Theorem rhmqusker 33558

Description: A surjective ring homomorphism 𝐹 from 𝐺 to 𝐻 induces an isomorphism 𝐽 from 𝑄 to 𝐻, where 𝑄 is the factor group of 𝐺 by 𝐹's kernel 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
rhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
rhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
rhmqusker.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CRing)
rhmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
rhmqusker	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem rhmqusker

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		rhmqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3		rhmqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		rhmqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		rhmqusker.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
6		rhmqusker.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CRing)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	rhmquskerlem 33557	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
8		rhmghm 20500	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
10		rhmqusker.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
11	1, 9, 3, 4, 5, 10	ghmqusker 19299	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
12		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
14	12, 13	gimf1o 19275	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
15	11, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
16	12, 13	isrim 20509	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻) ↔ (𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻) ∧ 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 591	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {csn 4572  ∪ cuni 4855   ↦ cmpt 5171  ^◡ccnv 5635  ran crn 5637   “ cima 5639  –1-1-onto→wf1o 6505  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  0_gc0g 17440   /_s cqus 17507   ~_QG cqg 19136   GrpHom cghm 19225   GrpIso cgim 19269  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486   RingIso crs 20487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-ec 8664  df-qs 8668  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-0g 17442  df-imas 17510  df-qus 17511  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-ghm 19226  df-gim 19271  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20354  df-rhm 20489  df-rim 20490  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-lidl 21247  df-rsp 21248  df-2idl 21289

This theorem is referenced by:  ricqusker  33559