Theorem psrnegcl 22201

Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrnegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrnegcl	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		psrnegcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
3		psrgrp.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 2, 3	grpinvf1o 19158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5		f1of 6820	. . . . 5 ⊢ (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7		psrgrp.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		psrnegcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psrnegcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psrnegcl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 1, 8, 9, 10	psrelbas 22182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12		fco 6730	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
13	6, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
15		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	8, 15	rabex2 5305	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	14, 16	elmap 8885	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑁 ∘ 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
18	13, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
19		psrgrp.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20	7, 1, 8, 9, 19	psrbas 22181	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
21	18, 20	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6531  –1-1-onto→wf1o 6534  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8959  ℕcn 12282  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17326  Grpcgrp 19083  inv_gcminusg 19084   mPwSer cmps 22151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-tset 17386  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-psr 22156

This theorem is used by:  psrlinv  22202  psrneg  22205