MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlinv 21905
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
psrlinv.o 0 = (0g𝑅)
psrlinv.p + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrlinv (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 ovex 7459 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 5340 . . . 4 𝐷 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 fvexd 6917 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
6 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
9 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
106, 7, 1, 8, 9psrelbas 21886 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1110ffvelcdmda 7099 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1210feqmptd 6972 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑋𝑥)))
13 psrnegcl.i . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
14 psrgrp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
157, 13, 14grpinvf1o 18972 . . . . . 6 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
16 f1of 6844 . . . . . 6 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1817feqmptd 6972 . . . 4 (𝜑𝑁 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑁𝑦)))
19 fveq2 6902 . . . 4 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑋𝑥)))
2011, 12, 18, 19fmptco 7144 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
214, 5, 11, 20, 12offval2 7711 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∘f (+g𝑅)𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
22 eqid 2728 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
23 psrlinv.p . . 3 + = (+g𝑆)
24 psrgrp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
256, 24, 14, 1, 13, 8, 9psrnegcl 21904 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
266, 8, 22, 23, 25, 9psradd 21889 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = ((𝑁𝑋) ∘f (+g𝑅)𝑋))
27 fconstmpt 5744 . . 3 (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷0 )
28 psrlinv.o . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
297, 22, 28, 13grplinv 18953 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
3014, 11, 29syl2an2r 683 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
3130mpteq2dva 5252 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐷0 ))
3227, 31eqtr4id 2787 . 2 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
3321, 26, 323eqtr4d 2778 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473  {csn 4632  cmpt 5235   × cxp 5680  ccnv 5681  cima 5685  ccom 5686  wf 6549  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  f cof 7689  m cmap 8851  Fincfn 8970  cn 12250  0cn0 12510  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898   mPwSer cmps 21844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-tset 17259  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-psr 21849
This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  21907  psrneg  21909
  Copyright terms: Public domain W3C validator