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Theorem smfmullem1 43362
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfmullem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem1.l (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
smfmullem1.x 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem1.y 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
smfmullem1.p (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
smfmullem1.r (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
smfmullem1.s (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
smfmullem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
smfmullem1.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅))
smfmullem1.i (𝜑𝐼 ∈ (𝑆(,)𝑍))
Assertion
Ref Expression
smfmullem1 (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) < 𝐴)

Proof of Theorem smfmullem1
StepHypRef Expression
1 smfmullem1.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅))
21elioored 42125 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
32recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
4 smfmullem1.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
54recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
6 smfmullem1.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (𝑆(,)𝑍))
76elioored 42125 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
87recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
9 smfmullem1.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
109recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
113, 5, 8, 10mulsubd 11088 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) = (((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))))
123, 5, 10subdird 11086 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · 𝑉) = ((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)))
135, 8, 10subdid 11085 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 · (𝐼𝑉)) = ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)))
1412, 13oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))))
153, 10mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻 · 𝑉) ∈ ℂ)
165, 8mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 𝐼) ∈ ℂ)
175, 10mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℂ)
1815, 16, 17, 17addsub4d 11033 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))))
1918eqcomd 2828 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
205, 8mulcomd 10651 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 𝐼) = (𝐼 · 𝑈))
2120oveq2d 7156 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) = ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)))
2221oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
2314, 19, 223eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
2411, 23oveq12d 7158 . . . 4 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) + (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉)))) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))))
253, 8mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) ∈ ℂ)
2610, 5mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉 · 𝑈) ∈ ℂ)
2725, 26addcld 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) ∈ ℂ)
288, 5mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 · 𝑈) ∈ ℂ)
2915, 28addcld 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) ∈ ℂ)
3027, 29npcand 10990 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)))
3110, 5mulcomd 10651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑉))
3231oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)))
3330, 32eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)))
3433eqcomd 2828 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))))
3534oveq1d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
3627, 29subcld 10986 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) ∈ ℂ)
3717, 17addcld 10649 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℂ)
3836, 29, 37addsubassd 11006 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))))
3935, 38eqtr2d 2858 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))) = (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
4025, 17, 17pnpcan2d 11024 . . . 4 (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)))
4124, 39, 403eqtrrd 2862 . . 3 (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) = (((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) + (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉)))))
422, 4jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))
43 resubcl 10939 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐻𝑈) ∈ ℝ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝑈) ∈ ℝ)
457, 9jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ))
46 resubcl 10939 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ) → (𝐼𝑉) ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ ℝ)
4844, 47jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝑈) ∈ ℝ ∧ (𝐼𝑉) ∈ ℝ))
49 remulcl 10611 . . . . . . 7 (((𝐻𝑈) ∈ ℝ ∧ (𝐼𝑉) ∈ ℝ) → ((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ)
5144, 9jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻𝑈) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ))
52 remulcl 10611 . . . . . . . . 9 (((𝐻𝑈) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ) → ((𝐻𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ)
544, 47jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐼𝑉) ∈ ℝ))
55 remulcl 10611 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐼𝑉) ∈ ℝ) → (𝑈 · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ)
5753, 56jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ))
58 readdcl 10609 . . . . . . 7 ((((𝐻𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ) → (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉))) ∈ ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉))) ∈ ℝ)
6050, 59jca 515 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ ∧ (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉))) ∈ ℝ))
61 readdcl 10609 . . . . 5 ((((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) ∈ ℝ ∧ (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉))) ∈ ℝ) → (((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) + (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉)))) ∈ ℝ)
6260, 61syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) + (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉)))) ∈ ℝ)
63 smfmullem1.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
65 1rp 12381 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
67 smfmullem1.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
69 smfmullem1.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
704, 9remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
71 smfmullem1.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
72 difrp 12415 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
7370, 71, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
7469, 73mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
75 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
765abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
7710abscld 14787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
7876, 77readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
7975, 78readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
