smfmullem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem smfmullem1 47937

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smfmullem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
smfmullem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem1.l	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
smfmullem1.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem1.y	⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
smfmullem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
smfmullem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
smfmullem1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
smfmullem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
smfmullem1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅))
smfmullem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝑆(,)𝑍))

**Assertion**
Ref	Expression
smfmullem1	⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) < 𝐴)

**Proof of Theorem smfmullem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem1.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅))
2	1	elioored 46697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
4		smfmullem1.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
6		smfmullem1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝑆(,)𝑍))
7	6	elioored 46697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
9		smfmullem1.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
11	3, 5, 8, 10	mulsubd 11782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) = (((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))))
12	3, 5, 10	subdird 11780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) = ((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)))
13	5, 8, 10	subdid 11779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) = ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)))
14	12, 13	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))))
15	3, 10	mulcld 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝑉) ∈ ℂ)
16	5, 8	mulcld 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝐼) ∈ ℂ)
17	5, 10	mulcld 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17, 17	addsub4d 11723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))))
19	18	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
20	5, 8	mulcomd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝐼) = (𝐼 · 𝑈))
21	20	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) = ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)))
22	21	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
23	14, 19, 22	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
24	11, 23	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))))
25	3, 8	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) ∈ ℂ)
26	10, 5	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑈) ∈ ℂ)
27	25, 26	addcld 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) ∈ ℂ)
28	8, 5	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑈) ∈ ℂ)
29	15, 28	addcld 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) ∈ ℂ)
30	27, 29	npcand 11680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)))
31	10, 5	mulcomd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑉))
32	31	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)))
33	30, 32	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)))
34	33	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))))
35	34	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
36	27, 29	subcld 11676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) ∈ ℂ)
37	17, 17	addcld 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℂ)
38	36, 29, 37	addsubassd 11696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))))
39	35, 38	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))) = (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
40	25, 17, 17	pnpcan2d 11714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)))
41	24, 39, 40	3eqtrrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) = (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))))
42	2, 4	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))
43		resubcl 11629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ)
45	7, 9	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ))
46		resubcl 11629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ) → (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ)
48	44, 47	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ))
49		remulcl 11292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
50	48, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
51	44, 9	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ))
52		remulcl 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ) → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ)
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ)
54	4, 47	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ))
55		remulcl 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ) → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
57	53, 56	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ))
58		readdcl 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ) → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
59	57, 58	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
60	50, 59	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ))
61		readdcl 11290	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ) → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) ∈ ℝ)
62	60, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) ∈ ℝ)
63		smfmullem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
65		1rp 13131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ⁺)
67		smfmullem1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
69		smfmullem1.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
70	4, 9	remulcld 11346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
71		smfmullem1.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
72		difrp 13167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ⁺))
73	70, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ⁺))
74	69, 73	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ⁺)
75		1red 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
76	5	abscld 15615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
77	10	abscld 15615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
78	76, 77	readdcld 11345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
79	75, 78	readdcld 11345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
80		0re 11317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82	66	rpgt0d 13174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
83	5	absge0d 15623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
84	10	absge0d 15623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
85	76, 77	addge01d 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
86	84, 85	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
87	81, 76, 78, 83, 86	letrd 11474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
88	75, 78	addge01d 11911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
89	87, 88	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
90	81, 75, 79, 82, 89	ltletrd 11477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
