MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval2 14948
Description: One-based value of falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fallfacval 14946 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑛))
2 1zzd 11610 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
3 0zd 11591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4 nn0z 11602 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5 peano2zm 11622 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
76adantl 467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8 simpl 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12640 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11555 . . . 4 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11 subcl 10482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
128, 10, 11syl2an 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
13 oveq2 6801 . . 3 (𝑛 = (𝑘 − 1) → (𝐴𝑛) = (𝐴 − (𝑘 − 1)))
142, 3, 7, 12, 13fprodshft 14913 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑛) = ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)))
15 0p1e1 11334 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1615a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
17 nn0cn 11504 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
18 1cnd 10258 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18npcand 10598 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2019adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2116, 20oveq12d 6811 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
2221prodeq1d 14858 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))
231, 14, 223eqtrd 2809 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  0cn0 11494  cz 11579  ...cfz 12533  cprod 14842   FallFac cfallfac 14941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843  df-fallfac 14944
This theorem is referenced by:  risefallfac  14961  fallfacfwd  14973
  Copyright terms: Public domain W3C validator