MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin11a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin11a 9797
Description: Every I-finite set is Ia-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin11a (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIa)

Proof of Theorem fin11a
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4553 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
2 ssfi 8730 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
31, 2sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
43orcd 871 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
54ralrimiva 3186 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
6 isfin1a 9706 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
75, 6mpbird 258 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIa)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843  wcel 2107  wral 3142  cdif 3936  wss 3939  𝒫 cpw 4541  Fincfn 8501  FinIacfin1a 9692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-om 7572  df-er 8282  df-en 8502  df-fin 8505  df-fin1a 9699
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator