HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 160 of 481)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-30640)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(30641-32163)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(32164-48040)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 15901-16000   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremfprodmul 15901* The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ))
 
Theoremfproddiv 15902* The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต / ๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ))
 
Theoremprodsn 15903* A product of a singleton is the term. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
(๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
 
Theoremfprod1 15904* A finite product of only one term is the term itself. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
(๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = ๐ต)
 
Theoremprodsnf 15905* A product of a singleton is the term. A version of prodsn 15903 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐ต    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
 
Theoremclimprod1 15906 The limit of a product over one. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , (๐‘ ร— {1})) โ‡ 1)
 
Theoremfprodsplit 15907* Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
 
Theoremfprodm1 15908* Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremfprod1p 15909* Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)๐ด))
 
Theoremfprodp1 15910* Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremfprodm1s 15911* Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด ยท โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
 
Theoremfprodp1s 15912* Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โฆ‹(๐‘ + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
 
Theoremprodsns 15913* A product of the singleton is the term. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)
((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
 
Theoremfprodfac 15914* Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
(๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜)
 
Theoremfprodabs 15915* The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))
 
Theoremfprodeq0 15916* Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ ๐ด = 0)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐พ)๐ด = 0)
 
Theoremfprodshft 15917* Shift the index of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = (๐‘˜ โˆ’ ๐พ) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + ๐พ)...(๐‘ + ๐พ))๐ต)
 
Theoremfprodrev 15918* Reversal of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = (๐พ โˆ’ ๐‘˜) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ โˆ’ ๐‘)...(๐พ โˆ’ ๐‘€))๐ต)
 
Theoremfprodconst 15919* The product of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ตโ†‘(โ™ฏโ€˜๐ด)))
 
Theoremfprodn0 15920* A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
 
Theoremfprod2dlem 15921* Lemma for fprod2d 15922- induction step. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)
(๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ท = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ}) โІ ๐ด)    &   (๐œ“ โ†” โˆ๐‘— โˆˆ ๐‘ฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ ๐‘ฅ ({๐‘—} ร— ๐ต)๐ท)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ})โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ (๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ})({๐‘—} ร— ๐ต)๐ท)
 
Theoremfprod2d 15922* Write a double product as a product over a two-dimensional region. Compare fsum2d 15714. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)
(๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ท = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘ง โˆˆ โˆช ๐‘— โˆˆ ๐ด ({๐‘—} ร— ๐ต)๐ท)
 
Theoremfprodxp 15923* Combine two products into a single product over the cartesian product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Feb-2018.)
(๐‘ง = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ท = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘ง โˆˆ (๐ด ร— ๐ต)๐ท)
 
Theoremfprodcnv 15924* Transform a product region using the converse operation. (Contributed by Scott Fenton, 1-Feb-2018.)
(๐‘ฅ = โŸจ๐‘—, ๐‘˜โŸฉ โ†’ ๐ต = ๐ท)    &   (๐‘ฆ = โŸจ๐‘˜, ๐‘—โŸฉ โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Rel ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต = โˆ๐‘ฆ โˆˆ โ—ก ๐ด๐ถ)
 
Theoremfprodcom2 15925* Interchange order of multiplication. Note that ๐ต(๐‘—) and ๐ท(๐‘˜) are not necessarily constant expressions. (Contributed by Scott Fenton, 1-Feb-2018.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท)))    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ธ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ถ โˆ๐‘— โˆˆ ๐ท ๐ธ)
 
Theoremfprodcom 15926* Interchange product order. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต โˆ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremfprod0diag 15927* Two ways to express "the product of ๐ด(๐‘—, ๐‘˜) over the triangular region ๐‘€ โ‰ค ๐‘—, ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜, ๐‘— + ๐‘˜ โ‰ค ๐‘. Compare fsum0diag 15720. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2018.)
((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—))๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)โˆ๐‘— โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘˜))๐ด)
 
Theoremfproddivf 15928* The quotient of two finite products. A version of fproddiv 15902 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต / ๐ถ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต / โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ))
 
Theoremfprodsplitf 15929* Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 15907 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฉ ๐ต) = โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (๐ด โˆช ๐ต))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ˆ ๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ))
 
Theoremfprodsplitsn 15930* Separate out a term in a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   โ„ฒ๐‘˜๐ท    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ถ = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐ต})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ๐ท))
 
