Theorem ioogtlb 45947

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	biimtrdi 254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177  (,)cioo 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-ioo 13300

This theorem is referenced by:  iocopn  45972  iooshift  45974  iooiinicc  45994  ioogtlbd  46002  iooiinioc  46008  lptre2pt  46090  limcresiooub  46092  limcresioolb  46093  sinaover2ne0  46318  dvbdfbdioolem1  46378  ioodvbdlimc1lem2  46382  fourierdlem27  46584  fourierdlem28  46585  fourierdlem31  46588  fourierdlem33  46590  fourierdlem40  46597  fourierdlem41  46598  fourierdlem46  46602  fourierdlem47  46603  fourierdlem48  46604  fourierdlem49  46605  fourierdlem57  46613  fourierdlem59  46615  fourierdlem62  46618  fourierdlem64  46620  fourierdlem65  46621  fourierdlem68  46624  fourierdlem73  46629  fourierdlem76  46632  fourierdlem78  46634  fourierdlem84  46640  fourierdlem90  46646  fourierdlem92  46648  fourierdlem97  46653  fourierdlem103  46659  fourierdlem104  46660  fourierdlem111  46667  sqwvfoura  46678  sqwvfourb  46679  fourierswlem  46680  fouriersw  46681  etransclem23  46707  qndenserrnbllem  46744  ioorrnopnlem  46754  ioorrnopnxrlem  46756  hoiqssbllem1  47072  hoiqssbllem2  47073  iunhoiioolem  47125  smfaddlem1  47213  smfmullem1  47241  smfmullem2  47242