MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fallfac 15987
Description: The value of the zero falling factorial at natural ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
0fallfac (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = 0)

Proof of Theorem 0fallfac
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11210 . . 3 0 โˆˆ โ„‚
2 nnnn0 12483 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 fallfacval 15959 . . 3 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜))
41, 2, 3sylancr 586 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜))
5 nnm1nn0 12517 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6 nn0uz 12868 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
75, 6eleqtrdi 2837 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
8 elfzelz 13507 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
98zcnd 12671 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
10 subcl 11463 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
111, 9, 10sylancr 586 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1211adantl 481 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
13 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ 0))
14 0m0e0 12336 . . . 4 (0 โˆ’ 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2782 . . 3 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = 0)
167, 12, 15fprod1p 15918 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜)))
17 fzfid 13944 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
18 elfzelz 13507 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1918zcnd 12671 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
201, 19, 10sylancr 586 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2120adantl 481 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2217, 21fprodcl 15902 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2322mul02d 11416 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜)) = 0)
244, 16, 233eqtrd 2770 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  โˆcprod 15855   FallFac cfallfac 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-fallfac 15957
This theorem is referenced by:  0risefac  15988
  Copyright terms: Public domain W3C validator