Theorem ioogtlb 46069

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  (,)cioo 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ioo 13367

This theorem is referenced by:  iocopn  46094  iooshift  46096  iooiinicc  46116  ioogtlbd  46124  iooiinioc  46130  lptre2pt  46212  limcresiooub  46214  limcresioolb  46215  sinaover2ne0  46440  dvbdfbdioolem1  46500  ioodvbdlimc1lem2  46504  fourierdlem27  46706  fourierdlem28  46707  fourierdlem31  46710  fourierdlem33  46712  fourierdlem40  46719  fourierdlem41  46720  fourierdlem46  46724  fourierdlem47  46725  fourierdlem57  46735  fourierdlem59  46737  fourierdlem62  46740  fourierdlem64  46742  fourierdlem65  46743  fourierdlem68  46746  fourierdlem73  46751  fourierdlem76  46754  fourierdlem78  46756  fourierdlem84  46762  fourierdlem90  46768  fourierdlem92  46770  fourierdlem97  46775  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  fourierdlem111  46789  sqwvfoura  46800  sqwvfourb  46801  fourierswlem  46802  fouriersw  46803  etransclem23  46829  qndenserrnbllem  46866  ioorrnopnlem  46876  ioorrnopnxrlem  46878  hoiqssbllem1  47194  hoiqssbllem2  47195  iunhoiioolem  47247  smfaddlem1  47335  smfmullem1  47363  smfmullem2  47364