Theorem rhmqusker 33841

Description: A surjective ring homomorphism 𝐹 from 𝐺 to 𝐻 induces an isomorphism 𝐽 from 𝑄 to 𝐻, where 𝑄 is the factor group of 𝐺 by 𝐹's kernel 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
rhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
rhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
rhmqusker.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CRing)
rhmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
rhmqusker	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem rhmqusker

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		rhmqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3		rhmqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		rhmqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		rhmqusker.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
6		rhmqusker.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CRing)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	rhmquskerlem 33840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
8		rhmghm 20626	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9	2, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
10		rhmqusker.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
11	1, 9, 3, 4, 5, 10	ghmqusker 19415	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
14	12, 13	gimf1o 19391	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
15	11, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
16	12, 13	isrim 20640	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻) ↔ (𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻) ∧ 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   “ cima 5662  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  0_gc0g 17528   /_s cqus 17595   ~_QG cqg 19246   GrpHom cghm 19341   GrpIso cgim 19385  CRingccrg 20374   RingHom crh 20611   RingIso crs 20612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-0g 17530  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-ghm 19342  df-gim 19387  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-rhm 20614  df-rim 20615  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-2idl 21453

This theorem is used by:  ricqusker  33842