Theorem mdetleib2 22615

Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib2	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mdetleib2

Dummy variables 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 22614	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		crngring 20272	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringcmn 20305	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2, 3	matrcl 22437	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
18	17	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
19		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
20	19, 4	symgbasfi 19420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Fin)
22	12	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
23	5, 6	coeq12i 5888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
24		zrhpsgnmhm 21625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25	23, 24	eqeltrid 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
26	12, 18, 25	syl2an2r 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
27		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 11	mgpbas 20167	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	4, 28	mhmf 18824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffvelcdmda 7118	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
32	8, 11	mgpbas 20167	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
33	8	crngmgp 20268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
34	33	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
35	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
36		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
37	2, 11, 3	matbas2i 22449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38		elmapi 8907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
41	19, 4	symgbasf1o 19416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
43		f1of 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
45	44	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑦) ∈ 𝑁)
46		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
47	40, 45, 46	fovcdmd 7622	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
49	32, 34, 35, 48	gsummptcl 20009	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50	11, 7	ringcl 20277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 31, 49, 50	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
52	51	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑞 ∈ 𝑃 (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))
54		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
55	19	symggrp 19442	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
56	18, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
57	4, 54, 56	grpinvf1o 19049	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃)
58	11, 15, 21, 52, 53, 57	gsummptfif1o 20010	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))) = (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))))
59		f1of 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃 → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
60	57, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
61	60	ffvelcdmda 7118	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝑃)
62	60	feqmptd 6990	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
63		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))))
64		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
65		fveq1 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑞‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦))
66	65	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
67	66	mpteq2dv 5268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
68	67	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))
69	64, 68	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))))
70	61, 62, 63, 69	fmptco 7163	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))))
71	19, 4, 54	symginv 19444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
72	71	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
73	72	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝))
74	12	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
75	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
76		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
77	4, 5, 6	zrhpsgninv 21626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
79	73, 78	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
80		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
81	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
82	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
83	71	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
84	83	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (◡𝑝‘𝑦))
85	19, 4	symgbasf1o 19416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
87		f1ocnv 6874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
88		f1of 6862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
90	89	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘𝑦) ∈ 𝑁)
91	84, 90	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) ∈ 𝑁)
92		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
93	82, 91, 92	fovcdmd 7622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
94	93, 32	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
95	94	ralrimiva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
96		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
97	80, 81, 75, 95, 96, 86	gsummptfif1o 20010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)))
98		f1of 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
99	86, 98	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
100	99	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
101	99	feqmptd 6990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑝‘𝑥)))
102		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
103		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)))
104		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → 𝑦 = (𝑝‘𝑥))
105	103, 104	oveq12d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)))
106	100, 101, 102, 105	fmptco 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))))
107	71	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
108	107	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)))
109		f1ocnvfv1 7312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
110	86, 109	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
111	108, 110	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
112	111	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)) = (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))
113	112	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
114	106, 113	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
115	114	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
116	97, 115	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
117	79, 116	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))
118	117	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
119	70, 118	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
120	119	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))
121	10, 58, 120	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500   MndHom cmhm 18816  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SymGrpcsymg 19410  pmSgncpsgn 19531  CMndccmn 19822  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  ℤRHomczrh 21533   Mat cmat 22432   maDet cmdat 22611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19411  df-pmtr 19484  df-psgn 19533  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-mat 22433  df-mdet 22612

This theorem is referenced by:  mdetrlin  22629  mdetrsca  22630  mdettpos  22638  smadiadet  22697