Theorem ioogtlb 43853

Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioogtlb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 13315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198  (,)cioo 13274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-ioo 13278

This theorem is referenced by:  iocopn  43878  iooshift  43880  iooiinicc  43900  ioogtlbd  43908  iooiinioc  43914  lptre2pt  44001  limcresiooub  44003  limcresioolb  44004  sinaover2ne0  44229  dvbdfbdioolem1  44289  ioodvbdlimc1lem2  44293  fourierdlem27  44495  fourierdlem28  44496  fourierdlem31  44499  fourierdlem33  44501  fourierdlem40  44508  fourierdlem41  44509  fourierdlem46  44513  fourierdlem47  44514  fourierdlem48  44515  fourierdlem49  44516  fourierdlem57  44524  fourierdlem59  44526  fourierdlem62  44529  fourierdlem64  44531  fourierdlem65  44532  fourierdlem68  44535  fourierdlem73  44540  fourierdlem76  44543  fourierdlem78  44545  fourierdlem84  44551  fourierdlem90  44557  fourierdlem92  44559  fourierdlem97  44564  fourierdlem103  44570  fourierdlem104  44571  fourierdlem111  44578  sqwvfoura  44589  sqwvfourb  44590  fourierswlem  44591  fouriersw  44592  etransclem23  44618  qndenserrnbllem  44655  ioorrnopnlem  44665  ioorrnopnxrlem  44667  hoiqssbllem1  44983  hoiqssbllem2  44984  iunhoiioolem  45036  pimiooltgt  45071  smfaddlem1  45124  smfmullem1  45152  smfmullem2  45153