MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsub 19684
Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z 0 = (0g𝐺)
gsumsub.m = (-g𝐺)
gsumsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsub.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumsub.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumsub.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumsub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumsub.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsub.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 gsumsub.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 ablcmn 19528 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
7 gsumsub.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8 gsumsub.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 ablgrp 19526 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
114, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
121, 9, 11grpinvf1o 18776 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵1-1-onto𝐵)
13 f1of 6781 . . . . . 6 ((invg𝐺):𝐵1-1-onto𝐵 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
15 gsumsub.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
16 fco 6689 . . . . 5 (((invg𝐺):𝐵𝐵𝐻:𝐴𝐵) → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
18 gsumsub.fn . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
192fvexi 6853 . . . . . 6 0 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
211fvexi 6853 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
23 gsumsub.hn . . . . 5 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
242, 9grpinvid 18767 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2511, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2620, 15, 14, 7, 22, 23, 25fsuppco2 9297 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
271, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 26gsumadd 19659 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
281, 2, 9, 4, 7, 15, 23gsuminv 19682 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
2928oveq2d 7367 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
3027, 29eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
318ffvelcdmda 7031 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
3215ffvelcdmda 7031 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
33 gsumsub.m . . . . . . 7 = (-g𝐺)
341, 3, 9, 33grpsubval 18756 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3531, 32, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3635mpteq2dva 5203 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
378feqmptd 6907 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3815feqmptd 6907 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐻𝑘)))
397, 31, 32, 37, 38offval2 7629 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
40 fvexd 6854 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
4114feqmptd 6907 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
42 fveq2 6839 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
4332, 38, 41, 42fmptco 7071 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
447, 31, 40, 37, 43offval2 7629 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
4536, 39, 443eqtr4d 2787 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
4645oveq2d 7367 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
471, 2, 6, 7, 8, 18gsumcl 19651 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
481, 2, 6, 7, 15, 23gsumcl 19651 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
491, 3, 9, 33grpsubval 18756 . . 3 (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
5047, 48, 49syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
5130, 46, 503eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ccom 5635  wf 6489  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  (class class class)co 7351  f cof 7607   finSupp cfsupp 9263  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  0gc0g 17281   Σg cgsu 17282  Grpcgrp 18708  invgcminusg 18709  -gcsg 18710  CMndccmn 19521  Abelcabl 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-ghm 18965  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524
This theorem is referenced by:  gsummptfssub  19685  tsmsxplem2  23457
  Copyright terms: Public domain W3C validator