91	79, 90	elrpd 13168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ⁺)
92	74, 91	rpdivcld 13188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ⁺)
93	68, 92	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
94	66, 93	ifcld 4528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ⁺)
95	64, 94	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
96	95	rpred 13171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
97		resqcl 14274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
98	96, 97	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
99	96, 77	remulcld 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
100	96, 76	remulcld 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ)
101	99, 100	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ))
102		readdcl 11290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ) → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
103	101, 102	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
104	98, 103	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ))
105		readdcl 11290	. . . . 5 ⊢ (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ) → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
106	104, 105	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
107	71, 70	resubcld 11751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ)
108	96	resqcld 14275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
109	99, 100	readdcld 11345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
110	11, 36	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℂ)
111	110	abscld 15615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
112	96, 96	remulcld 11346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑌) ∈ ℝ)
113	50	leabsd 15591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ≤ (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))))
114	44	recnd 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑈) ∈ ℂ)
115	47	recnd 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝑉) ∈ ℂ)
116	114, 115	absmuld 15633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))))
117	114	abscld 15615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐻 − 𝑈)) ∈ ℝ)
118	115	abscld 15615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
119	114	absge0d 15623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐻 − 𝑈)))
120	4, 96	resubcld 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ)
121		smfmullem1.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
122	121	elioored 46697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
123	120	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ^*)
124	4	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
125		ioogtlb 46643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ^* ∧ 𝑈 ∈ ℝ^* ∧ 𝑃 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → (𝑈 − 𝑌) < 𝑃)
126	123, 124, 121, 125	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝑃)
127	122	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ^*)
128		smfmullem1.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
129	128	elioored 46697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
130	129	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
131		ioogtlb 46643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → 𝑃 < 𝐻)
132	127, 130, 1, 131	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < 𝐻)
133	120, 122, 2, 126, 132	lttrd 11478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝐻)
134	4, 96	readdcld 11345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
135		iooltub 46658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → 𝐻 < 𝑅)
136	127, 130, 1, 135	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < 𝑅)
137	134	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ^*)
138		iooltub 46658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ^* ∧ (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝑅 < (𝑈 + 𝑌))
139	124, 137, 128, 138	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑈 + 𝑌))
140	2, 129, 134, 136, 139	lttrd 11478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < (𝑈 + 𝑌))
141	133, 140	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝑌) < 𝐻 ∧ 𝐻 < (𝑈 + 𝑌)))
142	2, 4, 96	absdifltd 15612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) < 𝑌 ↔ ((𝑈 − 𝑌) < 𝐻 ∧ 𝐻 < (𝑈 + 𝑌))))
143	141, 142	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐻 − 𝑈)) < 𝑌)
144	115	absge0d 15623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐼 − 𝑉)))
145	9, 96	resubcld 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ)
146		smfmullem1.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
147	146	elioored 46697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
148	145	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ^*)
149	9	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ^*)
150	148, 149, 146	ioogtlbd 46698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝑆)
151	147	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ^*)
152		smfmullem1.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
153	152	elioored 46697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
154	153	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ^*)
155	151, 154, 6	ioogtlbd 46698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝐼)
156	145, 147, 7, 150, 155	lttrd 11478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝐼)
157	9, 96	readdcld 11345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
158	151, 154, 6	iooltubd 46692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑍)
159	157	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ^*)
160	149, 159, 152	iooltubd 46692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < (𝑉 + 𝑌))
161	7, 153, 157, 158, 160	lttrd 11478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < (𝑉 + 𝑌))
162	156, 161	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝑌) < 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝑉 + 𝑌)))
163	7, 9, 96	absdifltd 15612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) < 𝑌 ↔ ((𝑉 − 𝑌) < 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝑉 + 𝑌))))
164	162, 163	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) < 𝑌)
165	117, 96, 118, 96, 119, 143, 144, 164	ltmul12ad 12265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))) < (𝑌 · 𝑌))
166	116, 165	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))) < (𝑌 · 𝑌))
167	50, 111, 112, 113, 166	lelttrd 11475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) < (𝑌 · 𝑌))
168	96	recnd 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
169	168	sqvald 14293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) = (𝑌 · 𝑌))
170	169	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑌) = (𝑌↑2))
171	167, 170	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) < (𝑌↑2))
172	53	recnd 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℂ)
173	172	abscld 15615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)) ∈ ℝ)
174	53	leabsd 15591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ≤ (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)))
175	114, 10	absmuld 15633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)) = ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘𝑉)))
176	117, 96, 143	ltled 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐻 − 𝑈)) ≤ 𝑌)
