Theorem invoppggim 19583

Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
invoppggim.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
invoppggim.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invoppggim	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Proof of Theorem invoppggim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		invoppggim.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2, 1	oppgbas 19574	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
6		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
7	2	oppggrp 19580	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
8		invoppggim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
9	1, 8	grpinvf 19206	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
10	1, 4, 8	grpinvadd 19237	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
11	10	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
12	4, 2, 5	oppgplus 19572	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥))
13	11, 12	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)))
14	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13	isghmd 19448	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂))
15	1, 8, 6	grpinvf1o 19228	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
16	1, 3	isgim 19485	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂) ↔ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂) ∧ 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  Grpcgrp 19153  inv_gcminusg 19154   GrpHom cghm 19436   GrpIso cgim 19480  opp_gcoppg 19568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8250  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-ghm 19437  df-gim 19482  df-oppg 19569

This theorem is used by:  oppggic  19584  symgtrinv  19695  gsumzinv  20168