Theorem risefacval2 16089

Description: One-based value of rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefacval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem risefacval2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risefacval 16087	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛))
2		1zzd 12642	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
3		0zd 12620	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4		nn0z 12632	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2zm 12654	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		elfznn0 13667	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12584	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11		addcl 11199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
12	8, 10, 11	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
13		oveq2 7427	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 − 1) → (𝐴 + 𝑛) = (𝐴 + (𝑘 − 1)))
14	2, 3, 7, 12, 13	fprodshft 16055	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛) = ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)))
15		0p1e1 12378	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
17		nn0cn 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
18		1cnd 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
19	17, 18	npcand 11590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
20	19	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	16, 20	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
22	21	prodeq1d 15999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
23	1, 14, 22	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   − cmin 11458  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ...cfz 13553  ∏cprod 15982   RiseFac crisefac 16084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15983  df-risefac 16085

This theorem is used by:  risefallfac  16103  risefacfac  16113