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Theorem ssfi 8851
Description: A subset of a finite set is finite. Corollary 6G of [Enderton] p. 138. For a shorter proof using ax-pow 5258, see ssfiALT 8852. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5258. (Revised by BTernaryTau, 12-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfi
Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssexg 5216 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
21ancoms 462 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3 sseq1 3926 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐴𝐵𝐴))
4 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
53, 4imbi12d 348 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)))
65imbi2d 344 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → (𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))))
7 sseq2 3927 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑏𝑥𝑏 ⊆ ∅))
87imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)))
98albidv 1928 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)))
10 sseq2 3927 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑏𝑥𝑏𝑦))
1110imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin)))
1211albidv 1928 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin)))
13 sseq2 3927 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏𝑥𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})))
1413imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
1514albidv 1928 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
16 sseq2 3927 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑏𝑥𝑏𝐴))
1716imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin)))
1817albidv 1928 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑏(𝑏𝑥𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑏(𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin)))
19 ss0 4313 . . . . . . . 8 (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 = ∅)
20 0fin 8849 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
2119, 20eqeltrdi 2846 . . . . . . 7 (𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)
2221ax-gen 1803 . . . . . 6 𝑏(𝑏 ⊆ ∅ → 𝑏 ∈ Fin)
23 sseq1 3926 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝑦𝑐𝑦))
24 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ Fin ↔ 𝑐 ∈ Fin))
2523, 24imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) ↔ (𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin)))
2625cbvalvw 2044 . . . . . . . . 9 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) ↔ ∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin))
27 simp1 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin))
28 snssi 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑏 → {𝑧} ⊆ 𝑏)
29 undif 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑧} ⊆ 𝑏 ↔ ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = 𝑏)
3028, 29sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑏 → ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = 𝑏)
31 uncom 4067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑧} ∪ (𝑏 ∖ {𝑧})) = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})
3230, 31eqtr3di 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑏𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
33 uncom 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ 𝑦)
3433sseq2i 3930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ 𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦))
35 ssundif 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
3634, 35sylbb 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦)
3732, 36anim12ci 617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
38373adant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
39 3anass 1097 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) ↔ (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))))
4027, 38, 39sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
41 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏 ∈ V
4241difexi 5221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ V
43 sseq1 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → (𝑐𝑦 ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦))
44 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → (𝑐 ∈ Fin ↔ (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin))
4543, 44imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝑏 ∖ {𝑧}) → ((𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ↔ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin)))
4642, 45spcv 3520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦 → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin))
4746imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦) → (𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin)
48 snfi 8721 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧} ∈ Fin
49 unfi 8850 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∖ {𝑧}) ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
5047, 48, 49sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦) → ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
51 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) → (𝑏 ∈ Fin ↔ ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin))
5251biimparc 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
5350, 52stoic3 1784 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ (𝑏 ∖ {𝑧}) ⊆ 𝑦𝑏 = ((𝑏 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
5440, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)
55543expib 1124 . . . . . . . . . 10 (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) → ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
5655alrimiv 1935 . . . . . . . . 9 (∀𝑐(𝑐𝑦𝑐 ∈ Fin) → ∀𝑏((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
5726, 56sylbi 220 . . . . . . . 8 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
58 disjsn 4627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑏)
59 disjssun 4382 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ 𝑏𝑦))
6058, 59sylbir 238 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑏 → (𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦) ↔ 𝑏𝑦))
6160biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ ({𝑧} ∪ 𝑦)) → 𝑏𝑦)
6234, 61sylan2b 597 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏𝑦)
6362imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
6463alimi 1819 . . . . . . . 8 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin))
65 exmid 895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑏 ∨ ¬ 𝑧𝑏)
6665jctl 527 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑧𝑏 ∨ ¬ 𝑧𝑏) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})))
67 andir 1009 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝑏 ∨ ¬ 𝑧𝑏) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
6866, 67sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
69 pm3.44 960 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → (((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) ∨ (¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))) → 𝑏 ∈ Fin))
7068, 69syl5 34 . . . . . . . . 9 ((((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → (𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
7170alanimi 1824 . . . . . . . 8 ((∀𝑏((𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑏((¬ 𝑧𝑏𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑏 ∈ Fin)) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
7257, 64, 71syl2anc 587 . . . . . . 7 (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin))
7372a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑏(𝑏𝑦𝑏 ∈ Fin) → ∀𝑏(𝑏 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑏 ∈ Fin)))
749, 12, 15, 18, 22, 73findcard2 8842 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏(𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin))
757419.21bi 2186 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑏𝐴𝑏 ∈ Fin))
766, 75vtoclg 3481 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)))
7776impd 414 . 2 (𝐵 ∈ V → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
782, 77mpcom 38 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089  wal 1541   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237  {csn 4541  Fincfn 8626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1o 8202  df-en 8627  df-fin 8630
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