MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fallfac 16023
Description: The value of the zero falling factorial at natural ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
0fallfac (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = 0)

Proof of Theorem 0fallfac
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11246 . . 3 0 โˆˆ โ„‚
2 nnnn0 12519 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 fallfacval 15995 . . 3 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜))
41, 2, 3sylancr 585 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜))
5 nnm1nn0 12553 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6 nn0uz 12904 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
75, 6eleqtrdi 2839 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
8 elfzelz 13543 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
98zcnd 12707 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
10 subcl 11499 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
111, 9, 10sylancr 585 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1211adantl 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
13 oveq2 7434 . . . 4 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ 0))
14 0m0e0 12372 . . . 4 (0 โˆ’ 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2784 . . 3 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = 0)
167, 12, 15fprod1p 15954 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜)))
17 fzfid 13980 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
18 elfzelz 13543 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1918zcnd 12707 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
201, 19, 10sylancr 585 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2120adantl 480 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2217, 21fprodcl 15938 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2322mul02d 11452 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(0 โˆ’ ๐‘˜)) = 0)
244, 16, 233eqtrd 2772 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  โ„คโ‰ฅcuz 12862  ...cfz 13526  โˆcprod 15891   FallFac cfallfac 15990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-prod 15892  df-fallfac 15993
This theorem is referenced by:  0risefac  16024
  Copyright terms: Public domain W3C validator