Theorem fallfaccllem 16225

Description: Lemma for falling factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
risefallfaccllem.1	⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
risefallfaccllem.2	⊢ 1 ∈ 𝑆
risefallfaccllem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fallfaccllem.4	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fallfaccllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fallfaccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risefallfaccllem.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
2	1	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fallfacval 16220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
4	2, 3	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘))
5	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		risefallfaccllem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
8		fzfid 14156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
9		elfznn0 13794	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		fallfaccllem.4	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
12		risefallfaccllem.2	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ 𝑆
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 1 ∈ 𝑆)
14	5, 7, 8, 11, 13	fprodcllem 16162	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
15	14	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑘) ∈ 𝑆)
16	4, 15	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ∏cprod 16116   FallFac cfallfac 16215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-prod 16117  df-fallfac 16218

This theorem is used by:  fallfaccl  16227  refallfaccl  16229  zfallfaccl  16232