Theorem fallfaccllem 15652

Description: Lemma for falling factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
risefallfaccllem.1	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
risefallfaccllem.2	⊢ 1 ∈ 𝑆
risefallfaccllem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fallfaccllem.4	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fallfaccllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fallfaccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risefallfaccllem.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
2	1	sseli 3913	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fallfacval 15647	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
4	2, 3	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
5	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		risefallfaccllem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
8		fzfid 13621	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
9		elfznn0 13278	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		fallfaccllem.4	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
12		risefallfaccllem.2	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ 𝑆
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 1 ∈ 𝑆)
14	5, 7, 8, 11, 13	fprodcllem 15589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
16	4, 15	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168  ∏cprod 15543   FallFac cfallfac 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544  df-fallfac 15645

This theorem is referenced by:  fallfaccl  15654  refallfaccl  15656  zfallfaccl  15659