Theorem invoppggim 19301

Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
invoppggim.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
invoppggim.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invoppggim	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Proof of Theorem invoppggim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		invoppggim.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2, 1	oppgbas 19292	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
7	2	oppggrp 19298	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
8		invoppggim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
9	1, 8	grpinvf 18928	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
10	1, 4, 8	grpinvadd 18960	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
11	10	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
12	4, 2, 5	oppgplus 19290	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥))
13	11, 12	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)))
14	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13	isghmd 19166	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂))
15	1, 8, 6	grpinvf1o 18951	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
16	1, 3	isgim 19203	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂) ↔ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂) ∧ 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876   GrpHom cghm 19153   GrpIso cgim 19198  opp_gcoppg 19286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-oppg 19287

This theorem is referenced by:  oppggic  19302  symgtrinv  19413  gsumzinv  19886