MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmphen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmphen 23809
Description: Homeomorphisms preserve the cardinality of the topologies. (Contributed by FL, 1-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmphen (𝐽𝐾𝐽𝐾)

Proof of Theorem hmphen
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 23800 . 2 (𝐽𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2 n0 4359 . . 3 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3 hmeocn 23784 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cntop1 23264 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
6 cntop2 23265 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
73, 6syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐽 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐽 ↦ (𝑓𝑥))
98hmeoimaf1o 23794 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑓𝑥)):𝐽1-1-onto𝐾)
10 f1oen2g 9008 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (𝑥𝐽 ↦ (𝑓𝑥)):𝐽1-1-onto𝐾) → 𝐽𝐾)
115, 7, 9, 10syl3anc 1370 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽𝐾)
1211exlimiv 1928 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽𝐾)
132, 12sylbi 217 . 2 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → 𝐽𝐾)
141, 13sylbi 217 1 (𝐽𝐾𝐽𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  c0 4339   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cima 5692  1-1-ontowf1o 6562  (class class class)co 7431  cen 8981  Topctop 22915   Cn ccn 23248  Homeochmeo 23777  chmph 23778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-en 8985  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251  df-hmeo 23779  df-hmph 23780
This theorem is referenced by:  hmph0  23819  hmphindis  23821
  Copyright terms: Public domain W3C validator