Theoremfprodsplit1f 15931* Separate out a term in a finite product. A version of fprodsplit1 44794 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ โ„ฒ๐‘˜๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ต = ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ถ})๐ต))
 
Theoremfprodn0f 15932* A finite product of nonzero terms is nonzero. A version of fprodn0 15920 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰  0)
 
Theoremfprodclf 15933* Closure of a finite product of complex numbers. A version of fprodcl 15893 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
 
Theoremfprodge0 15934* If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfprodeq0g 15935* Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ต = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
 
Theoremfprodge1 15936* If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfprodle 15937* If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
โ„ฒ๐‘˜๐œ‘    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremfprodmodd 15938* If all factors of two finite products are equal modulo ๐‘€, the products are equal modulo ๐‘€. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€))
 
5.10.12.5  Infinite products
 
Theoremiprodclim 15939* An infinite product equals the value its sequence converges to. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremiprodclim2 15940* A converging product converges to its infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด)
 
Theoremiprodclim3 15941* The sequence of partial finite product of a converging infinite product converge to the infinite product of the series. Note that ๐‘— must not occur in ๐ด. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ด)) โ‡ ๐‘ฆ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ dom โ‡ )    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘—) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘—)๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด)
 
Theoremiprodcl 15942* The product of a non-trivially converging infinite sequence is a complex number. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚)
 
Theoremiprodrecl 15943* The product of a non-trivially converging infinite real sequence is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„)
 
Theoremiprodmul 15944* Multiplication of infinite sums. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ง(๐‘ง โ‰  0 โˆง seq๐‘š( ยท , ๐บ) โ‡ ๐‘ง))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด ยท ๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต))
 
5.10.13  Falling and Rising Factorial
 
Syntaxcfallfac 15945 Declare the syntax for the falling factorial.
class FallFac
 
Syntaxcrisefac 15946 Declare the syntax for the rising factorial.
class RiseFac
 
Definitiondf-risefac 15947* Define the rising factorial function. This is the function (๐ด ยท (๐ด + 1) ยท ...(๐ด + ๐‘)) for complex ๐ด and nonnegative integers ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
RiseFac = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘ฅ + ๐‘˜))
 
Definitiondf-fallfac 15948* Define the falling factorial function. This is the function (๐ด ยท (๐ด โˆ’ 1) ยท ...(๐ด โˆ’ ๐‘)) for complex ๐ด and nonnegative integers ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
FallFac = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘˜))
 
Theoremrisefacval 15949* The value of the rising factorial function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด + ๐‘˜))
 
Theoremfallfacval 15950* The value of the falling factorial function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ ๐‘˜))
 
Theoremrisefacval2 15951* One-based value of rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด + (๐‘˜ โˆ’ 1)))
 
Theoremfallfacval2 15952* One-based value of falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
 
Theoremfallfacval3 15953* A product representation of falling factorial when ๐ด is a nonnegative integer. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
(๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜)
 
Theoremrisefaccllem 15954* Lemma for rising factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
๐‘† โІ โ„‚    &   1 โˆˆ ๐‘†    &   ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)    &   ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)    โ‡’   ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremfallfaccllem 15955* Lemma for falling factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
๐‘† โІ โ„‚    &   1 โˆˆ ๐‘†    &   ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)    &   ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ ๐‘†)    โ‡’   ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremrisefaccl 15956 Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremfallfaccl 15957 Closure law for falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremrerisefaccl 15958 Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ โ„)
 
Theoremrefallfaccl 15959 Closure law for falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) โˆˆ โ„)
 
Theoremnnrisefaccl 15960 Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ โ„•)
 
Theoremzrisefaccl 15961 Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ โ„ค)
 
Theoremzfallfaccl 15962 Closure law for falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) โˆˆ โ„ค)
 
Theoremnn0risefaccl 15963 Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ โ„•0)
 
Theoremrprisefaccl 15964 Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac ๐‘) โˆˆ โ„+)
 
Theoremrisefallfac 15965 A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)))
 
Theoremfallrisefac 15966 A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ RiseFac ๐‘)))
 
Theoremrisefall0lem 15967 Lemma for risefac0 15968 and fallfac0 15969. Show a particular set of finite integers is empty. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(0...(0 โˆ’ 1)) = โˆ…
 
Theoremrisefac0 15968 The value of the rising factorial when ๐‘ = 0. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด RiseFac 0) = 1)
 
