MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetleib2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetleib2 22534
Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t · = (.r𝑅)
mdetfval.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetleib2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mdetleib2
Dummy variables 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetfval.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetfval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mdetfval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 mdetfval.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6 mdetfval.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7 mdetfval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
8 mdetfval.u . . . 4 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 22533 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))))
109adantl 480 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))))
11 eqid 2725 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 crngring 20197 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13 ringcmn 20230 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
1514adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
162, 3matrcl 22356 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1716adantl 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1817simpld 493 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
19 eqid 2725 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2019, 4symgbasfi 19345 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
2118, 20syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Fin)
2212ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
235, 6coeq12i 5866 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
24 zrhpsgnmhm 21533 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2523, 24eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2612, 18, 25syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑌𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
27 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2827, 11mgpbas 20092 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
294, 28mhmf 18749 . . . . . . 7 ((𝑌𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (𝑌𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
3026, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑌𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
3130ffvelcdmda 7093 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
328, 11mgpbas 20092 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
338crngmgp 20193 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
3433ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
3518adantr 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
36 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
372, 11, 3matbas2i 22368 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38 elmapi 8868 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4039ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4119, 4symgbasf1o 19341 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝑃𝑞:𝑁1-1-onto𝑁)
4241adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞:𝑁1-1-onto𝑁)
43 f1of 6838 . . . . . . . . . 10 (𝑞:𝑁1-1-onto𝑁𝑞:𝑁𝑁)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞:𝑁𝑁)
4544ffvelcdmda 7093 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (𝑞𝑦) ∈ 𝑁)
46 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
4740, 45, 46fovcdmd 7593 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((𝑞𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3135 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → ∀𝑦𝑁 ((𝑞𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4932, 34, 35, 48gsummptcl 19934 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
5011, 7ringcl 20202 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
5122, 31, 49, 50syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
5251ralrimiva 3135 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑞𝑃 (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
53 eqid 2725 . . 3 (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))
54 eqid 2725 . . . 4 (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
5519symggrp 19367 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
5618, 55syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
574, 54, 56grpinvf1o 18973 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃1-1-onto𝑃)
5811, 15, 21, 52, 53, 57gsummptfif1o 19935 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))) = (𝑅 Σg ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))))
59 f1of 6838 . . . . . . 7 ((invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃1-1-onto𝑃 → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃𝑃)
6057, 59syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃𝑃)
6160ffvelcdmda 7093 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝑃)
6260feqmptd 6966 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (𝑝𝑃 ↦ ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
63 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))))
64 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑌𝑆)‘𝑞) = ((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
65 fveq1 6895 . . . . . . . . 9 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑞𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦))
6665oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑞𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
6766mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
6867oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))
6964, 68oveq12d 7437 . . . . 5 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))))
7061, 62, 63, 69fmptco 7138 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))))
7119, 4, 54symginv 19369 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
7271adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
7372fveq2d 6900 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
7412ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
7518adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
76 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
774, 5, 6zrhpsgninv 21534 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑝) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
7874, 75, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑝) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
7973, 78eqtrd 2765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
80 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8133ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
8239ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8371ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
8483fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (𝑝𝑦))
8519, 4symgbasf1o 19341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝑃𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
8685adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
87 f1ocnv 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
88 f1of 6838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝:𝑁𝑁)
9089ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (𝑝𝑦) ∈ 𝑁)
9184, 90eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) ∈ 𝑁)
92 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
9382, 91, 92fovcdmd 7593 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
9493, 32eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
9594ralrimiva 3135 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ∀𝑦𝑁 ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
96 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
9780, 81, 75, 95, 96, 86gsummptfif1o 19935 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)))
98 f1of 6838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
9986, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝:𝑁𝑁)
10099ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
10199feqmptd 6966 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 = (𝑥𝑁 ↦ (𝑝𝑥)))
102 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
103 fveq2 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑝𝑥) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥)))
104 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑝𝑥) → 𝑦 = (𝑝𝑥))
105103, 104oveq12d 7437 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑝𝑥) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥)))
106100, 101, 102, 105fmptco 7138 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥))))
10771ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
108107fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥)) = (𝑝‘(𝑝𝑥)))
109 f1ocnvfv1 7285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑥𝑁) → (𝑝‘(𝑝𝑥)) = 𝑥)
11086, 109sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝‘(𝑝𝑥)) = 𝑥)
111108, 110eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥)) = 𝑥)
112111oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥)) = (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))
113112mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑥𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥))) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))
114106, 113eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))
115114oveq2d 7435 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑈 Σg ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)) = (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))
11697, 115eqtrd 2765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))
11779, 116oveq12d 7437 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))
118117mpteq2dva 5249 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))))
11970, 118eqtrd 2765 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))))
120119oveq2d 7435 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))))
12110, 58, 1203eqtrd 2769 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  cmpt 5232   × cxp 5676  ccnv 5677  ccom 5682  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  Fincfn 8964  Basecbs 17183  .rcmulr 17237   Σg cgsu 17425   MndHom cmhm 18741  Grpcgrp 18898  invgcminusg 18899  SymGrpcsymg 19333  pmSgncpsgn 19456  CMndccmn 19747  mulGrpcmgp 20086  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  ℤRHomczrh 21442   Mat cmat 22351   maDet cmdat 22530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-splice 14736  df-reverse 14745  df-s2 14835  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-symg 19334  df-pmtr 19409  df-psgn 19458  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-mat 22352  df-mdet 22531
This theorem is referenced by:  mdetrlin  22548  mdetrsca  22549  mdettpos  22557  smadiadet  22616
  Copyright terms: Public domain W3C validator