Theorem grpinvf 19177

Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvf	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem grpinvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	grpinveu 19165	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
5		riotacl 7386	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) ∈ 𝐵)
7		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 7	grpinvfval 19169	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
9	6, 8	fmptd 7106	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3364  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  inv_gcminusg 19125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128

This theorem is used by:  grpinvcl  19178  isgrpinv  19184  grpinvcnv  19197  grpinvf1o  19199  grp1inv  19238  pwsinvg  19243  pwssub  19244  oppginv  19553  invoppggim  19554  symgtrinv  19666  invghm  20027  gsumzinv  20139  dprdfinv  20215  grpvlinv  22693  grpvrinv  22694  mdetralt  22903  istgp2  24390  subgtgp  24404  symgtgp  24405  tgpconncomp  24412  prdstgpd  24424  tsmssub  24448  tsmsxplem1  24452  tlmtgp  24495  nrginvrcn  24991  gsummulsubdishift2  33612