Theorem ioogtlb 45619

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153  (,)cioo 13247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-ioo 13251

This theorem is referenced by:  iocopn  45644  iooshift  45646  iooiinicc  45666  ioogtlbd  45674  iooiinioc  45680  lptre2pt  45762  limcresiooub  45764  limcresioolb  45765  sinaover2ne0  45990  dvbdfbdioolem1  46050  ioodvbdlimc1lem2  46054  fourierdlem27  46256  fourierdlem28  46257  fourierdlem31  46260  fourierdlem33  46262  fourierdlem40  46269  fourierdlem41  46270  fourierdlem46  46274  fourierdlem47  46275  fourierdlem48  46276  fourierdlem49  46277  fourierdlem57  46285  fourierdlem59  46287  fourierdlem62  46290  fourierdlem64  46292  fourierdlem65  46293  fourierdlem68  46296  fourierdlem73  46301  fourierdlem76  46304  fourierdlem78  46306  fourierdlem84  46312  fourierdlem90  46318  fourierdlem92  46320  fourierdlem97  46325  fourierdlem103  46331  fourierdlem104  46332  fourierdlem111  46339  sqwvfoura  46350  sqwvfourb  46351  fourierswlem  46352  fouriersw  46353  etransclem23  46379  qndenserrnbllem  46416  ioorrnopnlem  46426  ioorrnopnxrlem  46428  hoiqssbllem1  46744  hoiqssbllem2  46745  iunhoiioolem  46797  smfaddlem1  46885  smfmullem1  46913  smfmullem2  46914