Theorem fallfacp1 15789

Description: The value of the falling factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴 − 𝑁)))

Proof of Theorem fallfacp1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 11383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7323	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
6	5	prodeq1d 15680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 − 𝑘))
7		elnn0uz 12673	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9	8	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10		elfznn0 13399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12345	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
12		subcl 11270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑘) ∈ ℂ)
13	11, 12	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − 𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − 𝑘) ∈ ℂ)
15		oveq2 7315	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 − 𝑘) = (𝐴 − 𝑁))
16	9, 14, 15	fprodm1 15726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 − 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) · (𝐴 − 𝑁)))
17	6, 16	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) · (𝐴 − 𝑁)))
18		peano2nn0 12323	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19		fallfacval 15768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘))
20	18, 19	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 − 𝑘))
21		fallfacval 15768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
22	21	oveq1d 7322	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴 − 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) · (𝐴 − 𝑁)))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 FallFac 𝑁) · (𝐴 − 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924   · cmul 10926   − cmin 11255  ℕ₀cn0 12283  ℤ_≥cuz 12632  ...cfz 13289  ∏cprod 15664   FallFac cfallfac 15763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-exp 13833  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-prod 15665  df-fallfac 15766

This theorem is referenced by:  fallfacp1d  15791  fallfac1  15793  fallfacfwd  15795  binomfallfaclem2  15799  bccp1k  42172  binomcxplemwb  42179