Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmqusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmqusker 33441
Description: A surjective ring homomorphism 𝐹 from 𝐺 to 𝐻 induces an isomorphism 𝐽 from 𝑄 to 𝐻, where 𝑄 is the factor group of 𝐺 by 𝐹's kernel 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmqusker.1 0 = (0g𝐻)
rhmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
rhmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmqusker.s (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
rhmqusker.2 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
rhmqusker.j 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
Assertion
Ref Expression
rhmqusker (𝜑𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem rhmqusker
StepHypRef Expression
1 rhmqusker.1 . . 3 0 = (0g𝐻)
2 rhmqusker.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3 rhmqusker.k . . 3 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4 rhmqusker.q . . 3 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5 rhmqusker.j . . 3 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
6 rhmqusker.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
71, 2, 3, 4, 5, 6rhmquskerlem 33440 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
8 rhmghm 20476 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
10 rhmqusker.s . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
111, 9, 3, 4, 5, 10ghmqusker 19301 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
12 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
1412, 13gimf1o 19277 . . 3 (𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
1511, 14syl 17 . 2 (𝜑𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
1612, 13isrim 20484 . 2 (𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻) ↔ (𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻) ∧ 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻)))
177, 15, 16sylanbrc 583 1 (𝜑𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4624   cuni 4905  cmpt 5223  ccnv 5682  ran crn 5684  cima 5686  1-1-ontowf1o 6558  cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  0gc0g 17480   /s cqus 17546   ~QG cqg 19136   GrpHom cghm 19226   GrpIso cgim 19271  CRingccrg 20227   RingHom crh 20461   RingIso crs 20462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-ec 8743  df-qs 8747  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-0g 17482  df-imas 17549  df-qus 17550  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-ghm 19227  df-gim 19273  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-ring 20228  df-cring 20229  df-oppr 20326  df-rhm 20464  df-rim 20465  df-subrg 20562  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21210  df-rsp 21211  df-2idl 21252
This theorem is referenced by:  ricqusker  33442
  Copyright terms: Public domain W3C validator