Theorem mdetleib2 22609

Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib2	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mdetleib2

Dummy variables 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 22608	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
11		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		crngring 20262	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringcmn 20295	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2, 3	matrcl 22431	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
18	17	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
20	19, 4	symgbasfi 19410	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Fin)
22	12	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
23	5, 6	coeq12i 5876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
24		zrhpsgnmhm 21619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25	23, 24	eqeltrid 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
26	12, 18, 25	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
27		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 11	mgpbas 20157	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	4, 28	mhmf 18814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffvelcdmda 7103	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
32	8, 11	mgpbas 20157	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
33	8	crngmgp 20258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
35	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
36		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
37	2, 11, 3	matbas2i 22443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38		elmapi 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
41	19, 4	symgbasf1o 19406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
43		f1of 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
45	44	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑦) ∈ 𝑁)
46		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
47	40, 45, 46	fovcdmd 7604	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
49	32, 34, 35, 48	gsummptcl 19999	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50	11, 7	ringcl 20267	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 31, 49, 50	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
52	51	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑞 ∈ 𝑃 (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))
54		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
55	19	symggrp 19432	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
56	18, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
57	4, 54, 56	grpinvf1o 19039	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃)
58	11, 15, 21, 52, 53, 57	gsummptfif1o 20000	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))) = (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))))
59		f1of 6848	. . . . . . 7 ⊢ ((invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃 → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
60	57, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
61	60	ffvelcdmda 7103	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝑃)
62	60	feqmptd 6976	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
63		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))))
64		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
65		fveq1 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑞‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦))
66	65	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
67	66	mpteq2dv 5249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
68	67	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))
69	64, 68	oveq12d 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))))
70	61, 62, 63, 69	fmptco 7148	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))))
71	19, 4, 54	symginv 19434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
72	71	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
73	72	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝))
74	12	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
75	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
76		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
77	4, 5, 6	zrhpsgninv 21620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
79	73, 78	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
80		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
81	33	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
82	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
83	71	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
84	83	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (◡𝑝‘𝑦))
85	19, 4	symgbasf1o 19406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
87		f1ocnv 6860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
88		f1of 6848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
90	89	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘𝑦) ∈ 𝑁)
91	84, 90	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) ∈ 𝑁)
92		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
93	82, 91, 92	fovcdmd 7604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
94	93, 32	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
95	94	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
96		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
97	80, 81, 75, 95, 96, 86	gsummptfif1o 20000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)))
98		f1of 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
99	86, 98	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
100	99	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
101	99	feqmptd 6976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑝‘𝑥)))
102		eqidd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
103		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)))
104		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → 𝑦 = (𝑝‘𝑥))
105	103, 104	oveq12d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)))
106	100, 101, 102, 105	fmptco 7148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))))
107	71	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
108	107	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)))
109		f1ocnvfv1 7295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
110	86, 109	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
111	108, 110	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
112	111	oveq1d 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)) = (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))
113	112	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
114	106, 113	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
115	114	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
116	97, 115	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
117	79, 116	oveq12d 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))
118	117	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
119	70, 118	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
120	119	oveq2d 7446	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))
121	10, 58, 120	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686  ^◡ccnv 5687   ∘ ccom 5692  ⟶wf 6558  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298   Σ_g cgsu 17486   MndHom cmhm 18806  Grpcgrp 18963  inv_gcminusg 18964  SymGrpcsymg 19400  pmSgncpsgn 19521  CMndccmn 19812  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  ℤRHomczrh 21527   Mat cmat 22426   maDet cmdat 22605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1508  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-word 14549  df-lsw 14597  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14784  df-reverse 14793  df-s2 14883  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-efmnd 18894  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-symg 19401  df-pmtr 19474  df-psgn 19523  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-mat 22427  df-mdet 22606

This theorem is referenced by:  mdetrlin  22623  mdetrsca  22624  mdettpos  22632  smadiadet  22691