Theorem hmphen 23750

Description: Homeomorphisms preserve the cardinality of the topologies. (Contributed by FL, 1-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphen	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐽 ≈ 𝐾)

Proof of Theorem hmphen

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23741	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4293	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		hmeocn 23725	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23205	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
6		cntop2 23206	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥))
9	8	hmeoimaf1o 23735	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐽–1-1-onto→𝐾)
10		f1oen2g 8915	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐽–1-1-onto→𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
12	11	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
13	2, 12	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → 𝐽 ≈ 𝐾)
14	1, 13	sylbi 217	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐽 ≈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   “ cima 5634  –1-1-onto→wf1o 6497  (class class class)co 7367   ≈ cen 8890  Topctop 22858   Cn ccn 23189  Homeochmeo 23718   ≃ chmph 23719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-map 8775  df-en 8894  df-top 22859  df-topon 22876  df-cn 23192  df-hmeo 23720  df-hmph 23721

This theorem is referenced by:  hmph0  23760  hmphindis  23762