80 0re 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8266rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
835absge0d 14795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
8410absge0d 14795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
8576, 77addge01d 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
8684, 85mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
8781, 76, 78, 83, 86letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
8875, 78addge01d 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8987, 88mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
9081, 75, 79, 82, 89ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
9179, 90elrpd 12416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
9274, 91rpdivcld 12436 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
9368, 92eqeltrd 2914 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
9466, 93ifcld 4484 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
9564, 94eqeltrd 2914 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
9695rpred 12419 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
97 resqcl 13486 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
9896, 97syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
9996, 77remulcld 10660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
10096, 76remulcld 10660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ)
10199, 100jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ))
102 readdcl 10609 . . . . . . 7 (((𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ) → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
103101, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
10498, 103jca 515 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ))
105 readdcl 10609 . . . . 5 (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ) → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
106104, 105syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
10771, 70resubcld 11057 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ)
10896resqcld 13607 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
10999, 100readdcld 10659 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
11011, 36eqeltrd 2914 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) ∈ ℂ)
111110abscld 14787 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉))) ∈ ℝ)
11296, 96remulcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 · 𝑌) ∈ ℝ)
11350leabsd 14765 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) ≤ (abs‘((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉))))
11444recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑈) ∈ ℂ)
11547recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ ℂ)
116114, 115absmuld 14805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉))) = ((abs‘(𝐻𝑈)) · (abs‘(𝐼𝑉))))
117114abscld 14787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐻𝑈)) ∈ ℝ)
118115abscld 14787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐼𝑉)) ∈ ℝ)
119114absge0d 14795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐻𝑈)))
1204, 96resubcld 11057 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ)
121 smfmullem1.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
122121elioored 42125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
123120rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ*)
1244rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
125 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈𝑌) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → (𝑈𝑌) < 𝑃)
126123, 124, 121, 125syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑌) < 𝑃)
127122rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℝ*)
128 smfmullem1.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
129128elioored 42125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
130129rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
131 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → 𝑃 < 𝐻)
132127, 130, 1, 131syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 < 𝐻)
133120, 122, 2, 126, 132lttrd 10790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝑌) < 𝐻)
1344, 96readdcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
135 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → 𝐻 < 𝑅)
136127, 130, 1, 135syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 < 𝑅)
137134rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
138 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝑅 < (𝑈 + 𝑌))
139124, 137, 128, 138syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 < (𝑈 + 𝑌))
1402, 129, 134, 136, 139lttrd 10790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 < (𝑈 + 𝑌))
141133, 140jca 515 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑈𝑌) < 𝐻𝐻 < (𝑈 + 𝑌)))
1422, 4, 96absdifltd 14784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐻𝑈)) < 𝑌 ↔ ((𝑈𝑌) < 𝐻𝐻 < (𝑈 + 𝑌))))
143141, 142mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐻𝑈)) < 𝑌)
144115absge0d 14795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐼𝑉)))
1459, 96resubcld 11057 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ)
146 smfmullem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
147146elioored 42125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
148145rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ*)
1499rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ ℝ*)
150148, 149, 146ioogtlbd 42126 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑉𝑌) < 𝑆)
151147rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
152 smfmullem1.z . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
153152elioored 42125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
154153rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
155151, 154, 6ioogtlbd 42126 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 < 𝐼)
156145, 147, 7, 150, 155lttrd 10790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑌) < 𝐼)
1579, 96readdcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
158151, 154, 6iooltubd 42120 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 < 𝑍)
159157rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
160149, 159, 152iooltubd 42120 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍 < (𝑉 + 𝑌))
1617, 153, 157, 158, 160lttrd 10790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 < (𝑉 + 𝑌))
162156, 161jca 515 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑉𝑌) < 𝐼𝐼 < (𝑉 + 𝑌)))
1637, 9, 96absdifltd 14784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐼𝑉)) < 𝑌 ↔ ((𝑉𝑌) < 𝐼𝐼 < (𝑉 + 𝑌))))
164162, 163mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐼𝑉)) < 𝑌)
165117, 96, 118, 96, 119, 143, 144, 164ltmul12ad 11570 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐻𝑈)) · (abs‘(𝐼𝑉))) < (𝑌 · 𝑌))
166116, 165eqbrtrd 5064 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉))) < (𝑌 · 𝑌))
16750, 111, 112, 113, 166lelttrd 10787 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) < (𝑌 · 𝑌))
16896recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
169168sqvald 13503 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌↑2) = (𝑌 · 𝑌))
170169eqcomd 2828 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 · 𝑌) = (𝑌↑2))
171167, 170breqtrd 5068 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) < (𝑌↑2))
