Theorem cyggic 20316

Description: Cyclic groups are isomorphic precisely when they have the same order. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygctb.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
cyggic	⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Proof of Theorem cyggic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cygctb.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	gicen 18103	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → 𝐵 ≈ 𝐶)
4		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
5		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
6	1, 4, 5	cygzn 20314	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
7	6	ad2antrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
8		enfi 8464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
9	8	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
10		hasheni 13453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
11	10	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
12	9, 11	ifbieq1d 4330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
13	12	fveq2d 6450	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
14		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)
15		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
16	2, 14, 15	cygzn 20314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ CycGrp → 𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
17	16	ad2antlr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
18		gicsym 18100	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
20	13, 19	eqbrtrd 4908	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻)
21		gictr 18101	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ∧ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻) → 𝐺 ≃𝑔 𝐻)
22	7, 20, 21	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐺 ≃𝑔 𝐻)
23	22	ex 403	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐺 ≃𝑔 𝐻))
24	3, 23	impbid2 218	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135   ≈ cen 8238  Fincfn 8241  0cc0 10272  ♯chash 13435  Basecbs 16255   ≃_𝑔 cgic 18084  CycGrpccyg 18665  ℤ/nℤczn 20247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-imas 16554  df-qus 16555  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-nsg 17976  df-eqg 17977  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-gic 18086  df-od 18332  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-cyg 18666  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-rsp 19572  df-2idl 19629  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-zn 20251

This theorem is referenced by: (None)