MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetleib2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetleib2 21960
Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetfval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetfval.p ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetfval.y ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetfval.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetfval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetfval.u ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mdetleib2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘€   ๐‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘…,๐‘,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ยท ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ยท (๐‘ฅ)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ)   ๐‘Œ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem mdetleib2
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetfval.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 mdetfval.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 mdetfval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 mdetfval.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 mdetfval.y . . . 4 ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
6 mdetfval.s . . . 4 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
7 mdetfval.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 mdetfval.u . . . 4 ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 21959 . . 3 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))))))
109adantl 483 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))))))
11 eqid 2733 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
12 crngring 19984 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
13 ringcmn 20011 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . 4 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
1514adantr 482 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ CMnd)
162, 3matrcl 21782 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1716adantl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1817simpld 496 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
19 eqid 2733 . . . . 5 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
2019, 4symgbasfi 19168 . . . 4 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
2118, 20syl 17 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
2212ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
235, 6coeq12i 5823 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))
24 zrhpsgnmhm 21011 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
2523, 24eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
2612, 18, 25syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
27 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
2827, 11mgpbas 19910 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
294, 28mhmf 18615 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†):๐‘ƒโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3026, 29syl 17 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†):๐‘ƒโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3130ffvelcdmda 7039 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
328, 11mgpbas 19910 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘ˆ)
338crngmgp 19980 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ CMnd)
3433ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ CMnd)
3518adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
36 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
372, 11, 3matbas2i 21794 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
38 elmapi 8793 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4039ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
4119, 4symgbasf1o 19164 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ž:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
4241adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ž:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
43 f1of 6788 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ ๐‘ž:๐‘โŸถ๐‘)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ž:๐‘โŸถ๐‘)
4544ffvelcdmda 7039 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
46 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)
4740, 45, 46fovcdmd 7530 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4847ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
4932, 34, 35, 48gsummptcl 19752 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5011, 7ringcl 19989 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5122, 31, 49, 50syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5251ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
53 eqid 2733 . . 3 (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))) = (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))))
54 eqid 2733 . . . 4 (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5519symggrp 19190 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (SymGrpโ€˜๐‘) โˆˆ Grp)
5618, 55syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (SymGrpโ€˜๐‘) โˆˆ Grp)
574, 54, 56grpinvf1o 18825 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)):๐‘ƒโ€“1-1-ontoโ†’๐‘ƒ)
5811, 15, 21, 52, 53, 57gsummptfif1o 19753 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))))) = (๐‘… ฮฃg ((๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))) โˆ˜ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))))
59 f1of 6788 . . . . . . 7 ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)):๐‘ƒโ€“1-1-ontoโ†’๐‘ƒ โ†’ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)):๐‘ƒโŸถ๐‘ƒ)
6057, 59syl 17 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)):๐‘ƒโŸถ๐‘ƒ)
6160ffvelcdmda 7039 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘ƒ)
6260feqmptd 6914 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)))
63 eqidd 2734 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))) = (๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))))
64 fveq2 6846 . . . . . 6 (๐‘ž = ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) = ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)))
65 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (๐‘ž = ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘žโ€˜๐‘ฆ) = (((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ))
6665oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘ž = ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ) = ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))
6766mpteq2dv 5211 . . . . . . 7 (๐‘ž = ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))
6867oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐‘ž = ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))) = (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))
6964, 68oveq12d 7379 . . . . 5 (๐‘ž = ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))) = (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))))
7061, 62, 63, 69fmptco 7079 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))) โˆ˜ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))))
7119, 4, 54symginv 19192 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = โ—ก๐‘)
7271adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = โ—ก๐‘)
7372fveq2d 6850 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)) = ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜โ—ก๐‘))
7412ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
7518adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
76 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ)
774, 5, 6zrhpsgninv 21012 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜โ—ก๐‘) = ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘))
7874, 75, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜โ—ก๐‘) = ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘))
7973, 78eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)) = ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘))
80 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘ˆ) = (Baseโ€˜๐‘ˆ)
8133ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ CMnd)
8239ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8371ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = โ—ก๐‘)
8483fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ) = (โ—ก๐‘โ€˜๐‘ฆ))
8519, 4symgbasf1o 19164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
8685adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
87 f1ocnv 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ โ—ก๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
88 f1of 6788 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ—ก๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ โ—ก๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ โ—ก๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
9089ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
9184, 90eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘)
92 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)
9382, 91, 92fovcdmd 7530 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9493, 32eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ))
9594ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ˆ))
96 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))
9780, 81, 75, 95, 96, 86gsummptfif1o 19753 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))) = (๐‘ˆ ฮฃg ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)) โˆ˜ ๐‘)))
98 f1of 6788 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
9986, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘:๐‘โŸถ๐‘)
10099ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘)
10199feqmptd 6914 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
102 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))
103 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โ†’ (((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ) = (((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
104 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))
105103, 104oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ) = ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ))๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
106100, 101, 102, 105fmptco 7079 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)) โˆ˜ ๐‘) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ))๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))))
10771ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘) = โ—ก๐‘)
108107fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)) = (โ—ก๐‘โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
109 f1ocnvfv1 7226 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
11086, 109sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โ—ก๐‘โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
111108, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
112111oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ))๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
113112mpteq2dva 5209 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ฅ))๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))))
114106, 113eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)) โˆ˜ ๐‘) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))))
115114oveq2d 7377 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ˆ ฮฃg ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)) โˆ˜ ๐‘)) = (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))))
11697, 115eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))) = (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))))
11779, 116oveq12d 7379 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ)))) = (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))))))
118117mpteq2dva 5209 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((((invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))โ€˜๐‘)โ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))))))
11970, 118eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))) โˆ˜ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ)))))))
120119oveq2d 7377 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… ฮฃg ((๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ž) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘žโ€˜๐‘ฆ)๐‘€๐‘ฆ))))) โˆ˜ (invgโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))))))))
12110, 58, 1203eqtrd 2777 1 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ฅ๐‘€(๐‘โ€˜๐‘ฅ))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ—กccnv 5636   โˆ˜ ccom 5641  โŸถwf 6496  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6499  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ฮฃg cgsu 17330   MndHom cmhm 18607  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  SymGrpcsymg 19156  pmSgncpsgn 19279  CMndccmn 19570  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  โ„คRHomczrh 20923   Mat cmat 21777   maDet cmdat 21956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778  df-mdet 21957
This theorem is referenced by:  mdetrlin  21974  mdetrsca  21975  mdettpos  21983  smadiadet  22042
  Copyright terms: Public domain W3C validator