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Theorem ssfi 9198
Description: A subset of a finite set is finite. Corollary 6G of [Enderton] p. 138. For a shorter proof using ax-pow 5365, see ssfiALT 9199. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 12-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfi
Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssexg 5324 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
21ancoms 457 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3 sseq1 4002 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐴𝐵𝐴))
4 eleq1 2813 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
53, 4imbi12d 343 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)))
65imbi2d 339 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → (𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))))
7 sseq2 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑏𝑥𝑏 ⊆ ∅))
87imbi1d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)))
98albidv 1915 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)))
10 sseq2 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑏𝑥𝑏𝑦))
1110imbi1d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin)))
1211albidv 1915 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin)))
13 sseq2 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏𝑥𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})))
1413imbi1d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
1514albidv 1915 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
16 sseq2 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑏𝑥𝑏𝐴))
1716imbi1d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin)))
1817albidv 1915 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin)))
19 ss0 4400 . . . . . . . 8 (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 = ∅)
20 0fin 9196 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
2119, 20eqeltrdi 2833 . . . . . . 7 (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)
2221ax-gen 1789 . . . . . 6 𝑏(𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)
23 sseq1 4002 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝑦𝑐𝑦))
24 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑐 ∈ Fin))
2523, 24imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin)))
2625cbvalvw 2031 . . . . . . . . 9 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin))
27 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin))
28 snssi 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑏 → {𝑧} ⊆ 𝑏)
29 undif 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑧} ⊆ 𝑏 ↔ ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = 𝑏)
3028, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑏 → ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = 𝑏)
31 uncom 4150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})
3230, 31eqtr3di 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑏𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
33 uncom 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ 𝑦)
3433sseq2i 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ 𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦))
35 ssundif 4489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
3634, 35sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
3732, 36anim12ci 612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
38373adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
39 3anass 1092 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) ↔ (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))))
4027, 38, 39sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
41 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏 ∈ V
4241difexi 5331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ V
43 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → (𝑐𝑦 ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦))
44 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → (𝑐 ∈ Fin ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin))
4543, 44imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → ((𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ↔ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin)))
4642, 45spcv 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin))
4746imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦) → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
48 snfi 9069 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} ∈ Fin
49 unfi 9197 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
5047, 48, 49sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
51 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) → (𝑏 ∈ Fin ↔ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
5251biimparc 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
5350, 52stoic3 1770 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
5440, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
55543expib 1119 . . . . . . . . . 10 (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) → ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
5655alrimiv 1922 . . . . . . . . 9 (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) → ∀𝑏((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
5726, 56sylbi 216 . . . . . . . 8 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
58 disjsn 4717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑏)
59 disjssun 4469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ 𝑏𝑦))
6058, 59sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑏 → (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ 𝑏𝑦))
6160biimpa 475 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦)) → 𝑏𝑦)
6234, 61sylan2b 592 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏𝑦)
6362imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
6463alimi 1805 . . . . . . . 8 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
65 exmid 892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑏 ∨ ¬ 𝑧𝑏)
6665jctl 522 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑧𝑏 ∨ ¬ 𝑧𝑏) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})))
67 andir 1006 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝑏 ∨ ¬ 𝑧𝑏) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
6866, 67sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
69 pm3.44 957 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → (((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))) → 𝑏 ∈ Fin))
7068, 69syl5 34 . . . . . . . . 9 ((((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
7170alanimi 1810 . . . . . . . 8 ((∀𝑏((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
7257, 64, 71syl2anc 582 . . . . . . 7 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
7372a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
749, 12, 15, 18, 22, 73findcard2 9189 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏(𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin))
757419.21bi 2177 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin))
766, 75vtoclg 3532 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)))
7776impd 409 . 2 (𝐵 ∈ V → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
782, 77mpcom 38 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322  {csn 4630  Fincfn 8964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-en 8965  df-fin 8968
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