Theorem gimf1o 18879

Description: An isomorphism of groups is a bijection. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isgim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gimf1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem gimf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isgim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isgim 18878	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
4	3	simprbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   GrpHom cghm 18831   GrpIso cgim 18873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-ghm 18832  df-gim 18875

This theorem is referenced by:  subggim  18882  gicen  18893  gicsubgen  18894  giccyg  19501  gim0to0  19986  abliso  31305  gicabl  40924