Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fallfac 15386
 Description: The value of the zero falling factorial at natural 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
0fallfac (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0fallfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10625 . . 3 0 ∈ ℂ
2 nnnn0 11895 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 fallfacval 15358 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘))
41, 2, 3sylancr 590 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘))
5 nnm1nn0 11929 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6 nn0uz 12271 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
75, 6eleqtrdi 2900 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
8 elfzelz 12905 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
98zcnd 12079 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
10 subcl 10877 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
111, 9, 10sylancr 590 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
1211adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
13 oveq2 7144 . . . 4 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
14 0m0e0 11748 . . . 4 (0 − 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2849 . . 3 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
167, 12, 15fprod1p 15317 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘)))
17 fzfid 13339 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
18 elfzelz 12905 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1918zcnd 12079 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
201, 19, 10sylancr 590 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
2120adantl 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → (0 − 𝑘) ∈ ℂ)
2217, 21fprodcl 15301 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘) ∈ ℂ)
2322mul02d 10830 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0 · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(0 − 𝑘)) = 0)
244, 16, 233eqtrd 2837 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   − cmin 10862  ℕcn 11628  ℕ0cn0 11888  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888  ∏cprod 15254   FallFac cfallfac 15353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-prod 15255  df-fallfac 15356 This theorem is referenced by:  0risefac  15387
 Copyright terms: Public domain W3C validator