MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacfwd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacfwd 15980
Description: The forward difference of a falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacfwd ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) FallFac ๐‘) โˆ’ (๐ด FallFac ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))

Proof of Theorem fallfacfwd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2cn 11386 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
2 nnnn0 12479 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 fallfacval 15953 . . . . 5 (((๐ด + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + 1) FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
41, 2, 3syl2an 597 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
5 0p1e1 12334 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
65oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (1...(๐‘ โˆ’ 1))
76prodeq1i 15862 . . . . . . 7 โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))
87oveq2i 7420 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
9 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
109adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
11 nn0uz 12864 . . . . . . . 8 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
1210, 11eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
13 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1514adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
16 peano2zm 12605 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 12667 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1913, 18subcld 11571 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
20 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
21 df-neg 11447 . . . . . . . . 9 -1 = (0 โˆ’ 1)
2220, 21eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = -1)
2322oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐ด โˆ’ -1))
2412, 19, 23fprod1p 15912 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
25 fallfacval2 15955 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
269, 25sylan2 594 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
2726oveq2d 7425 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ -1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
288, 24, 273eqtr4a 2799 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
29 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3029adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3130nn0cnd 12534 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
32 1cnd 11209 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3313, 31, 32subsub3d 11601 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
3433prodeq2dv 15867 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
35 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 11209 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3735, 36subnegd 11578 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ -1) = (๐ด + 1))
3837oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ -1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
3928, 34, 383eqtr3d 2781 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
404, 39eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) FallFac ๐‘) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
41 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12228 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4342, 36npcand 11575 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
4443oveq2d 7425 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ด FallFac ๐‘))
45 fallfacp1 15974 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
469, 45sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
4744, 46eqtr3d 2775 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
4840, 47oveq12d 7427 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) FallFac ๐‘) โˆ’ (๐ด FallFac ๐‘)) = (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))))
49 fallfaccl 15960 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
509, 49sylan2 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5110nn0cnd 12534 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5235, 51subcld 11571 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5350, 52mulcomd 11235 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
5453oveq2d 7425 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))) = (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)))))
551adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
5655, 52, 50subdird 11671 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)))))
5735, 36, 51pnncand 11610 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = (1 + (๐‘ โˆ’ 1)))
5836, 42pncan3d 11574 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ 1)) = ๐‘)
5957, 58eqtrd 2773 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
6059oveq1d 7424 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
6154, 56, 603eqtr2d 2779 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
6248, 61eqtrd 2773 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) FallFac ๐‘) โˆ’ (๐ด FallFac ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โˆcprod 15849   FallFac cfallfac 15948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-fallfac 15951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator