Theorem mdetleib2 22726

Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib2	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mdetleib2

Dummy variables 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 22725	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
10	9	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		crngring 20328	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringcmn 20366	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2, 3	matrcl 22550	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
17	16	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
18	17	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
20	19, 4	symgbasfi 19450	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
21	18, 20	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Fin)
22	12	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
23	5, 6	coeq12i 5851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
24		zrhpsgnmhm 21715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25	23, 24	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
26	12, 18, 25	syl2an2r 697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
27		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 11	mgpbas 20222	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	4, 28	mhmf 18848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
30	26, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffvelcdmda 7081	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
32	8, 11	mgpbas 20222	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
33	8	crngmgp 20324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
34	33	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
35	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
36		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
37	2, 11, 3	matbas2i 22560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38		elmapi 8847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
39	36, 37, 38	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
41	19, 4	symgbasf1o 19446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
42	41	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
43		f1of 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
45	44	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑦) ∈ 𝑁)
46		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
47	40, 45, 46	fovcdmd 7584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
49	32, 34, 35, 48	gsummptcl 20038	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50	11, 7	ringcl 20333	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 31, 49, 50	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
52	51	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑞 ∈ 𝑃 (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))
54		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
55	19	symggrp 19471	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
56	18, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
57	4, 54, 56	grpinvf1o 19076	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃)
58	11, 15, 21, 52, 53, 57	gsummptfif1o 20039	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))) = (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))))
59		f1of 6822	. . . . . . 7 ⊢ ((invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃 → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
60	57, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
61	60	ffvelcdmda 7081	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝑃)
62	60	feqmptd 6951	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
63		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))))
64		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
65		fveq1 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑞‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦))
66	65	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
67	66	mpteq2dv 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
68	67	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))
69	64, 68	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))))
70	61, 62, 63, 69	fmptco 7127	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))))
71	19, 4, 54	symginv 19473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
72	71	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
73	72	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝))
74	12	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
75	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
76		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
77	4, 5, 6	zrhpsgninv 21716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
79	73, 78	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
80		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
81	33	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
82	39	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
83	71	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
84	83	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (◡𝑝‘𝑦))
85	19, 4	symgbasf1o 19446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
86	85	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
87		f1ocnv 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
88		f1of 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
89	86, 87, 88	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
90	89	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘𝑦) ∈ 𝑁)
91	84, 90	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) ∈ 𝑁)
92		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
93	82, 91, 92	fovcdmd 7584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
94	93, 32	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
95	94	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
96		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
97	80, 81, 75, 95, 96, 86	gsummptfif1o 20039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)))
98		f1of 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
99	86, 98	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
100	99	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
101	99	feqmptd 6951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑝‘𝑥)))
102		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
103		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)))
104		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → 𝑦 = (𝑝‘𝑥))
105	103, 104	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)))
106	100, 101, 102, 105	fmptco 7127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))))
107	71	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
108	107	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)))
109		f1ocnvfv1 7276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
110	86, 109	sylan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
111	108, 110	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
112	111	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)) = (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))
113	112	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
114	106, 113	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
115	114	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
116	97, 115	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
117	79, 116	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))
118	117	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
119	70, 118	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
120	119	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))
121	10, 58, 120	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17494   MndHom cmhm 18840  Grpcgrp 19001  inv_gcminusg 19002  SymGrpcsymg 19440  pmSgncpsgn 19560  CMndccmn 19851  mulGrpcmgp 20217  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  ℤRHomczrh 21630   Mat cmat 22545   maDet cmdat 22722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-splice 14789  df-reverse 14798  df-s2 14887  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-efmnd 18929  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-gim 19330  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-symg 19441  df-pmtr 19513  df-psgn 19562  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-drng 20816  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-cnfld 21504  df-zring 21578  df-zrh 21634  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-mat 22546  df-mdet 22723

This theorem is referenced by:  mdetrlin  22740  mdetrsca  22741  mdettpos  22749  smadiadet  22808