MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrnegcl 21992
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrnegcl (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 psrnegcl.i . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
3 psrgrp.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
41, 2, 3grpinvf1o 19040 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5 f1of 6849 . . . . 5 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 1, 8, 9, 10psrelbas 21972 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12 fco 6761 . . . 4 ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
136, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14 fvex 6920 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
15 ovex 7464 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
168, 15rabex2 5347 . . . 4 𝐷 ∈ V
1714, 16elmap 8910 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1813, 17sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
19 psrgrp.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
207, 1, 8, 9, 19psrbas 21971 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
2118, 20eleqtrrd 2842 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  ccnv 5688  cima 5692  ccom 5693  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965   mPwSer cmps 21942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-psr 21947
This theorem is referenced by:  psrlinv  21993  psrgrpOLD  21995  psrneg  21997
  Copyright terms: Public domain W3C validator