Theorem fallfacp1 15995

Description: The value of the falling factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴 − 𝑁)))

Proof of Theorem fallfacp1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 11506	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
6	5	prodeq1d 15885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 − 𝑘))
7		elnn0uz 12829	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10		elfznn0 13574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
12		subcl 11392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑘) ∈ ℂ)
13	11, 12	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − 𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − 𝑘) ∈ ℂ)
15		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 − 𝑘) = (𝐴 − 𝑁))
16	9, 14, 15	fprodm1 15932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 − 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) · (𝐴 − 𝑁)))
17	6, 16	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) · (𝐴 − 𝑁)))
18		peano2nn0 12477	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19		fallfacval 15974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘))
20	18, 19	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘))
21		fallfacval 15974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
22	21	oveq1d 7382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴 − 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) · (𝐴 − 𝑁)))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴 − 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ∏cprod 15868   FallFac cfallfac 15969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-fallfac 15972

This theorem is referenced by:  fallfacp1d  15997  fallfac1  15999  fallfacfwd  16001  binomfallfaclem2  16005  bccp1k  44768  binomcxplemwb  44775