Theorem 0fallfac 15728

Description: The value of the zero falling factorial at natural 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0fallfac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0fallfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10951	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		nnnn0 12223	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		fallfacval 15700	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘))
4	1, 2, 3	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘))
5		nnm1nn0 12257	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12602	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
8		elfzelz 13238	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12409	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10		subcl 11203	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
11	1, 9, 10	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
13		oveq2 7276	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
14		0m0e0 12076	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
16	7, 12, 15	fprod1p 15659	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘)))
17		fzfid 13674	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
18		elfzelz 13238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12409	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
20	1, 19, 10	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
22	17, 21	fprodcl 15643	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘) ∈ ℂ)
23	22	mul02d 11156	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘)) = 0)
24	4, 16, 23	3eqtrd 2783	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   − cmin 11188  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ℤ_≥cuz 12564  ...cfz 13221  ∏cprod 15596   FallFac cfallfac 15695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-prod 15597  df-fallfac 15698

This theorem is referenced by:  0risefac  15729