Theorem ioogtlb 44803

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270  (,)cioo 13348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13352

This theorem is referenced by:  iocopn  44828  iooshift  44830  iooiinicc  44850  ioogtlbd  44858  iooiinioc  44864  lptre2pt  44951  limcresiooub  44953  limcresioolb  44954  sinaover2ne0  45179  dvbdfbdioolem1  45239  ioodvbdlimc1lem2  45243  fourierdlem27  45445  fourierdlem28  45446  fourierdlem31  45449  fourierdlem33  45451  fourierdlem40  45458  fourierdlem41  45459  fourierdlem46  45463  fourierdlem47  45464  fourierdlem48  45465  fourierdlem49  45466  fourierdlem57  45474  fourierdlem59  45476  fourierdlem62  45479  fourierdlem64  45481  fourierdlem65  45482  fourierdlem68  45485  fourierdlem73  45490  fourierdlem76  45493  fourierdlem78  45495  fourierdlem84  45501  fourierdlem90  45507  fourierdlem92  45509  fourierdlem97  45514  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521  fourierdlem111  45528  sqwvfoura  45539  sqwvfourb  45540  fourierswlem  45541  fouriersw  45542  etransclem23  45568  qndenserrnbllem  45605  ioorrnopnlem  45615  ioorrnopnxrlem  45617  hoiqssbllem1  45933  hoiqssbllem2  45934  iunhoiioolem  45986  pimiooltgt  46021  smfaddlem1  46074  smfmullem1  46102  smfmullem2  46103