MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlinv 21853
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
psrlinv.o 0 = (0g𝑅)
psrlinv.p + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrlinv (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 ovex 7437 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 5327 . . . 4 𝐷 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 fvexd 6899 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
6 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
9 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
106, 7, 1, 8, 9psrelbas 21834 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1110ffvelcdmda 7079 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1210feqmptd 6953 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑋𝑥)))
13 psrnegcl.i . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
14 psrgrp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
157, 13, 14grpinvf1o 18935 . . . . . 6 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
16 f1of 6826 . . . . . 6 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1817feqmptd 6953 . . . 4 (𝜑𝑁 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑁𝑦)))
19 fveq2 6884 . . . 4 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑋𝑥)))
2011, 12, 18, 19fmptco 7122 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
214, 5, 11, 20, 12offval2 7686 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∘f (+g𝑅)𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
22 eqid 2726 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
23 psrlinv.p . . 3 + = (+g𝑆)
24 psrgrp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
256, 24, 14, 1, 13, 8, 9psrnegcl 21852 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
266, 8, 22, 23, 25, 9psradd 21837 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = ((𝑁𝑋) ∘f (+g𝑅)𝑋))
27 fconstmpt 5731 . . 3 (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷0 )
28 psrlinv.o . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
297, 22, 28, 13grplinv 18916 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
3014, 11, 29syl2an2r 682 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
3130mpteq2dva 5241 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐷0 ))
3227, 31eqtr4id 2785 . 2 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
3321, 26, 323eqtr4d 2776 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  {csn 4623  cmpt 5224   × cxp 5667  ccnv 5668  cima 5672  ccom 5673  wf 6532  1-1-ontowf1o 6535  cfv 6536  (class class class)co 7404  f cof 7664  m cmap 8819  Fincfn 8938  cn 12213  0cn0 12473  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  0gc0g 17391  Grpcgrp 18860  invgcminusg 18861   mPwSer cmps 21793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-tset 17222  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-psr 21798
This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  21855  psrneg  21857
  Copyright terms: Public domain W3C validator