Theorem invoppggim 19289

Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
invoppggim.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
invoppggim.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invoppggim	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Proof of Theorem invoppggim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		invoppggim.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2, 1	oppgbas 19280	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
7	2	oppggrp 19286	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
8		invoppggim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
9	1, 8	grpinvf 18916	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
10	1, 4, 8	grpinvadd 18948	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
11	10	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
12	4, 2, 5	oppgplus 19278	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥))
13	11, 12	eqtr4di 2789	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)))
14	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13	isghmd 19154	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂))
15	1, 8, 6	grpinvf1o 18939	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
16	1, 3	isgim 19191	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂) ↔ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂) ∧ 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864   GrpHom cghm 19141   GrpIso cgim 19186  opp_gcoppg 19274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-oppg 19275

This theorem is referenced by:  oppggic  19290  symgtrinv  19401  gsumzinv  19874