MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrnegcl 21913
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrnegcl (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 psrnegcl.i . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
3 psrgrp.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
41, 2, 3grpinvf1o 18979 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5 f1of 6844 . . . . 5 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 1, 8, 9, 10psrelbas 21893 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12 fco 6752 . . . 4 ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
136, 11, 12syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14 fvex 6915 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
15 ovex 7459 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
168, 15rabex2 5340 . . . 4 𝐷 ∈ V
1714, 16elmap 8898 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1813, 17sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
19 psrgrp.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
207, 1, 8, 9, 19psrbas 21892 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
2118, 20eleqtrrd 2832 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3430  ccnv 5681  cima 5685  ccom 5686  wf 6549  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8853  Fincfn 8972  cn 12252  0cn0 12512  Basecbs 17189  Grpcgrp 18904  invgcminusg 18905   mPwSer cmps 21851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-tset 17261  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-psr 21856
This theorem is referenced by:  psrlinv  21914  psrgrpOLD  21916  psrneg  21918
  Copyright terms: Public domain W3C validator