Theorem fallfacval3 15992

Description: A product representation of falling factorial when 𝐴 is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval3	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval3

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13630	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12567	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		elfznn0 13629	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		fallfacval 15989	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
5	2, 3, 4	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗))
6		elfzel2 13534	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		elfzel1 13535	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ∈ ℤ)
8		elfzelz 13536	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		peano2zm 12638	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11		elfzelz 13536	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12700	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
13		subcl 11491	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
14	2, 12, 13	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑗) ∈ ℂ)
15		oveq2 7427	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝐴 − 𝑘) → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
16	6, 7, 10, 14, 15	fprodrev 15957	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑗) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)))
17	2	subid1d 11592	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
18	17	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) = ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴))
19	2	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		elfzelz 13536	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12700	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0)) → 𝑘 ∈ ℂ)
22	21	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23	19, 22	nncand 11608	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))) → (𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = 𝑘)
24	18, 23	prodeq12dv 15906	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...(𝐴 − 0))(𝐴 − (𝐴 − 𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
25	5, 16, 24	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   − cmin 11476  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ...cfz 13519  ∏cprod 15885   FallFac cfallfac 15984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-prod 15886  df-fallfac 15987

This theorem is referenced by:  fallfacval4  16023