Theorem ioogtlb 41235

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 12593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1118	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1098	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  ℝ^*cxr 10471   < clt 10472  (,)cioo 12552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-ioo 12556

This theorem is referenced by:  iocopn  41261  iooshift  41263  iooiinicc  41283  ioogtlbd  41291  iooiinioc  41297  lptre2pt  41386  limcresiooub  41388  limcresioolb  41389  sinaover2ne0  41613  dvbdfbdioolem1  41677  ioodvbdlimc1lem2  41681  fourierdlem27  41884  fourierdlem28  41885  fourierdlem31  41888  fourierdlem33  41890  fourierdlem40  41897  fourierdlem41  41898  fourierdlem46  41902  fourierdlem47  41903  fourierdlem48  41904  fourierdlem49  41905  fourierdlem57  41913  fourierdlem59  41915  fourierdlem60  41916  fourierdlem61  41917  fourierdlem62  41918  fourierdlem64  41920  fourierdlem65  41921  fourierdlem68  41924  fourierdlem73  41929  fourierdlem76  41932  fourierdlem78  41934  fourierdlem84  41940  fourierdlem90  41946  fourierdlem92  41948  fourierdlem97  41953  fourierdlem103  41959  fourierdlem104  41960  fourierdlem111  41967  sqwvfoura  41978  sqwvfourb  41979  fourierswlem  41980  fouriersw  41981  etransclem23  42007  qndenserrnbllem  42044  ioorrnopnlem  42054  ioorrnopnxrlem  42056  hoiqssbllem1  42369  hoiqssbllem2  42370  iunhoiioolem  42422  pimiooltgt  42454  smfaddlem1  42504  smfmullem1  42531  smfmullem2  42532