MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacfwd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacfwd 15982
Description: The forward difference of a falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacfwd ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) FallFac ๐‘) โˆ’ (๐ด FallFac ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))

Proof of Theorem fallfacfwd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2cn 11388 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
2 nnnn0 12481 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 fallfacval 15955 . . . . 5 (((๐ด + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + 1) FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
41, 2, 3syl2an 596 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
5 0p1e1 12336 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
65oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (1...(๐‘ โˆ’ 1))
76prodeq1i 15864 . . . . . . 7 โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))
87oveq2i 7422 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
9 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
109adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
11 nn0uz 12866 . . . . . . . 8 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
1210, 11eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
13 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1514adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
16 peano2zm 12607 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 12669 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1913, 18subcld 11573 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
20 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
21 df-neg 11449 . . . . . . . . 9 -1 = (0 โˆ’ 1)
2220, 21eqtr4di 2790 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = -1)
2322oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐ด โˆ’ -1))
2412, 19, 23fprod1p 15914 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
25 fallfacval2 15957 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
269, 25sylan2 593 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
2726oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ -1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
288, 24, 273eqtr4a 2798 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐ด โˆ’ -1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
29 elfznn0 13596 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3029adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3130nn0cnd 12536 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
32 1cnd 11211 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3313, 31, 32subsub3d 11603 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
3433prodeq2dv 15869 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜))
35 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 11211 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3735, 36subnegd 11580 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ -1) = (๐ด + 1))
3837oveq1d 7426 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ -1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
3928, 34, 383eqtr3d 2780 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐ด + 1) โˆ’ ๐‘˜) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
404, 39eqtrd 2772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) FallFac ๐‘) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
41 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12230 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4342, 36npcand 11577 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
4443oveq2d 7427 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ด FallFac ๐‘))
45 fallfacp1 15976 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
469, 45sylan2 593 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
4744, 46eqtr3d 2774 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))))
4840, 47oveq12d 7429 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) FallFac ๐‘) โˆ’ (๐ด FallFac ๐‘)) = (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))))
49 fallfaccl 15962 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
509, 49sylan2 593 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5110nn0cnd 12536 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5235, 51subcld 11573 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5350, 52mulcomd 11237 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
5453oveq2d 7427 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))) = (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)))))
551adantr 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
5655, 52, 50subdird 11673 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)))))
5735, 36, 51pnncand 11612 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = (1 + (๐‘ โˆ’ 1)))
5836, 42pncan3d 11576 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ 1)) = ๐‘)
5957, 58eqtrd 2772 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
6059oveq1d 7426 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) โˆ’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
6154, 56, 603eqtr2d 2778 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
6248, 61eqtrd 2772 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + 1) FallFac ๐‘) โˆ’ (๐ด FallFac ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โˆcprod 15851   FallFac cfallfac 15950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852  df-fallfac 15953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator