Theorem fin11a 9808

Description: Every I-finite set is Ia-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin11a	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIa)

Proof of Theorem fin11a

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4551	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
2		ssfi 8741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	1, 2	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
4	3	orcd 869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
5	4	ralrimiva 3185	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin))
6		isfin1a 9717	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinIa ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ Fin)))
7	5, 6	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIa)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542  Fincfn 8512  Fin^Iacfin1a 9703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-om 7584  df-er 8292  df-en 8513  df-fin 8516  df-fin1a 9710

This theorem is referenced by: (None)