Theorem ioogtlb 44874

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  ℝ^*cxr 11271   < clt 11272  (,)cioo 13350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-ioo 13354

This theorem is referenced by:  iocopn  44899  iooshift  44901  iooiinicc  44921  ioogtlbd  44929  iooiinioc  44935  lptre2pt  45022  limcresiooub  45024  limcresioolb  45025  sinaover2ne0  45250  dvbdfbdioolem1  45310  ioodvbdlimc1lem2  45314  fourierdlem27  45516  fourierdlem28  45517  fourierdlem31  45520  fourierdlem33  45522  fourierdlem40  45529  fourierdlem41  45530  fourierdlem46  45534  fourierdlem47  45535  fourierdlem48  45536  fourierdlem49  45537  fourierdlem57  45545  fourierdlem59  45547  fourierdlem62  45550  fourierdlem64  45552  fourierdlem65  45553  fourierdlem68  45556  fourierdlem73  45561  fourierdlem76  45564  fourierdlem78  45566  fourierdlem84  45572  fourierdlem90  45578  fourierdlem92  45580  fourierdlem97  45585  fourierdlem103  45591  fourierdlem104  45592  fourierdlem111  45599  sqwvfoura  45610  sqwvfourb  45611  fourierswlem  45612  fouriersw  45613  etransclem23  45639  qndenserrnbllem  45676  ioorrnopnlem  45686  ioorrnopnxrlem  45688  hoiqssbllem1  46004  hoiqssbllem2  46005  iunhoiioolem  46057  pimiooltgt  46092  smfaddlem1  46145  smfmullem1  46173  smfmullem2  46174