MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlinv 21975
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
psrlinv.o 0 = (0g𝑅)
psrlinv.p + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrlinv (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 ovex 7464 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 5341 . . . 4 𝐷 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 fvexd 6921 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
6 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
9 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
106, 7, 1, 8, 9psrelbas 21954 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1110ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1210feqmptd 6977 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑋𝑥)))
13 psrnegcl.i . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
14 psrgrp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
157, 13, 14grpinvf1o 19027 . . . . . 6 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
16 f1of 6848 . . . . . 6 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1817feqmptd 6977 . . . 4 (𝜑𝑁 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑁𝑦)))
19 fveq2 6906 . . . 4 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑋𝑥)))
2011, 12, 18, 19fmptco 7149 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
214, 5, 11, 20, 12offval2 7717 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∘f (+g𝑅)𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
22 eqid 2737 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
23 psrlinv.p . . 3 + = (+g𝑆)
24 psrgrp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
256, 24, 14, 1, 13, 8, 9psrnegcl 21974 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
266, 8, 22, 23, 25, 9psradd 21957 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = ((𝑁𝑋) ∘f (+g𝑅)𝑋))
27 fconstmpt 5747 . . 3 (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷0 )
28 psrlinv.o . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
297, 22, 28, 13grplinv 19007 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
3014, 11, 29syl2an2r 685 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
3130mpteq2dva 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐷0 ))
3227, 31eqtr4id 2796 . 2 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
3321, 26, 323eqtr4d 2787 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  cima 5688  ccom 5689  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Fincfn 8985  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952   mPwSer cmps 21924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-psr 21929
This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  21977  psrneg  21979
  Copyright terms: Public domain W3C validator