MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f1lem 25724
Description: Lemma for i1f1 25725 and itg11 25726. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
i1f1lem (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 11257 . . . . . 6 1 ∈ V
21prid2 4763 . . . . 5 1 ∈ {0, 1}
3 c0ex 11255 . . . . . 6 0 ∈ V
43prid1 4762 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
52, 4ifcli 4573 . . . 4 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
65rgenw 3065 . . 3 𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
7 i1f1.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
87fmpt 7130 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1} ↔ 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
96, 8mpbi 230 . 2 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
105a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
1110, 7fmptd 7134 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
12 ffn 6736 . . . . . 6 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
13 elpreima 7078 . . . . . 6 (𝐹 Fn ℝ → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ {1})))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ {1})))
15 fvex 6919 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ∈ V
1615elsn 4641 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ {1} ↔ (𝐹𝑦) = 1)
17 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817ifbid 4549 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
191, 3ifex 4576 . . . . . . . . . 10 if(𝑦𝐴, 1, 0) ∈ V
2018, 7, 19fvmpt 7016 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
2120eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦) = 1 ↔ if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1))
22 0ne1 12337 . . . . . . . . . . 11 0 ≠ 1
23 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 0)
2423eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐴 → (if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 = 1))
2524necon3bbid 2978 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝐴 → (¬ if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 ≠ 1))
2622, 25mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 𝑦𝐴 → ¬ if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
2726con4i 114 . . . . . . . . 9 (if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 → 𝑦𝐴)
28 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
2927, 28impbii 209 . . . . . . . 8 (if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑦𝐴)
3021, 29bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦) = 1 ↔ 𝑦𝐴))
3116, 30bitrid 283 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦) ∈ {1} ↔ 𝑦𝐴))
3231pm5.32i 574 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴))
3314, 32bitrdi 287 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
34 mblss 25566 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3534sseld 3982 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
3635pm4.71rd 562 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
3733, 36bitr4d 282 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ 𝑦𝐴))
3837eqrdv 2735 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
399, 38pm3.2i 470 1 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  volcvol 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-ovol 25499  df-vol 25500
This theorem is referenced by:  i1f1  25725  itg11  25726
  Copyright terms: Public domain W3C validator