MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invoppggim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invoppggim 18784
Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
invoppggim.o 𝑂 = (oppg𝐺)
invoppggim.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
invoppggim (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Proof of Theorem invoppggim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2739 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 invoppggim.o . . . 4 𝑂 = (oppg𝐺)
32, 1oppgbas 18775 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2739 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2739 . . 3 (+g𝑂) = (+g𝑂)
6 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
72oppggrp 18781 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
8 invoppggim.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
91, 8grpinvf 18446 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
101, 4, 8grpinvadd 18473 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥)))
11103expb 1122 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥)))
124, 2, 5oppgplus 18773 . . . 4 ((𝐼𝑥)(+g𝑂)(𝐼𝑦)) = ((𝐼𝑦)(+g𝐺)(𝐼𝑥))
1311, 12eqtr4di 2798 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝐼𝑥)(+g𝑂)(𝐼𝑦)))
141, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13isghmd 18663 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂))
151, 8, 6grpinvf1o 18465 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
161, 3isgim 18698 . 2 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂) ↔ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂) ∧ 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺)))
1714, 15, 16sylanbrc 586 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  1-1-ontowf1o 6399  cfv 6400  (class class class)co 7234  Basecbs 16792  +gcplusg 16834  Grpcgrp 18397  invgcminusg 18398   GrpHom cghm 18651   GrpIso cgim 18693  oppgcoppg 18769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-tpos 7991  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-nn 11860  df-2 11922  df-sets 16749  df-slot 16767  df-ndx 16777  df-base 16793  df-plusg 16847  df-0g 16978  df-mgm 18146  df-sgrp 18195  df-mnd 18206  df-grp 18400  df-minusg 18401  df-ghm 18652  df-gim 18695  df-oppg 18770
This theorem is referenced by:  oppggic  18785  symgtrinv  18896  gsumzinv  19362
  Copyright terms: Public domain W3C validator