Theorem ioogtlbd 45403

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioogtlbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioogtlbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioogtlbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ioogtlbd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioogtlbd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		ioogtlbd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		ioogtlbd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		ioogtlb 45348	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2103   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445  ℝ^*cxr 11319   < clt 11320  (,)cioo 13403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-ioo 13407

This theorem is referenced by:  fourierdlem60  46022  fourierdlem61  46023  pimrecltneg  46580  smfmullem1  46647