Theorem grpinvf 18916

Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem grpinvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	grpinveu 18904	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
5		riotacl 7332	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
7		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 7	grpinvfval 18908	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
9	6, 8	fmptd 7059	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!wreu 3348  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867

This theorem is referenced by:  grpinvcl  18917  isgrpinv  18923  grpinvcnv  18936  grpinvf1o  18939  grp1inv  18978  pwsinvg  18983  pwssub  18984  oppginv  19288  invoppggim  19289  symgtrinv  19401  invghm  19762  gsumzinv  19874  dprdfinv  19950  grpvlinv  22342  grpvrinv  22343  mdetralt  22552  istgp2  24035  subgtgp  24049  symgtgp  24050  tgpconncomp  24057  prdstgpd  24069  tsmssub  24093  tsmsxplem1  24097  tlmtgp  24140  nrginvrcn  24636  gsummulsubdishift2  33152