Theorem i1f1lem 26043

Description: Lemma for i1f1 26044 and itg11 26045. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
i1f1lem	⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1lem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elpr01 11334	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
2		0elpr01 11331	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
3	1, 2	ifcli 4533	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
4	3	rgenw 3084	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
5		i1f1.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
6	5	fmpt 7137	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1} ↔ 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
7	4, 6	mpbi 233	. 2 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
8	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
9	8, 5	fmptd 7141	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
10		ffn 6734	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
11		elpreima 7083	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ {1})))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ {1})))
13		fvex 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {1} ↔ (𝐹‘𝑦) = 1)
15		eleq1w 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
16	15	ifbid 4509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
17		1ex 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
18		c0ex 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
19	17, 18	ifex 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
20	16, 5, 19	fvmpt 7019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
21	20	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦) = 1 ↔ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1))
22		0ne1 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
23		iffalse 4494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
24	23	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 = 1))
25	24	necon3bbid 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 ≠ 1))
26	22, 25	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
27	26	con4i 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 → 𝑦 ∈ 𝐴)
28		iftrue 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
29	27, 28	impbii 212	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)
30	21, 29	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦) = 1 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
31	14, 30	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦) ∈ {1} ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
32	31	pm5.32i 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
33	12, 32	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
34		mblss 25885	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	34	sseld 3912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
36	35	pm4.71rd 572	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
37	33, 36	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
38	37	eqrdv 2761	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
39	7, 38	pm3.2i 476	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656   “ cima 5659   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231  volcvol 25817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-ovol 25818  df-vol 25819

This theorem is used by:  i1f1  26044  itg11  26045