Theorem ioogtlb 44943

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	biimtrdi 252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  ℝcr 11137  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278  (,)cioo 13356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-ioo 13360

This theorem is referenced by:  iocopn  44968  iooshift  44970  iooiinicc  44990  ioogtlbd  44998  iooiinioc  45004  lptre2pt  45091  limcresiooub  45093  limcresioolb  45094  sinaover2ne0  45319  dvbdfbdioolem1  45379  ioodvbdlimc1lem2  45383  fourierdlem27  45585  fourierdlem28  45586  fourierdlem31  45589  fourierdlem33  45591  fourierdlem40  45598  fourierdlem41  45599  fourierdlem46  45603  fourierdlem47  45604  fourierdlem48  45605  fourierdlem49  45606  fourierdlem57  45614  fourierdlem59  45616  fourierdlem62  45619  fourierdlem64  45621  fourierdlem65  45622  fourierdlem68  45625  fourierdlem73  45630  fourierdlem76  45633  fourierdlem78  45635  fourierdlem84  45641  fourierdlem90  45647  fourierdlem92  45649  fourierdlem97  45654  fourierdlem103  45660  fourierdlem104  45661  fourierdlem111  45668  sqwvfoura  45679  sqwvfourb  45680  fourierswlem  45681  fouriersw  45682  etransclem23  45708  qndenserrnbllem  45745  ioorrnopnlem  45755  ioorrnopnxrlem  45757  hoiqssbllem1  46073  hoiqssbllem2  46074  iunhoiioolem  46126  pimiooltgt  46161  smfaddlem1  46214  smfmullem1  46242  smfmullem2  46243