Theorem grpinvf 18905

Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem grpinvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	grpinveu 18893	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
5		riotacl 7326	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
7		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 7	grpinvfval 18897	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
9	6, 8	fmptd 7053	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3344  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  ℩crio 7308  (class class class)co 7352  Basecbs 17126  +_gcplusg 17167  0_gc0g 17349  Grpcgrp 18852  inv_gcminusg 18853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856

This theorem is referenced by:  grpinvcl  18906  isgrpinv  18912  grpinvcnv  18925  grpinvf1o  18928  grp1inv  18967  pwsinvg  18972  pwssub  18973  oppginv  19277  invoppggim  19278  symgtrinv  19390  invghm  19751  gsumzinv  19863  dprdfinv  19939  grpvlinv  22319  grpvrinv  22320  mdetralt  22529  istgp2  24012  subgtgp  24026  symgtgp  24027  tgpconncomp  24034  prdstgpd  24046  tsmssub  24070  tsmsxplem1  24074  tlmtgp  24117  nrginvrcn  24613