Theorem ioogtlb 41759

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 12771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1111	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  ℝ^*cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12734

This theorem is referenced by:  iocopn  41785  iooshift  41787  iooiinicc  41807  ioogtlbd  41815  iooiinioc  41821  lptre2pt  41910  limcresiooub  41912  limcresioolb  41913  sinaover2ne0  42138  dvbdfbdioolem1  42202  ioodvbdlimc1lem2  42206  fourierdlem27  42409  fourierdlem28  42410  fourierdlem31  42413  fourierdlem33  42415  fourierdlem40  42422  fourierdlem41  42423  fourierdlem46  42427  fourierdlem47  42428  fourierdlem48  42429  fourierdlem49  42430  fourierdlem57  42438  fourierdlem59  42440  fourierdlem62  42443  fourierdlem64  42445  fourierdlem65  42446  fourierdlem68  42449  fourierdlem73  42454  fourierdlem76  42457  fourierdlem78  42459  fourierdlem84  42465  fourierdlem90  42471  fourierdlem92  42473  fourierdlem97  42478  fourierdlem103  42484  fourierdlem104  42485  fourierdlem111  42492  sqwvfoura  42503  sqwvfourb  42504  fourierswlem  42505  fouriersw  42506  etransclem23  42532  qndenserrnbllem  42569  ioorrnopnlem  42579  ioorrnopnxrlem  42581  hoiqssbllem1  42894  hoiqssbllem2  42895  iunhoiioolem  42947  pimiooltgt  42979  smfaddlem1  43029  smfmullem1  43056  smfmullem2  43057