Theorem ssfi 9100

Description: A subset of a finite set is finite. Corollary 6G of [Enderton] p. 138. For a shorter proof using ax-pow 5302, see ssfiALT 9101. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5302. (Revised by BTernaryTau, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfi

Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5260	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3		sseq1 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
5	3, 4	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏 ⊆ 𝐴 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ⊆ 𝐴 → 𝑏 ∈ Fin)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin))))
7		sseq2 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑏 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑏 ⊆ ∅))
8	7	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)))
9	8	albidv 1922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)))
10		sseq2 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑏 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑦))
11	10	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin)))
12	11	albidv 1922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin)))
13		sseq2 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})))
14	13	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
15	14	albidv 1922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
16		sseq2 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑏 ⊆ 𝑥 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴))
17	16	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ 𝐴 → 𝑏 ∈ Fin)))
18	17	albidv 1922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑥 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝐴 → 𝑏 ∈ Fin)))
19		ss0 4343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 = ∅)
20		0fi 8982	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
21	19, 20	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)
22	21	ax-gen 1797	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑏(𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)
23		sseq1 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑐 ⊆ 𝑦))
24		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑐 ∈ Fin))
25	23, 24	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin)))
26	25	cbvalvw 2038	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin))
27		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin))
28		snssi 4752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑏 → {𝑧} ⊆ 𝑏)
29		undif 4423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑏 ↔ ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = 𝑏)
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑏 → ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = 𝑏)
31		uncom 4099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})
32	30, 31	eqtr3di 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑏 → 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
33		uncom 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ 𝑦)
34	33	sseq2i 3952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ 𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦))
35		ssundif 4428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
36	34, 35	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
37	32, 36	anim12ci 615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
38	37	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
39		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) ↔ (∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))))
40	27, 38, 39	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → (∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
41		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑏 ∈ V
42	41	difexi 5267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ V
43		sseq1 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → (𝑐 ⊆ 𝑦 ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦))
44		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → (𝑐 ∈ Fin ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin))
45	43, 44	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → ((𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ↔ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin)))
46	42, 45	spcv 3548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin))
47	46	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦) → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
48		snfi 8983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
49		unfi 9098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
50	47, 48, 49	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
51		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) → (𝑏 ∈ Fin ↔ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
52	51	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
53	50, 52	stoic3 1778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
54	40, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
55	54	3expib 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
56	55	alrimiv 1929	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑐(𝑐 ⊆ 𝑦 → 𝑐 ∈ Fin) → ∀𝑏((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
57	26, 56	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
58		disjsn 4656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑏)
59		disjssun 4409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ 𝑏 ⊆ 𝑦))
60	58, 59	sylbir 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝑏 → (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ 𝑏 ⊆ 𝑦))
61	60	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦)) → 𝑏 ⊆ 𝑦)
62	34, 61	sylan2b 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ⊆ 𝑦)
63	62	imim1i 63	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin) → ((¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
64	63	alimi 1813	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏((¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
65		exmid 895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑏 ∨ ¬ 𝑧 ∈ 𝑏)
66	65	jctl 523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∨ ¬ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})))
67		andir 1011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑏 ∨ ¬ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
68	66, 67	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
69		pm3.44 962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → (((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))) → 𝑏 ∈ Fin))
70	68, 69	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
71	70	alanimi 1818	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑏((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏((¬ 𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
72	57, 64, 71	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
73	72	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝑦 → 𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
74	9, 12, 15, 18, 22, 73	findcard2 9092	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏(𝑏 ⊆ 𝐴 → 𝑏 ∈ Fin))
75	74	19.21bi 2197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ⊆ 𝐴 → 𝑏 ∈ Fin))
76	6, 75	vtoclg 3500	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ Fin)))
77	76	impd 410	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
78	2, 77	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-en 8887  df-fin 8890

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