MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetleib2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetleib2 20904
Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t · = (.r𝑅)
mdetfval.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetleib2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mdetleib2
Dummy variables 𝑦 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetfval.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetfval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mdetfval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 mdetfval.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6 mdetfval.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7 mdetfval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
8 mdetfval.u . . . 4 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 20903 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))))
109adantl 474 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))))
11 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 crngring 19034 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
13 ringcmn 19057 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
1514adantr 473 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
162, 3matrcl 20728 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1716adantl 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1817simpld 487 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
19 eqid 2778 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2019, 4symgbasfi 18278 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
2118, 20syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Fin)
2212ad2antrr 713 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
235, 6coeq12i 5585 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
24 zrhpsgnmhm 20433 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2523, 24syl5eqel 2870 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
2612, 18, 25syl2an2r 672 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑌𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
27 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2827, 11mgpbas 18971 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
294, 28mhmf 17811 . . . . . . 7 ((𝑌𝑆) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → (𝑌𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
3026, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑌𝑆):𝑃⟶(Base‘𝑅))
3130ffvelrnda 6678 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
328, 11mgpbas 18971 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑈)
338crngmgp 19031 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ CMnd)
3433ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
3518adantr 473 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
36 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
372, 11, 3matbas2i 20738 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
38 elmapi 8230 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4039ad2antrr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
4119, 4symgbasf1o 18275 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝑃𝑞:𝑁1-1-onto𝑁)
4241adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞:𝑁1-1-onto𝑁)
43 f1of 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑞:𝑁1-1-onto𝑁𝑞:𝑁𝑁)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞:𝑁𝑁)
4544ffvelrnda 6678 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (𝑞𝑦) ∈ 𝑁)
46 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
4740, 45, 46fovrnd 7138 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((𝑞𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3132 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → ∀𝑦𝑁 ((𝑞𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
4932, 34, 35, 48gsummptcl 18843 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
5011, 7ringcl 19037 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
5122, 31, 49, 50syl3anc 1351 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑞𝑃) → (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
5251ralrimiva 3132 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑞𝑃 (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) ∈ (Base‘𝑅))
53 eqid 2778 . . 3 (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))
54 eqid 2778 . . . 4 (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
5519symggrp 18292 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
5618, 55syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
574, 54, 56grpinvf1o 17959 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃1-1-onto𝑃)
5811, 15, 21, 52, 53, 57gsummptfif1o 18844 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))))) = (𝑅 Σg ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))))
59 f1of 6446 . . . . . . 7 ((invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃1-1-onto𝑃 → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃𝑃)
6057, 59syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)):𝑃𝑃)
6160ffvelrnda 6678 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝑃)
6260feqmptd 6564 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (𝑝𝑃 ↦ ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
63 eqidd 2779 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))))
64 fveq2 6501 . . . . . 6 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑌𝑆)‘𝑞) = ((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)))
65 fveq1 6500 . . . . . . . . 9 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑞𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦))
6665oveq1d 6993 . . . . . . . 8 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → ((𝑞𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
6766mpteq2dv 5024 . . . . . . 7 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
6867oveq2d 6994 . . . . . 6 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))
6964, 68oveq12d 6996 . . . . 5 (𝑞 = ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) → (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))))
7061, 62, 63, 69fmptco 6716 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))))
7119, 4, 54symginv 18294 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
7271adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
7372fveq2d 6505 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
7412ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
7518adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑁 ∈ Fin)
76 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
774, 5, 6zrhpsgninv 20434 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑝) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
7874, 75, 76, 77syl3anc 1351 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑝) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
7973, 78eqtrd 2814 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) = ((𝑌𝑆)‘𝑝))
80 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8133ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑈 ∈ CMnd)
8239ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8371ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
8483fveq1d 6503 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (𝑝𝑦))
8519, 4symgbasf1o 18275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝𝑃𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
8685adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
87 f1ocnv 6458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
88 f1of 6446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝:𝑁𝑁)
9089ffvelrnda 6678 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (𝑝𝑦) ∈ 𝑁)
9184, 90eqeltrd 2866 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) ∈ 𝑁)
92 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
9382, 91, 92fovrnd 7138 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
9493, 32syl6eleq 2876 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑦𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
9594ralrimiva 3132 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ∀𝑦𝑁 ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) ∈ (Base‘𝑈))
96 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))
9780, 81, 75, 95, 96, 86gsummptfif1o 18844 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)))
98 f1of 6446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
9986, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝:𝑁𝑁)
10099ffvelrnda 6678 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
10199feqmptd 6564 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 = (𝑥𝑁 ↦ (𝑝𝑥)))
102 eqidd 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) = (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))
103 fveq2 6501 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑝𝑥) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦) = (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥)))
104 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑝𝑥) → 𝑦 = (𝑝𝑥))
105103, 104oveq12d 6996 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑝𝑥) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦) = ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥)))
106100, 101, 102, 105fmptco 6716 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥))))
10771ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝) = 𝑝)
108107fveq1d 6503 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥)) = (𝑝‘(𝑝𝑥)))
109 f1ocnvfv1 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑥𝑁) → (𝑝‘(𝑝𝑥)) = 𝑥)
11086, 109sylan 572 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝‘(𝑝𝑥)) = 𝑥)
111108, 110eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → (((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥)) = 𝑥)
112111oveq1d 6993 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑥𝑁) → ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥)) = (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))
113112mpteq2dva 5023 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑥𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘(𝑝𝑥))𝑀(𝑝𝑥))) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))
114106, 113eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))
115114oveq2d 6994 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑈 Σg ((𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)) ∘ 𝑝)) = (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))
11697, 115eqtrd 2814 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))) = (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))
11779, 116oveq12d 6996 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦)))) = (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))
118117mpteq2dva 5023 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝑝)‘𝑦)𝑀𝑦))))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))))
11970, 118eqtrd 2814 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁))) = (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥)))))))
120119oveq2d 6994 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg ((𝑞𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑞) · (𝑈 Σg (𝑦𝑁 ↦ ((𝑞𝑦)𝑀𝑦))))) ∘ (invg‘(SymGrp‘𝑁)))) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))))
12110, 58, 1203eqtrd 2818 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑥𝑀(𝑝𝑥))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  cmpt 5009   × cxp 5406  ccnv 5407  ccom 5412  wf 6186  1-1-ontowf1o 6189  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308  Basecbs 16342  .rcmulr 16425   Σg cgsu 16573   MndHom cmhm 17804  Grpcgrp 17894  invgcminusg 17895  SymGrpcsymg 18269  pmSgncpsgn 18381  CMndccmn 18669  mulGrpcmgp 18965  Ringcrg 19023  CRingccrg 19024  ℤRHomczrh 20352   Mat cmat 20723   maDet cmdat 20900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-ot 4451  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-tpos 7697  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-word 13676  df-lsw 13729  df-concat 13737  df-s1 13762  df-substr 13807  df-pfx 13856  df-splice 13963  df-reverse 13981  df-s2 14075  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-gim 18173  df-cntz 18221  df-oppg 18248  df-symg 18270  df-pmtr 18334  df-psgn 18383  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-rnghom 19193  df-drng 19230  df-subrg 19259  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-cnfld 20251  df-zring 20323  df-zrh 20356  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-mat 20724  df-mdet 20901
This theorem is referenced by:  mdetrlin  20918  mdetrsca  20919  mdettpos  20927  smadiadet  20986
  Copyright terms: Public domain W3C validator