Theorem gsumsub 19854

Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsub.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsumsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsub.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablcmn 19693	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumsub.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumsub.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		ablgrp 19691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 9, 11	grpinvf1o 18917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
13		f1of 6782	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
15		gsumsub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
16		fco 6694	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
18		gsumsub.fn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
19	2	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
21	1	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
23		gsumsub.hn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
24	2, 9	grpinvid 18907	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	11, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
26	20, 15, 14, 7, 22, 23, 25	fsuppco2 9330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
27	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 26	gsumadd 19829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
28	1, 2, 9, 4, 7, 15, 23	gsuminv 19852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
29	28	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
30	27, 29	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
31	8	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
32	15	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
33		gsumsub.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
34	1, 3, 9, 33	grpsubval 18893	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
35	31, 32, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
36	35	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
37	8	feqmptd 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	15	feqmptd 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
39	7, 31, 32, 37, 38	offval2 7653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
40		fvexd 6855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
41	14	feqmptd 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
42		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
43	32, 38, 41, 42	fmptco 7083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
44	7, 31, 40, 37, 43	offval2 7653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
45	36, 39, 44	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
46	45	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
47	1, 2, 6, 7, 8, 18	gsumcl 19821	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 6, 7, 15, 23	gsumcl 19821	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
49	1, 3, 9, 33	grpsubval 18893	. . 3 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
50	47, 48, 49	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
51	30, 46, 50	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631   finSupp cfsupp 9288  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  -_gcsg 18843  CMndccmn 19686  Abelcabl 19687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689

This theorem is referenced by:  gsummptfssub  19855  tsmsxplem2  24017