MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfaccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfaccllem 15902
Description: Lemma for falling factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
risefallfaccllem.1 ๐‘† โŠ† โ„‚
risefallfaccllem.2 1 โˆˆ ๐‘†
risefallfaccllem.3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
fallfaccllem.4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
fallfaccllem ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem fallfaccllem
StepHypRef Expression
1 risefallfaccllem.1 . . . 4 ๐‘† โŠ† โ„‚
21sseli 3941 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 fallfacval 15897 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ ๐‘˜))
42, 3sylan 581 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ ๐‘˜))
51a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
6 risefallfaccllem.3 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
76adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
8 fzfid 13884 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
9 elfznn0 13540 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
10 fallfaccllem.4 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
119, 10sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
12 risefallfaccllem.2 . . . . 5 1 โˆˆ ๐‘†
1312a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ 1 โˆˆ ๐‘†)
145, 7, 8, 11, 13fprodcllem 15839 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
1514adantr 482 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)
164, 15eqeltrd 2834 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3911  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  โˆcprod 15793   FallFac cfallfac 15892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794  df-fallfac 15895
This theorem is referenced by:  fallfaccl  15904  refallfaccl  15906  zfallfaccl  15909
  Copyright terms: Public domain W3C validator