519	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12683	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23	19, 22	nncand 11592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = 𝑘)
24	18, 23	prodeq12dv 15888	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
25	5, 16, 24	3eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   − cmin 11460  ℕ₀cn0 12488  ℤcz 12574  ...cfz 13502  ∏cprod 15867   FallFac cfallfac 15966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868  df-fallfac 15969

This theorem is referenced by:  fallfacval4  16005