Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invoppggim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invoppggim 18488
 Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
invoppggim.o 𝑂 = (oppg𝐺)
invoppggim.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
invoppggim (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Proof of Theorem invoppggim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 invoppggim.o . . . 4 𝑂 = (oppg𝐺)
32, 1oppgbas 18479 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2824 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2824 . . 3 (+g𝑂) = (+g𝑂)
6 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
72oppggrp 18485 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
8 invoppggim.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
91, 8grpinvf 18150 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
101, 4, 8grpinvadd 18177 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥)))
11103expb 1117 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥)))
124, 2, 5oppgplus 18477 . . . 4 ((𝐼𝑥)(+g𝑂)(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥))
1311, 12syl6eqr 2877 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑥)(+g𝑂)(𝐼𝑦)))
141, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13isghmd 18367 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂))
151, 8, 6grpinvf1o 18169 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
161, 3isgim 18402 . 2 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂) ↔ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂) ∧ 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺)))
1714, 15, 16sylanbrc 586 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  –1-1-onto→wf1o 6342  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104   GrpHom cghm 18355   GrpIso cgim 18397  oppgcoppg 18473 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-oppg 18474 This theorem is referenced by:  oppggic  18489  symgtrinv  18600  gsumzinv  19065
 Copyright terms: Public domain W3C validator