Theorem mdetleib2 22702

Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib2	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mdetleib2

Dummy variables 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetleib 22701	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
10	9	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))))
11		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		crngring 20315	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringcmn 20353	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2, 3	matrcl 22526	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
17	16	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
18	17	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
20	19, 4	symgbasfi 19437	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
21	18, 20	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Fin)
22	12	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
23	5, 6	coeq12i 5839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∘ 𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
24		zrhpsgnmhm 21691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
25	23, 24	eqeltrid 2869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
26	12, 18, 25	syl2an2r 697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
27		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 11	mgpbas 20209	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	4, 28	mhmf 18835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∘ 𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
30	26, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∘ 𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffvelcdmda 7069	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
32	8, 11	mgpbas 20209	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
33	8	crngmgp 20311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
34	33	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
35	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
36		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
37	2, 11, 3	matbas2i 22536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
38		elmapi 8834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
39	36, 37, 38	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
41	19, 4	symgbasf1o 19433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
42	41	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁)
43		f1of 6810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞:𝑁⟶𝑁)
45	44	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑞‘𝑦) ∈ 𝑁)
46		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
47	40, 45, 46	fovcdmd 7572	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
49	32, 34, 35, 48	gsummptcl 20025	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50	11, 7	ringcl 20320	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 31, 49, 50	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
52	51	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑞 ∈ 𝑃 (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))
54		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
55	19	symggrp 19458	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
56	18, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
57	4, 54, 56	grpinvf1o 19063	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃)
58	11, 15, 21, 52, 53, 57	gsummptfif1o 20026	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))))) = (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))))
59		f1of 6810	. . . . . . 7 ⊢ ((invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃–1-1-onto→𝑃 → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
60	57, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃⟶𝑃)
61	60	ffvelcdmda 7069	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝑃)
62	60	feqmptd 6939	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
63		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))))
64		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
65		fveq1 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑞‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦))
66	65	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
67	66	mpteq2dv 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
68	67	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))
69	64, 68	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))))
70	61, 62, 63, 69	fmptco 7115	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))))
71	19, 4, 54	symginv 19460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
72	71	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
73	72	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝))
74	12	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
75	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
76		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
77	4, 5, 6	zrhpsgninv 21692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝑝) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
79	73, 78	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝))
80		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
81	33	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
82	39	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
83	71	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
84	83	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (◡𝑝‘𝑦))
85	19, 4	symgbasf1o 19433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
86	85	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
87		f1ocnv 6823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
88		f1of 6810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
89	86, 87, 88	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ◡𝑝:𝑁⟶𝑁)
90	89	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘𝑦) ∈ 𝑁)
91	84, 90	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) ∈ 𝑁)
92		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
93	82, 91, 92	fovcdmd 7572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
94	93, 32	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
95	94	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
96		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
97	80, 81, 75, 95, 96, 86	gsummptfif1o 20026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)))
98		f1of 6810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
99	86, 98	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
100	99	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑥) ∈ 𝑁)
101	99	feqmptd 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑝‘𝑥)))
102		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
103		fveq2 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)))
104		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → 𝑦 = (𝑝‘𝑥))
105	103, 104	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑝‘𝑥) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)))
106	100, 101, 102, 105	fmptco 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))))
107	71	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = ◡𝑝)
108	107	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)))
109		f1ocnvfv1 7264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
110	86, 109	sylan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (◡𝑝‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
111	108, 110	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥)) = 𝑥)
112	111	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥)) = (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))
113	112	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝‘𝑥))𝑀(𝑝‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
114	106, 113	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))
115	114	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg ((𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
116	97, 115	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))
117	79, 116	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))
118	117	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
119	70, 118	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥)))))))
120	119	oveq2d 7416	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg ((𝑞 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑞‘𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))
121	10, 58, 120	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝‘𝑥))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299   Σ_g cgsu 17481   MndHom cmhm 18827  Grpcgrp 18988  inv_gcminusg 18989  SymGrpcsymg 19427  pmSgncpsgn 19547  CMndccmn 19838  mulGrpcmgp 20204  Ringcrg 20303  CRingccrg 20304  ℤRHomczrh 21606   Mat cmat 22521   maDet cmdat 22698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1535  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-word 14539  df-lsw 14588  df-concat 14596  df-s1 14622  df-substr 14667  df-pfx 14697  df-splice 14775  df-reverse 14784  df-s2 14873  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-efmnd 18916  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-gim 19317  df-cntz 19375  df-oppg 19404  df-symg 19428  df-pmtr 19500  df-psgn 19549  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-rhm 20542  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-drng 20803  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-cnfld 21480  df-zring 21554  df-zrh 21610  df-dsmm 21839  df-frlm 21854  df-mat 22522  df-mdet 22699

This theorem is referenced by:  mdetrlin  22716  mdetrsca  22717  mdettpos  22725  smadiadet  22784