MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvf 17673
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvf (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2771 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2771 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
41, 2, 3grpinveu 17663 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
5 riotacl 6767 . . 3 (∃!𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
64, 5syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) ∈ 𝐵)
7 grpinvcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
81, 2, 3, 7grpinvfval 17667 . 2 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)))
96, 8fmptd 6527 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ∃!wreu 3063  wf 6027  cfv 6031  crio 6752  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  invgcminusg 17630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633
This theorem is referenced by:  grpinvcl  17674  isgrpinv  17679  grpinvcnv  17690  grpinvf1o  17692  grp1inv  17730  pwsinvg  17735  pwssub  17736  oppginv  17995  invoppggim  17996  symgtrinv  18098  invghm  18445  gsumzinv  18551  dprdfinv  18625  grpvlinv  20417  grpvrinv  20418  mdetralt  20631  istgp2  22114  symgtgp  22124  subgtgp  22128  tgpconncomp  22135  prdstgpd  22147  tsmssub  22171  tsmsxplem1  22175  tlmtgp  22218  nrginvrcn  22715
  Copyright terms: Public domain W3C validator