Theorem grpinvf 19226

Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem grpinvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	grpinveu 19214	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
5		riotacl 7417	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
7		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 7	grpinvfval 19218	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
9	6, 8	fmptd 7138	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃!wreu 3367  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  ℩crio 7399  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  inv_gcminusg 19174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177

This theorem is used by:  grpinvcl  19227  isgrpinv  19233  grpinvcnv  19246  grpinvf1o  19248  grp1inv  19287  pwsinvg  19292  pwssub  19293  oppginv  19603  invoppggim  19604  symgtrinv  19716  invghm  20077  gsumzinv  20189  dprdfinv  20265  grpvlinv  22743  grpvrinv  22744  mdetralt  22953  istgp2  24440  subgtgp  24454  symgtgp  24455  tgpconncomp  24462  prdstgpd  24474  tsmssub  24498  tsmsxplem1  24502  tlmtgp  24545  nrginvrcn  25041  gsummulsubdishift2  33700