Theorem gimf1o 19229

Description: An isomorphism of groups is a bijection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isgim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gimf1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem gimf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isgim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isgim 19228	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
4	3	simprbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   GrpHom cghm 19178   GrpIso cgim 19223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8768  df-ghm 19179  df-gim 19225

This theorem is referenced by:  subggim  19232  gim0to0  19235  gicen  19244  gicsubgen  19245  giccyg  19866  abliso  33111  lmhmqusker  33492  rhmqusker  33501  aks6d1c6lem5  42630  gicabl  43545