Theorem ioogtlb 43004

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010  (,)cioo 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-ioo 13082

This theorem is referenced by:  iocopn  43029  iooshift  43031  iooiinicc  43051  ioogtlbd  43059  iooiinioc  43065  lptre2pt  43152  limcresiooub  43154  limcresioolb  43155  sinaover2ne0  43380  dvbdfbdioolem1  43440  ioodvbdlimc1lem2  43444  fourierdlem27  43646  fourierdlem28  43647  fourierdlem31  43650  fourierdlem33  43652  fourierdlem40  43659  fourierdlem41  43660  fourierdlem46  43664  fourierdlem47  43665  fourierdlem48  43666  fourierdlem49  43667  fourierdlem57  43675  fourierdlem59  43677  fourierdlem62  43680  fourierdlem64  43682  fourierdlem65  43683  fourierdlem68  43686  fourierdlem73  43691  fourierdlem76  43694  fourierdlem78  43696  fourierdlem84  43702  fourierdlem90  43708  fourierdlem92  43710  fourierdlem97  43715  fourierdlem103  43721  fourierdlem104  43722  fourierdlem111  43729  sqwvfoura  43740  sqwvfourb  43741  fourierswlem  43742  fouriersw  43743  etransclem23  43769  qndenserrnbllem  43806  ioorrnopnlem  43816  ioorrnopnxrlem  43818  hoiqssbllem1  44131  hoiqssbllem2  44132  iunhoiioolem  44184  pimiooltgt  44216  smfaddlem1  44266  smfmullem1  44293  smfmullem2  44294