Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggic 20262
 Description: Cyclic groups are isomorphic precisely when they have the same order. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygctb.c 𝐶 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
cyggic ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺𝑔 𝐻𝐵𝐶))

Proof of Theorem cyggic
StepHypRef Expression
1 cygctb.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cygctb.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝐻)
31, 2gicen 18408 . 2 (𝐺𝑔 𝐻𝐵𝐶)
4 eqid 2822 . . . . . 6 if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
5 eqid 2822 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
61, 4, 5cygzn 20260 . . . . 5 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
76ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
8 enfi 8722 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
98adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
10 hasheni 13704 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
1110adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
129, 11ifbieq1d 4462 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
1312fveq2d 6656 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
14 eqid 2822 . . . . . . . 8 if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)
15 eqid 2822 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
162, 14, 15cygzn 20260 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ CycGrp → 𝐻𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
1716ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐻𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
18 gicsym 18405 . . . . . 6 (𝐻𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
2013, 19eqbrtrd 5064 . . . 4 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻)
21 gictr 18406 . . . 4 ((𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ∧ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻) → 𝐺𝑔 𝐻)
227, 20, 21syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐺𝑔 𝐻)
2322ex 416 . 2 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐵𝐶𝐺𝑔 𝐻))
243, 23impbid2 229 1 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺𝑔 𝐻𝐵𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ifcif 4439   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334   ≈ cen 8493  Fincfn 8496  0cc0 10526  ♯chash 13686  Basecbs 16474   ≃𝑔 cgic 18389  CycGrpccyg 18987  ℤ/nℤczn 20194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-imas 16772  df-qus 16773  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-nsg 18268  df-eqg 18269  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-gic 18391  df-od 18647  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-cyg 18988  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-rnghom 19461  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-lidl 19937  df-rsp 19938  df-2idl 19996  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zrh 20195  df-zn 20198 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator