Theorem psrlinv 22269

Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrnegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrlinv.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrlinv.p	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psrlinv	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psrlinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrnegcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		ovex 7454	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5301	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		fvexd 6901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑁‘(𝑋‘𝑥)) ∈ V)
6		psrgrp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		psrnegcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9		psrnegcl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	6, 7, 1, 8, 9	psrelbas 22249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffvelcdmda 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
12	10	feqmptd 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋‘𝑥)))
13		psrnegcl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
14		psrgrp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15	7, 13, 14	grpinvf1o 19225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
16		f1of 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
18	17	feqmptd 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑁‘𝑦)))
19		fveq2 6886	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑥) → (𝑁‘𝑦) = (𝑁‘(𝑋‘𝑥)))
20	11, 12, 18, 19	fmptco 7131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑁‘(𝑋‘𝑥))))
21	4, 5, 11, 20, 12	offval2 7714	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋) ∘f (+g‘𝑅)𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋‘𝑥))(+g‘𝑅)(𝑋‘𝑥))))
22		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
23		psrlinv.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
24		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	6, 24, 14, 1, 13, 8, 9	psrnegcl 22268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)
26	6, 8, 22, 23, 25, 9	psradd 22252	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋) + 𝑋) = ((𝑁 ∘ 𝑋) ∘f (+g‘𝑅)𝑋))
27		fconstmpt 5712	. . 3 ⊢ (𝐷 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0 )
28		psrlinv.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	7, 22, 28, 13	grplinv 19206	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘(𝑋‘𝑥))(+g‘𝑅)(𝑋‘𝑥)) = 0 )
30	14, 11, 29	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑁‘(𝑋‘𝑥))(+g‘𝑅)(𝑋‘𝑥)) = 0 )
31	30	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋‘𝑥))(+g‘𝑅)(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
32	27, 31	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋‘𝑥))(+g‘𝑅)(𝑋‘𝑥))))
33	21, 26, 32	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  Grpcgrp 19150  inv_gcminusg 19151   mPwSer cmps 22218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-tset 17453  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-psr 22223

This theorem is used by:  psrneg  22272