Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioogtlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioogtlb 42119
Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioogtlb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb
StepHypRef Expression
1 elioo2 12771 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp2 1134 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
31, 2syl6bi 256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
433impia 1114 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  *cxr 10667   < clt 10668  (,)cioo 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-ioo 12734
This theorem is referenced by:  iocopn  42144  iooshift  42146  iooiinicc  42166  ioogtlbd  42174  iooiinioc  42180  lptre2pt  42269  limcresiooub  42271  limcresioolb  42272  sinaover2ne0  42497  dvbdfbdioolem1  42557  ioodvbdlimc1lem2  42561  fourierdlem27  42763  fourierdlem28  42764  fourierdlem31  42767  fourierdlem33  42769  fourierdlem40  42776  fourierdlem41  42777  fourierdlem46  42781  fourierdlem47  42782  fourierdlem48  42783  fourierdlem49  42784  fourierdlem57  42792  fourierdlem59  42794  fourierdlem62  42797  fourierdlem64  42799  fourierdlem65  42800  fourierdlem68  42803  fourierdlem73  42808  fourierdlem76  42811  fourierdlem78  42813  fourierdlem84  42819  fourierdlem90  42825  fourierdlem92  42827  fourierdlem97  42832  fourierdlem103  42838  fourierdlem104  42839  fourierdlem111  42846  sqwvfoura  42857  sqwvfourb  42858  fourierswlem  42859  fouriersw  42860  etransclem23  42886  qndenserrnbllem  42923  ioorrnopnlem  42933  ioorrnopnxrlem  42935  hoiqssbllem1  43248  hoiqssbllem2  43249  iunhoiioolem  43301  pimiooltgt  43333  smfaddlem1  43383  smfmullem1  43410  smfmullem2  43411
  Copyright terms: Public domain W3C validator