Theorem grpinvf 19116

Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem grpinvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	grpinveu 19104	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
5		riotacl 7391	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
7		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 7	grpinvfval 19108	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
9	6, 8	fmptd 7111	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3365  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℩crio 7373  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067

This theorem is used by:  grpinvcl  19117  isgrpinv  19123  grpinvcnv  19136  grpinvf1o  19138  grp1inv  19177  pwsinvg  19182  pwssub  19183  oppginv  19492  invoppggim  19493  symgtrinv  19605  invghm  19966  gsumzinv  20078  dprdfinv  20154  grpvlinv  22626  grpvrinv  22627  mdetralt  22836  istgp2  24323  subgtgp  24337  symgtgp  24338  tgpconncomp  24345  prdstgpd  24357  tsmssub  24381  tsmsxplem1  24385  tlmtgp  24428  nrginvrcn  24924  gsummulsubdishift2  33517