Theorem i1f1lem 24441

Description: Lemma for i1f1 24442 and itg11 24443. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1f1.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
i1f1lem	⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1lem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 10715	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
2	1	prid2 4654	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
3		c0ex 10713	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
4	3	prid1 4653	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
5	2, 4	ifcli 4461	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
6	5	rgenw 3065	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
7		i1f1.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
8	7	fmpt 6884	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1} ↔ 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
9	6, 8	mpbi 233	. 2 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
10	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
11	10, 7	fmptd 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
12		ffn 6504	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
13		elpreima 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ {1})))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ {1})))
15		fvex 6687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
16	15	elsn 4531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {1} ↔ (𝐹‘𝑦) = 1)
17		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	ifbid 4437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
19	1, 3	ifex 4464	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
20	18, 7, 19	fvmpt 6775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0))
21	20	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦) = 1 ↔ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1))
22		0ne1 11787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
23		iffalse 4423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
24	23	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 = 1))
25	24	necon3bbid 2971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 ≠ 1))
26	22, 25	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
27	26	con4i 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 → 𝑦 ∈ 𝐴)
28		iftrue 4420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
29	27, 28	impbii 212	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑦 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)
30	21, 29	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦) = 1 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
31	16, 30	syl5bb 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑦) ∈ {1} ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
32	31	pm5.32i 578	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
33	14, 32	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
34		mblss 24283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
35	34	sseld 3876	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
36	35	pm4.71rd 566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
37	33, 36	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ {1}) ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
38	37	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴)
39	9, 38	pm3.2i 474	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {1}) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ifcif 4414  {csn 4516  {cpr 4518   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5524  dom cdm 5525   “ cima 5528   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  ℝcr 10614  0cc0 10615  1c1 10616  volcvol 24215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-ovol 24216  df-vol 24217

This theorem is referenced by:  i1f1  24442  itg11  24443