Theorem ioogtlb 42987

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993  (,)cioo 13061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-ioo 13065

This theorem is referenced by:  iocopn  43012  iooshift  43014  iooiinicc  43034  ioogtlbd  43042  iooiinioc  43048  lptre2pt  43135  limcresiooub  43137  limcresioolb  43138  sinaover2ne0  43363  dvbdfbdioolem1  43423  ioodvbdlimc1lem2  43427  fourierdlem27  43629  fourierdlem28  43630  fourierdlem31  43633  fourierdlem33  43635  fourierdlem40  43642  fourierdlem41  43643  fourierdlem46  43647  fourierdlem47  43648  fourierdlem48  43649  fourierdlem49  43650  fourierdlem57  43658  fourierdlem59  43660  fourierdlem62  43663  fourierdlem64  43665  fourierdlem65  43666  fourierdlem68  43669  fourierdlem73  43674  fourierdlem76  43677  fourierdlem78  43679  fourierdlem84  43685  fourierdlem90  43691  fourierdlem92  43693  fourierdlem97  43698  fourierdlem103  43704  fourierdlem104  43705  fourierdlem111  43712  sqwvfoura  43723  sqwvfourb  43724  fourierswlem  43725  fouriersw  43726  etransclem23  43752  qndenserrnbllem  43789  ioorrnopnlem  43799  ioorrnopnxrlem  43801  hoiqssbllem1  44114  hoiqssbllem2  44115  iunhoiioolem  44167  pimiooltgt  44199  smfaddlem1  44249  smfmullem1  44276  smfmullem2  44277