MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggic 20778
Description: Cyclic groups are isomorphic precisely when they have the same order. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygctb.c 𝐶 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
cyggic ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺𝑔 𝐻𝐵𝐶))

Proof of Theorem cyggic
StepHypRef Expression
1 cygctb.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cygctb.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝐻)
31, 2gicen 18891 . 2 (𝐺𝑔 𝐻𝐵𝐶)
4 eqid 2740 . . . . . 6 if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
5 eqid 2740 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
61, 4, 5cygzn 20776 . . . . 5 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
76ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
8 enfi 8955 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
98adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
10 hasheni 14060 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
1110adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (♯‘𝐵) = (♯‘𝐶))
129, 11ifbieq1d 4489 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
1312fveq2d 6775 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
14 eqid 2740 . . . . . . . 8 if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)
15 eqid 2740 . . . . . . . 8 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
162, 14, 15cygzn 20776 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ CycGrp → 𝐻𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
1716ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐻𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)))
18 gicsym 18888 . . . . . 6 (𝐻𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
2013, 19eqbrtrd 5101 . . . 4 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻)
21 gictr 18889 . . . 4 ((𝐺𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ∧ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻) → 𝐺𝑔 𝐻)
227, 20, 21syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐺𝑔 𝐻)
2322ex 413 . 2 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐵𝐶𝐺𝑔 𝐻))
243, 23impbid2 225 1 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺𝑔 𝐻𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  ifcif 4465   class class class wbr 5079  cfv 6432  cen 8713  Fincfn 8716  0cc0 10872  chash 14042  Basecbs 16910  𝑔 cgic 18872  CycGrpccyg 19475  ℤ/nczn 20702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-ec 8483  df-qs 8487  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-acn 9701  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-imas 17217  df-qus 17218  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-nsg 18751  df-eqg 18752  df-ghm 18830  df-gim 18873  df-gic 18874  df-od 19134  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-cyg 19476  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-rnghom 19957  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-lidl 20434  df-rsp 20435  df-2idl 20501  df-cnfld 20596  df-zring 20669  df-zrh 20703  df-zn 20706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator