Theorem risefacval2 15363

Description: One-based value of rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefacval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem risefacval2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risefacval 15361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛))
2		1zzd 12012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
3		0zd 11992	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4		nn0z 12004	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2zm 12024	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		elfznn0 12999	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 11956	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11		addcl 10618	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
12	8, 10, 11	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
13		oveq2 7163	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 − 1) → (𝐴 + 𝑛) = (𝐴 + (𝑘 − 1)))
14	2, 3, 7, 12, 13	fprodshft 15329	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛) = ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)))
15		0p1e1 11758	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
17		nn0cn 11906	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
18		1cnd 10635	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
19	17, 18	npcand 11000	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
20	19	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	16, 20	oveq12d 7173	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
22	21	prodeq1d 15274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
23	1, 14, 22	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   − cmin 10869  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980  ...cfz 12891  ∏cprod 15258   RiseFac crisefac 15358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-prod 15259  df-risefac 15359

This theorem is referenced by:  risefallfac  15377  risefacfac  15388