MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrnegcl 19804
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrnegcl (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 psrnegcl.i . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
3 psrgrp.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
41, 2, 3grpinvf1o 17883 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5 f1of 6393 . . . . 5 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 1, 8, 9, 10psrelbas 19787 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12 fco 6310 . . . 4 ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
136, 11, 12syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14 fvex 6461 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
15 ovex 6956 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
168, 15rabex2 5053 . . . 4 𝐷 ∈ V
1714, 16elmap 8171 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1813, 17sylibr 226 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
19 psrgrp.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
207, 1, 8, 9, 19psrbas 19786 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
2118, 20eleqtrrd 2862 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  ccnv 5356  cima 5360  ccom 5361  wf 6133  1-1-ontowf1o 6136  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243  cn 11379  0cn0 11647  Basecbs 16266  Grpcgrp 17820  invgcminusg 17821   mPwSer cmps 19759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-tset 16368  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-psr 19764
This theorem is referenced by:  psrlinv  19805  psrgrp  19806  psrneg  19808
  Copyright terms: Public domain W3C validator