Theorem gsumsub 20155

Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsub.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsumsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsub.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablcmn 19994	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumsub.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumsub.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		ablgrp 19992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11	4, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 9, 11	grpinvf1o 19212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
13		f1of 6822	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
15		gsumsub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
16		fco 6732	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
18		gsumsub.fn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
19	2	fvexi 6897	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
21	1	fvexi 6897	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
23		gsumsub.hn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
24	2, 9	grpinvid 19203	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	11, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
26	20, 15, 14, 7, 22, 23, 25	fsuppco2 9388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
27	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 26	gsumadd 20130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
28	1, 2, 9, 4, 7, 15, 23	gsuminv 20153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
29	28	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
30	27, 29	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
31	8	ffvelcdmda 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
32	15	ffvelcdmda 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
33		gsumsub.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
34	1, 3, 9, 33	grpsubval 19189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
35	31, 32, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
36	35	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
37	8	feqmptd 6951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	15	feqmptd 6951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
39	7, 31, 32, 37, 38	offval2 7711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
40		fvexd 6898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
41	14	feqmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
42		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
43	32, 38, 41, 42	fmptco 7128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
44	7, 31, 40, 37, 43	offval2 7711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
45	36, 39, 44	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
46	45	oveq2d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
47	1, 2, 6, 7, 8, 18	gsumcl 20122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 6, 7, 15, 23	gsumcl 20122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
49	1, 3, 9, 33	grpsubval 19189	. . 3 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
50	47, 48, 49	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
51	30, 46, 50	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∘_f cof 7689   finSupp cfsupp 9346  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  Grpcgrp 19137  inv_gcminusg 19138  -_gcsg 19139  CMndccmn 19987  Abelcabl 19988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990

This theorem is used by:  gsummptfssub  20156  tsmsxplem2  24466