Theorem hmphen 23741

Description: Homeomorphisms preserve the cardinality of the topologies. (Contributed by FL, 1-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphen	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐽 ≈ 𝐾)

Proof of Theorem hmphen

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23732	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		hmeocn 23716	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23196	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
6		cntop2 23197	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥))
9	8	hmeoimaf1o 23726	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐽–1-1-onto→𝐾)
10		f1oen2g 8917	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐽–1-1-onto→𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
12	11	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐽 ≈ 𝐾)
13	2, 12	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → 𝐽 ≈ 𝐾)
14	1, 13	sylbi 217	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → 𝐽 ≈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   “ cima 5635  –1-1-onto→wf1o 6499  (class class class)co 7368   ≈ cen 8892  Topctop 22849   Cn ccn 23180  Homeochmeo 23709   ≃ chmph 23710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-map 8777  df-en 8896  df-top 22850  df-topon 22867  df-cn 23183  df-hmeo 23711  df-hmph 23712

This theorem is referenced by:  hmph0  23751  hmphindis  23753