Theorem ioogtlb 45737

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13302	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  iocopn  45762  iooshift  45764  iooiinicc  45784  ioogtlbd  45792  iooiinioc  45798  lptre2pt  45880  limcresiooub  45882  limcresioolb  45883  sinaover2ne0  46108  dvbdfbdioolem1  46168  ioodvbdlimc1lem2  46172  fourierdlem27  46374  fourierdlem28  46375  fourierdlem31  46378  fourierdlem33  46380  fourierdlem40  46387  fourierdlem41  46388  fourierdlem46  46392  fourierdlem47  46393  fourierdlem48  46394  fourierdlem49  46395  fourierdlem57  46403  fourierdlem59  46405  fourierdlem62  46408  fourierdlem64  46410  fourierdlem65  46411  fourierdlem68  46414  fourierdlem73  46419  fourierdlem76  46422  fourierdlem78  46424  fourierdlem84  46430  fourierdlem90  46436  fourierdlem92  46438  fourierdlem97  46443  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierdlem111  46457  sqwvfoura  46468  sqwvfourb  46469  fourierswlem  46470  fouriersw  46471  etransclem23  46497  qndenserrnbllem  46534  ioorrnopnlem  46544  ioorrnopnxrlem  46546  hoiqssbllem1  46862  hoiqssbllem2  46863  iunhoiioolem  46915  smfaddlem1  47003  smfmullem1  47031  smfmullem2  47032