Theoremfallfac0 15969 The value of the falling factorial when ๐‘ = 0. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด FallFac 0) = 1)
 
Theoremrisefacp1 15970 The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด RiseFac (๐‘ + 1)) = ((๐ด RiseFac ๐‘) ยท (๐ด + ๐‘)))
 
Theoremfallfacp1 15971 The value of the falling factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ + 1)) = ((๐ด FallFac ๐‘) ยท (๐ด โˆ’ ๐‘)))
 
Theoremrisefacp1d 15972 The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด RiseFac (๐‘ + 1)) = ((๐ด RiseFac ๐‘) ยท (๐ด + ๐‘)))
 
Theoremfallfacp1d 15973 The value of the falling factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ + 1)) = ((๐ด FallFac ๐‘) ยท (๐ด โˆ’ ๐‘)))
 
Theoremrisefac1 15974 The value of rising factorial at one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด RiseFac 1) = ๐ด)
 
Theoremfallfac1 15975 The value of falling factorial at one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด FallFac 1) = ๐ด)
 
Theoremrisefacfac 15976 Relate rising factorial to factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 RiseFac ๐‘) = (!โ€˜๐‘))
 
Theoremfallfacfwd 15977 The forward difference of a falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) FallFac ๐‘) โˆ’ (๐ด FallFac ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
 
Theorem0fallfac 15978 The value of the zero falling factorial at natural ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
(๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = 0)
 
Theorem0risefac 15979 The value of the zero rising factorial at natural ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
(๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 RiseFac ๐‘) = 0)
 
Theorembinomfallfaclem1 15980 Lemma for binomfallfac 15982. Closure law. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐พ) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (๐ต FallFac (๐พ + 1)))) โˆˆ โ„‚)
 
Theorembinomfallfaclem2 15981* Lemma for binomfallfac 15982. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ“ โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘ + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
 
Theorembinomfallfac 15982* A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
 
Theorembinomrisefac 15983* A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) RiseFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด RiseFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต RiseFac ๐‘˜))))
 
Theoremfallfacval4 15984 Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
(๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))))
 
Theorembcfallfac 15985 Binomial coefficient in terms of falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
(๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((๐‘ FallFac ๐พ) / (!โ€˜๐พ)))
 
Theoremfallfacfac 15986 Relate falling factorial to factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ FallFac ๐‘) = (!โ€˜๐‘))
 
5.10.14  Bernoulli polynomials and sums of k-th powers
 
Syntaxcbp 15987 Declare the constant for the Bernoulli polynomial operator.
class BernPoly
 
Definitiondf-bpoly 15988* Define the Bernoulli polynomials. Here we use well-founded recursion to define the Bernoulli polynomials. This agrees with most textbook definitions, although explicit formulas do exist. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.)
BernPoly = (๐‘š โˆˆ โ„•0, ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š))
 
Theorembpolylem 15989* Lemma for bpolyval 15990. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
๐บ = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))    &   ๐น = wrecs( < , โ„•0, ๐บ)    โ‡’   ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
 
Theorembpolyval 15990* The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
 
Theorembpoly0 15991 The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = 1)
 
Theorembpoly1 15992 The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 BernPoly ๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
 
Theorembpolycl 15993 Closure law for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
 
Theorembpolysum 15994* A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
 
Theorembpolydiflem 15995* Lemma for bpolydif 15996. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
 
Theorembpolydif 15996 Calculate the difference between successive values of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
 
Theoremfsumkthpow 15997* A closed-form expression for the sum of ๐พ-th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘›โ†‘๐พ) = ((((๐พ + 1) BernPoly (๐‘€ + 1)) โˆ’ ((๐พ + 1) BernPoly 0)) / (๐พ + 1)))
 
Theorembpoly2 15998 The Bernoulli polynomials at two. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
 
Theorembpoly3 15999 The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 BernPoly ๐‘‹) = (((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
 
Theorembpoly4 16000 The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (4 BernPoly ๐‘‹) = ((((๐‘‹โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (๐‘‹โ†‘3))) + (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-47000 471 47001-47100 472 47101-47200 473 47201-47300 474 47301-47400 475 47401-47500 476 47501-47600 477 47601-47700 478 47701-47800 479 47801-47900 480 47901-48000 481 48001-48040
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >