Theorem hmphen 23698

Description: Homeomorphisms preserve the cardinality of the topologies. (Contributed by FL, 1-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphen	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐽 ≈ 𝐾)

Proof of Theorem hmphen

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23689	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		hmeocn 23673	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23153	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
6		cntop2 23154	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥))
9	8	hmeoimaf1o 23683	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐽–1-1-onto→𝐾)
10		f1oen2g 8891	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐽–1-1-onto→𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
12	11	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
13	2, 12	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → 𝐽 ≈ 𝐾)
14	1, 13	sylbi 217	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐽 ≈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4283   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172   “ cima 5619  –1-1-onto→wf1o 6480  (class class class)co 7346   ≈ cen 8866  Topctop 22806   Cn ccn 23137  Homeochmeo 23666   ≃ chmph 23667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-map 8752  df-en 8870  df-top 22807  df-topon 22824  df-cn 23140  df-hmeo 23668  df-hmph 23669

This theorem is referenced by:  hmph0  23708  hmphindis  23710