Theorem gsumsub 19878

Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsub.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
gsumsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumsub.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsub.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsub.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsumsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablcmn 19717	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		gsumsub.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumsub.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		ablgrp 19715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 9, 11	grpinvf1o 18941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
13		f1of 6800	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
15		gsumsub.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
16		fco 6712	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
18		gsumsub.fn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
19	2	fvexi 6872	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
21	1	fvexi 6872	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
23		gsumsub.hn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
24	2, 9	grpinvid 18931	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
25	11, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
26	20, 15, 14, 7, 22, 23, 25	fsuppco2 9354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
27	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 26	gsumadd 19853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
28	1, 2, 9, 4, 7, 15, 23	gsuminv 19876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
29	28	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
30	27, 29	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
31	8	ffvelcdmda 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
32	15	ffvelcdmda 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
33		gsumsub.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
34	1, 3, 9, 33	grpsubval 18917	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
35	31, 32, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
36	35	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
37	8	feqmptd 6929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
38	15	feqmptd 6929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
39	7, 31, 32, 37, 38	offval2 7673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
40		fvexd 6873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
41	14	feqmptd 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
42		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
43	32, 38, 41, 42	fmptco 7101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
44	7, 31, 40, 37, 43	offval2 7673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
45	36, 39, 44	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
46	45	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
47	1, 2, 6, 7, 8, 18	gsumcl 19845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 6, 7, 15, 23	gsumcl 19845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
49	1, 3, 9, 33	grpsubval 18917	. . 3 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
50	47, 48, 49	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
51	30, 46, 50	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  -_gcsg 18867  CMndccmn 19710  Abelcabl 19711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713

This theorem is referenced by:  gsummptfssub  19879  tsmsxplem2  24041