MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arwass 18024
Description: Associativity of composition in a category using arrow notation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwlid.h ๐ป = (Homaโ€˜๐ถ)
arwlid.o ยท = (compaโ€˜๐ถ)
arwlid.a 1 = (Idaโ€˜๐ถ)
arwlid.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
arwass.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘))
arwass.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘๐ป๐‘Š))
Assertion
Ref Expression
arwass (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐บ) ยท ๐น) = (๐พ ยท (๐บ ยท ๐น)))

Proof of Theorem arwass
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ถ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜๐ถ)
3 eqid 2733 . . . . 5 (compโ€˜๐ถ) = (compโ€˜๐ถ)
4 arwlid.f . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
5 arwlid.h . . . . . . 7 ๐ป = (Homaโ€˜๐ถ)
65homarcl 17978 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
85, 1homarcl2 17985 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
109simpld 496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
119simprd 497 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
12 arwass.k . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘๐ป๐‘Š))
135, 1homarcl2 17985 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (๐‘๐ป๐‘Š) โ†’ (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘Š โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘Š โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
1514simpld 496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
165, 2homahom 17989 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†’ (2nd โ€˜๐น) โˆˆ (๐‘‹(Hom โ€˜๐ถ)๐‘Œ))
174, 16syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜๐น) โˆˆ (๐‘‹(Hom โ€˜๐ถ)๐‘Œ))
18 arwass.g . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘))
195, 2homahom 17989 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘) โ†’ (2nd โ€˜๐บ) โˆˆ (๐‘Œ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜๐บ) โˆˆ (๐‘Œ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘))
2114simprd 497 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
225, 2homahom 17989 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (๐‘๐ป๐‘Š) โ†’ (2nd โ€˜๐พ) โˆˆ (๐‘(Hom โ€˜๐ถ)๐‘Š))
2312, 22syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜๐พ) โˆˆ (๐‘(Hom โ€˜๐ถ)๐‘Š))
241, 2, 3, 7, 10, 11, 15, 17, 20, 21, 23catass 17630 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘Œ, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐บ))(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐น)) = ((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘)(2nd โ€˜๐น))))
25 arwlid.o . . . . . 6 ยท = (compaโ€˜๐ถ)
2625, 5, 18, 12, 3coa2 18019 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜(๐พ ยท ๐บ)) = ((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘Œ, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐บ)))
2726oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2nd โ€˜(๐พ ยท ๐บ))(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐น)) = (((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘Œ, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐บ))(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐น)))
2825, 5, 4, 18, 3coa2 18019 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜(๐บ ยท ๐น)) = ((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘)(2nd โ€˜๐น)))
2928oveq2d 7425 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜(๐บ ยท ๐น))) = ((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)((2nd โ€˜๐บ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘)(2nd โ€˜๐น))))
3024, 27, 293eqtr4d 2783 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2nd โ€˜(๐พ ยท ๐บ))(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐น)) = ((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜(๐บ ยท ๐น))))
3130oteq3d 4888 . 2 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘‹, ๐‘Š, ((2nd โ€˜(๐พ ยท ๐บ))(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐น))โŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘Š, ((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜(๐บ ยท ๐น)))โŸฉ)
3225, 5, 18, 12coahom 18020 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐บ) โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Š))
3325, 5, 4, 32, 3coaval 18018 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐บ) ยท ๐น) = โŸจ๐‘‹, ๐‘Š, ((2nd โ€˜(๐พ ยท ๐บ))(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
3425, 5, 4, 18coahom 18020 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ยท ๐น) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘))
3525, 5, 34, 12, 3coaval 18018 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (๐บ ยท ๐น)) = โŸจ๐‘‹, ๐‘Š, ((2nd โ€˜๐พ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘โŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘Š)(2nd โ€˜(๐บ ยท ๐น)))โŸฉ)
3631, 33, 353eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐บ) ยท ๐น) = (๐พ ยท (๐บ ยท ๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4635  โŸจcotp 4637  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2nd c2nd 7974  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Homachoma 17973  Idacida 18003  compaccoa 18004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-cat 17612  df-doma 17974  df-coda 17975  df-homa 17976  df-arw 17977  df-coa 18006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator