MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvf 18867
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvf (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2733 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2733 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
41, 2, 3grpinveu 18855 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
5 riotacl 7378 . . 3 (∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
64, 5syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
7 grpinvcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
81, 2, 3, 7grpinvfval 18859 . 2 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
96, 8fmptd 7109 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ∃!wreu 3375  wf 6536  cfv 6540  crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819
This theorem is referenced by:  grpinvcl  18868  isgrpinv  18874  grpinvcnv  18887  grpinvf1o  18889  grp1inv  18927  pwsinvg  18932  pwssub  18933  oppginv  19219  invoppggim  19220  symgtrinv  19333  invghm  19693  gsumzinv  19805  dprdfinv  19881  grpvlinv  21879  grpvrinv  21880  mdetralt  22092  istgp2  23577  subgtgp  23591  symgtgp  23592  tgpconncomp  23599  prdstgpd  23611  tsmssub  23635  tsmsxplem1  23639  tlmtgp  23682  nrginvrcn  24191
  Copyright terms: Public domain W3C validator