Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsub 19061
 Description: The difference of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsub.z 0 = (0g𝐺)
gsumsub.m = (-g𝐺)
gsumsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gsumsub.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsub.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumsub.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumsub.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumsub.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumsub (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumsub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumsub.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsub.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2798 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 gsumsub.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 ablcmn 18905 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
7 gsumsub.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8 gsumsub.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 eqid 2798 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 ablgrp 18903 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
114, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
121, 9, 11grpinvf1o 18161 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵1-1-onto𝐵)
13 f1of 6590 . . . . . 6 ((invg𝐺):𝐵1-1-onto𝐵 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
15 gsumsub.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
16 fco 6505 . . . . 5 (((invg𝐺):𝐵𝐵𝐻:𝐴𝐵) → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
1714, 15, 16syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
18 gsumsub.fn . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
192fvexi 6659 . . . . . 6 0 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
211fvexi 6659 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
23 gsumsub.hn . . . . 5 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
242, 9grpinvid 18152 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2511, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2620, 15, 14, 7, 22, 23, 25fsuppco2 8850 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) finSupp 0 )
271, 2, 3, 6, 7, 8, 17, 18, 26gsumadd 19036 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
281, 2, 9, 4, 7, 15, 23gsuminv 19059 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
2928oveq2d 7151 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
3027, 29eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
318ffvelrnda 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
3215ffvelrnda 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
33 gsumsub.m . . . . . . 7 = (-g𝐺)
341, 3, 9, 33grpsubval 18141 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3531, 32, 34syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3635mpteq2dva 5125 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
378feqmptd 6708 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3815feqmptd 6708 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐻𝑘)))
397, 31, 32, 37, 38offval2 7406 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
40 fvexd 6660 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
4114feqmptd 6708 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
42 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
4332, 38, 41, 42fmptco 6868 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
447, 31, 40, 37, 43offval2 7406 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
4536, 39, 443eqtr4d 2843 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
4645oveq2d 7151 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
471, 2, 6, 7, 8, 18gsumcl 19028 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
481, 2, 6, 7, 15, 23gsumcl 19028 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵)
491, 3, 9, 33grpsubval 18141 . . 3 (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
5047, 48, 49syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
5130, 46, 503eqtr4d 2843 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘f cof 7387   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Grpcgrp 18095  invgcminusg 18096  -gcsg 18097  CMndccmn 18898  Abelcabl 18899 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901 This theorem is referenced by:  gsummptfssub  19062  tsmsxplem2  22759
 Copyright terms: Public domain W3C validator