17253recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · 𝑉) ∈ ℂ)
173172abscld 14787 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐻𝑈) · 𝑉)) ∈ ℝ)
17453leabsd 14765 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · 𝑉) ≤ (abs‘((𝐻𝑈) · 𝑉)))
175114, 10absmuld 14805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐻𝑈) · 𝑉)) = ((abs‘(𝐻𝑈)) · (abs‘𝑉)))
176117, 96, 143ltled 10777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐻𝑈)) ≤ 𝑌)
177117, 96, 77, 84, 176lemul1ad 11568 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐻𝑈)) · (abs‘𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
178175, 177eqbrtrd 5064 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((𝐻𝑈) · 𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
17953, 173, 99, 174, 178letrd 10786 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻𝑈) · 𝑉) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
18056recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (𝐼𝑉)) ∈ ℂ)
181180abscld 14787 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼𝑉))) ∈ ℝ)
18256leabsd 14765 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 · (𝐼𝑉)) ≤ (abs‘(𝑈 · (𝐼𝑉))))
1835, 115absmuld 14805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼𝑉))) = ((abs‘𝑈) · (abs‘(𝐼𝑉))))
18476recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
185118recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐼𝑉)) ∈ ℂ)
186184, 185mulcomd 10651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘(𝐼𝑉))) = ((abs‘(𝐼𝑉)) · (abs‘𝑈)))
187183, 186eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼𝑉))) = ((abs‘(𝐼𝑉)) · (abs‘𝑈)))
188118, 96, 164ltled 10777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐼𝑉)) ≤ 𝑌)
189118, 96, 76, 83, 188lemul1ad 11568 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐼𝑉)) · (abs‘𝑈)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
190187, 189eqbrtrd 5064 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼𝑉))) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
19156, 181, 100, 182, 190letrd 10786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 · (𝐼𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
19253, 56, 99, 100, 179, 191leadd12dd 41887 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉))) ≤ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))))
19350, 59, 108, 109, 171, 192ltleaddd 11250 . . . 4 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) + (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉)))) < ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
19496, 103readdcld 10659 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
19581, 117, 96, 119, 176letrd 10786 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
19693rpred 12419 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
197 min1 12570 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 1)
19875, 196, 197syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 1)
19963, 198eqbrtrid 5077 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≤ 1)
20081, 75, 96, 195, 199eliccd 42080 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
20196sqrlearg 42129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌↑2) ≤ 𝑌𝑌 ∈ (0[,]1)))
202200, 201mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑌)
20398, 96, 103, 202leadd1dd 11243 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
204 1cnd 10625 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
20577recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
206205, 184addcld 10649 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ∈ ℂ)
207168, 204, 206adddid 10654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = ((𝑌 · 1) + (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
208168mulid1d 10647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 · 1) = 𝑌)
209168, 205, 184adddid 10654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) = ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))))
210208, 209oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 · 1) + (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
211207, 210eqtr2d 2858 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) = (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
21277, 76readdcld 10659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ∈ ℝ)
21375, 212readdcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
21477, 76addge01d 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑈) ↔ (abs‘𝑉) ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
21583, 214mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝑉) ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
21681, 77, 212, 84, 215letrd 10786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
21775, 212addge01d 11217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
218216, 217mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
21981, 75, 213, 82, 218ltletrd 10789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
22081, 213, 219ltled 10777 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
221 min2 12571 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 𝑋)
22275, 196, 221syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 𝑋)
22364, 222eqbrtrd 5064 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
22496, 196, 213, 220, 223lemul1ad 11568 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) ≤ (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
22568oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
226184, 205addcomd 10831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) = ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
227226oveq2d 7156 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) = (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
228227oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
229228oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
230107recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℂ)
231204, 206addcld 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ∈ ℂ)
23281, 219gtned 10764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ≠ 0)
233230, 231, 232divcan1d 11406 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
234225, 229, 2333eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
235224, 234breqtrd 5068 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
236211, 235eqbrtrd 5064 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
237106, 194, 107, 203, 236letrd 10786 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
23862, 106, 107, 193, 237ltletrd 10789 . . 3 (𝜑 → (((𝐻𝑈) · (𝐼𝑉)) + (((𝐻𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼𝑉)))) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
23941, 238eqbrtrd 5064 . 2 (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
2402, 7remulcld 10660 . . 3 (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) ∈ ℝ)
241240, 71, 70ltsub1d 11238 . 2 (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) < 𝐴 ↔ ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉))))
242239, 241mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  ifcif 4439   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  cexp 13425  abscabs 14584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586
This theorem is referenced by:  smfmullem2  43363
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