Theorem gsumsub 19914

Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsub.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsumsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsub.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablcmn 19753	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumsub.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumsub.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		ablgrp 19751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 9, 11	grpinvf1o 18976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
13		f1of 6767	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
15		gsumsub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
16		fco 6679	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
17	14, 15, 16	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
18		gsumsub.fn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
19	2	fvexi 6841	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
21	1	fvexi 6841	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
23		gsumsub.hn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
24	2, 9	grpinvid 18966	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	11, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
26	20, 15, 14, 7, 22, 23, 25	fsuppco2 9306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
27	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 26	gsumadd 19889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
28	1, 2, 9, 4, 7, 15, 23	gsuminv 19912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
29	28	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
30	27, 29	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
31	8	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
32	15	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
33		gsumsub.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
34	1, 3, 9, 33	grpsubval 18952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
35	31, 32, 34	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
36	35	mpteq2dva 5165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
37	8	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	15	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
39	7, 31, 32, 37, 38	offval2 7640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
40		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
41	14	feqmptd 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
42		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
43	32, 38, 41, 42	fmptco 7071	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
44	7, 31, 40, 37, 43	offval2 7640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
45	36, 39, 44	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
46	45	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
47	1, 2, 6, 7, 8, 18	gsumcl 19881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 6, 7, 15, 23	gsumcl 19881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
49	1, 3, 9, 33	grpsubval 18952	. . 3 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
50	47, 48, 49	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
51	30, 46, 50	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  CMndccmn 19746  Abelcabl 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749

This theorem is referenced by:  gsummptfssub  19915  tsmsxplem2  24137