| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | peano2cn 11433 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈
ℂ) |
| 2 | | nnnn0 12533 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 3 | | fallfacval 16045 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 + 1) FallFac
𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
| 4 | 1, 2, 3 | syl2an 596 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
| 5 | | 0p1e1 12388 |
. . . . . . . . 9
⊢ (0 + 1) =
1 |
| 6 | 5 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0 +
1)...(𝑁 − 1)) =
(1...(𝑁 −
1)) |
| 7 | 6 | prodeq1i 15952 |
. . . . . . 7
⊢
∏𝑘 ∈ ((0
+ 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) |
| 8 | 7 | oveq2i 7442 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 − -1) ·
∏𝑘 ∈ ((0 +
1)...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) = ((𝐴 − -1) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) |
| 9 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
| 10 | 9 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
| 11 | | nn0uz 12920 |
. . . . . . . 8
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
| 12 | 10, 11 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 13 | | simpll 767 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 14 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 15 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 16 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈
ℤ) |
| 17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ) |
| 18 | 17 | zcnd 12723 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ) |
| 19 | 13, 18 | subcld 11620 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
| 20 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1)) |
| 21 | | df-neg 11495 |
. . . . . . . . 9
⊢ -1 = (0
− 1) |
| 22 | 20, 21 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = -1) |
| 23 | 22 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 − (𝑘 − 1)) = (𝐴 − -1)) |
| 24 | 12, 19, 23 | fprod1p 16004 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ((𝐴 − -1) · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)))) |
| 25 | | fallfacval2 16047 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) |
| 26 | 9, 25 | sylan2 593 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) |
| 27 | 26 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − -1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = ((𝐴 − -1) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)))) |
| 28 | 8, 24, 27 | 3eqtr4a 2803 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ((𝐴 − -1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
| 29 | | elfznn0 13660 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 30 | 29 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 31 | 30 | nn0cnd 12589 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 32 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈
ℂ) |
| 33 | 13, 31, 32 | subsub3d 11650 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − (𝑘 − 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
| 34 | 33 | prodeq2dv 15958 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
| 35 | | simpl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 36 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℂ) |
| 37 | 35, 36 | subnegd 11627 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1)) |
| 38 | 37 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − -1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
| 39 | 28, 34, 38 | 3eqtr3d 2785 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
| 40 | 4, 39 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
| 41 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℕ) |
| 42 | 41 | nncnd 12282 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 43 | 42, 36 | npcand 11624 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁) |
| 44 | 43 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴 FallFac 𝑁)) |
| 45 | | fallfacp1 16066 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) |
| 46 | 9, 45 | sylan2 593 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) |
| 47 | 44, 46 | eqtr3d 2779 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) |
| 48 | 40, 47 | oveq12d 7449 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) − (𝐴 FallFac 𝑁)) = (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1))))) |
| 49 | | fallfaccl 16052 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
| 50 | 9, 49 | sylan2 593 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
| 51 | 10 | nn0cnd 12589 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈
ℂ) |
| 52 | 35, 51 | subcld 11620 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
| 53 | 50, 52 | mulcomd 11282 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴 − (𝑁 − 1)) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
| 54 | 53 | oveq2d 7447 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) = (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 − (𝑁 − 1)) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))))) |
| 55 | 1 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 1) ∈
ℂ) |
| 56 | 55, 52, 50 | subdird 11720 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 − (𝑁 − 1)) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))))) |
| 57 | 35, 36, 51 | pnncand 11659 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) = (1 + (𝑁 − 1))) |
| 58 | 36, 42 | pncan3d 11623 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 +
(𝑁 − 1)) = 𝑁) |
| 59 | 57, 58 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) = 𝑁) |
| 60 | 59 | oveq1d 7446 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
| 61 | 54, 56, 60 | 3eqtr2d 2783 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
| 62 | 48, 61 | eqtrd 2777 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) − (𝐴 FallFac 𝑁)) = (𝑁 · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |