Theorem mdetleib2 21196

Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib2	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mdetleib2

Dummy variables 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 21195	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
10	9	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
11		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		crngring 19307	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringcmn 19330	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2, 3	matrcl 21020	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
17	16	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
18	17	simpld 497	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
19		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
20	19, 4	symgbasfi 18506	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Fin)
22	12	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
23	5, 6	coeq12i 5733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
24		zrhpsgnmhm 20727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25	23, 24	eqeltrid 2917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
26	12, 18, 25	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
27		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 11	mgpbas 19244	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	4, 28	mhmf 17960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffvelrnda 6850	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
32	8, 11	mgpbas 19244	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
33	8	crngmgp 19304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
34	33	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
35	18	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
36		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
37	2, 11, 3	matbas2i 21030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38		elmapi 8427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
41	19, 4	symgbasf1o 18502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
42	41	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
43		f1of 6614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
45	44	ffvelrnda 6850	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑦) ∈ 𝑁)
46		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
47	40, 45, 46	fovrnd 7319	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
49	32, 34, 35, 48	gsummptcl 19086	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50	11, 7	ringcl 19310	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 31, 49, 50	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
52	51	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑞 ∈ 𝑃 (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2821	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))
54		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
55	19	symggrp 18527	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
56	18, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
57	4, 54, 56	grpinvf1o 18168	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃)
58	11, 15, 21, 52, 53, 57	gsummptfif1o 19087	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))) = (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))))
59		f1of 6614	. . . . . . 7 ⊢ ((invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃 → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
60	57, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
61	60	ffvelrnda 6850	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝑃)
62	60	feqmptd 6732	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
63		eqidd 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))))
64		fveq2 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
65		fveq1 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑞‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦))
66	65	oveq1d 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
67	66	mpteq2dv 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
68	67	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))
69	64, 68	oveq12d 7173	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))))
70	61, 62, 63, 69	fmptco 6890	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))))
71	19, 4, 54	symginv 18529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
72	71	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
73	72	fveq2d 6673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝))
74	12	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
75	18	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
76		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
77	4, 5, 6	zrhpsgninv 20728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
79	73, 78	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
80		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
81	33	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
82	39	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
83	71	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
84	83	fveq1d 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (◡𝑝‘𝑦))
85	19, 4	symgbasf1o 18502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
86	85	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
87		f1ocnv 6626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
88		f1of 6614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
90	89	ffvelrnda 6850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘𝑦) ∈ 𝑁)
91	84, 90	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) ∈ 𝑁)
92		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
93	82, 91, 92	fovrnd 7319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
94	93, 32	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
95	94	ralrimiva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
96		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
97	80, 81, 75, 95, 96, 86	gsummptfif1o 19087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)))
98		f1of 6614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
99	86, 98	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
100	99	ffvelrnda 6850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
101	99	feqmptd 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑝‘𝑥)))
102		eqidd 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
103		fveq2 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)))
104		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → 𝑦 = (𝑝‘𝑥))
105	103, 104	oveq12d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)))
106	100, 101, 102, 105	fmptco 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))))
107	71	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
108	107	fveq1d 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)))
109		f1ocnvfv1 7032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
110	86, 109	sylan 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
111	108, 110	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
112	111	oveq1d 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)) = (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))
113	112	mpteq2dva 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
114	106, 113	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
115	114	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
116	97, 115	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
117	79, 116	oveq12d 7173	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))
118	117	mpteq2dva 5160	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
119	70, 118	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
120	119	oveq2d 7171	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))
121	10, 58, 120	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ↦ cmpt 5145   × cxp 5552  ^◡ccnv 5553   ∘ ccom 5558  ⟶wf 6350  –1-1-onto→wf1o 6353  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ↑_m cmap 8405  Fincfn 8508  Basecbs 16482  ._rcmulr 16565   Σ_g cgsu 16713   MndHom cmhm 17953  Grpcgrp 18102  inv_gcminusg 18103  SymGrpcsymg 18494  pmSgncpsgn 18616  CMndccmn 18905  mulGrpcmgp 19238  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297  ℤRHomczrh 20646   Mat cmat 21015   maDet cmdat 21192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13914  df-concat 13922  df-s1 13949  df-substr 14002  df-pfx 14032  df-splice 14111  df-reverse 14120  df-s2 14209  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-efmnd 18033  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-gim 18398  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-symg 18495  df-pmtr 18569  df-psgn 18618  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-subrg 19532  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-dsmm 20875  df-frlm 20890  df-mat 21016  df-mdet 21193

This theorem is referenced by:  mdetrlin  21210  mdetrsca  21211  mdettpos  21219  smadiadet  21278