Theorem invoppggim 19269

Description: The inverse is an antiautomorphism on any group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
invoppggim.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
invoppggim.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
invoppggim	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Proof of Theorem invoppggim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		invoppggim.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2, 1	oppgbas 19258	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
7	2	oppggrp 19266	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
8		invoppggim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
9	1, 8	grpinvf 18908	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
10	1, 4, 8	grpinvadd 18938	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
11	10	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥)))
12	4, 2, 5	oppgplus 19255	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)) = ((𝐼‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑥))
13	11, 12	eqtr4di 2789	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐼‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐼‘𝑥)(+g‘𝑂)(𝐼‘𝑦)))
14	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13	isghmd 19140	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂))
15	1, 8, 6	grpinvf1o 18930	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
16	1, 3	isgim 19177	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂) ↔ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝑂) ∧ 𝐼:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857   GrpHom cghm 19128   GrpIso cgim 19172  opp_gcoppg 19251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-oppg 19252

This theorem is referenced by:  oppggic  19270  symgtrinv  19382  gsumzinv  19855