177	117, 96, 77, 84, 176	lemul1ad 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
178	175, 177	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
179	53, 173, 99, 174, 178	letrd 11474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
180	56	recnd 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℂ)
181	180	abscld 15615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
182	56	leabsd 15591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ≤ (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))))
183	5, 115	absmuld 15633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘𝑈) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))))
184	76	recnd 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
185	118	recnd 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) ∈ ℂ)
186	184, 185	mulcomd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) · (abs‘𝑈)))
187	183, 186	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) · (abs‘𝑈)))
188	118, 96, 164	ltled 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) ≤ 𝑌)
189	118, 96, 76, 83, 188	lemul1ad 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) · (abs‘𝑈)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
190	187, 189	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
191	56, 181, 100, 182, 190	letrd 11474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
192	53, 56, 99, 100, 179, 191	le2addd 11942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ≤ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))))
193	50, 59, 108, 109, 171, 192	ltleaddd 11944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) < ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
194	96, 103	readdcld 11345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
195	81, 117, 96, 119, 176	letrd 11474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
196	93	rpred 13171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
197		min1 13326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 1)
198	75, 196, 197	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 1)
199	63, 198	eqbrtrid 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 1)
200	81, 75, 96, 195, 199	eliccd 46652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (0[,]1))
201	96	sqrlearg 46701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) ≤ 𝑌 ↔ 𝑌 ∈ (0[,]1)))
202	200, 201	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑌)
203	98, 96, 103, 202	leadd1dd 11937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
204		1cnd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
205	77	recnd 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
206	205, 184	addcld 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ∈ ℂ)
207	168, 204, 206	adddid 11340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = ((𝑌 · 1) + (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
208	168	mulridd 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 1) = 𝑌)
209	168, 205, 184	adddid 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) = ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))))
210	208, 209	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 1) + (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
211	207, 210	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) = (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
212	77, 76	readdcld 11345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ∈ ℝ)
213	75, 212	readdcld 11345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
214	77, 76	addge01d 11911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑈) ↔ (abs‘𝑉) ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
215	83, 214	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
216	81, 77, 212, 84, 215	letrd 11474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
217	75, 212	addge01d 11911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
218	216, 217	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
219	81, 75, 213, 82, 218	ltletrd 11477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
220	81, 213, 219	ltled 11465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
221		min2 13327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 𝑋)
222	75, 196, 221	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 𝑋)
223	64, 222	eqbrtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
224	96, 196, 213, 220, 223	lemul1ad 12263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) ≤ (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
225	68	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
226	184, 205	addcomd 11519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) = ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
227	226	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) = (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
228	227	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
229	228	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
230	107	recnd 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℂ)
231	204, 206	addcld 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ∈ ℂ)
232	81, 219	gtned 11452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ≠ 0)
233	230, 231, 232	divcan1d 12101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
234	225, 229, 233	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
235	224, 234	breqtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
236	211, 235	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
237	106, 194, 107, 203, 236	letrd 11474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
238	62, 106, 107, 193, 237	ltletrd 11477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
239	41, 238	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
240	2, 7	remulcld 11346	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) ∈ ℝ)
241	240, 71, 70	ltsub1d 11932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) < 𝐴 ↔ ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉))))
242	239, 241	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) < 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ifcif 4481 class class class wbr 5102 ‘cfv 6543 (class class class)co 7424 ℂcc 11205 ℝcr 11206 0cc0 11207 1c1 11208 + caddc 11210 · cmul 11212 ℝ^*cxr 11349 < clt 11350 ≤ cle 11351 − cmin 11548 / cdiv 11980 2c2 12404 ℝ⁺crp 13127 (,)cioo 13483 [,]cicc 13486 ↑cexp 14211 abscabs 15410

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7755 ax-cnex 11263 ax-resscn 11264 ax-1cn 11265 ax-icn 11266 ax-addcl 11267 ax-addrcl 11268 ax-mulcl 11269 ax-mulrcl 11270 ax-mulcom 11271 ax-addass 11272 ax-mulass 11273 ax-distr 11274 ax-i2m1 11275 ax-1ne0 11276 ax-1rid 11277 ax-rnegex 11278 ax-rrecex 11279 ax-cnre 11280 ax-pre-lttri 11281 ax-pre-lttrn 11282 ax-pre-ltadd 11283 ax-pre-mulgt0 11284 ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6307 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6497 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7381 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7882 df-1st 8005 df-2nd 8006 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8387 df-rdg 8426 df-er 8725 df-en 8982 df-dom 8983 df-sdom 8984 df-sup 9441 df-pnf 11352 df-mnf 11353 df-xr 11354 df-ltxr 11355 df-le 11356 df-sub 11550 df-neg 11551 df-div 11981 df-nn 12343 df-2 12412 df-3 12413 df-n0 12614 df-z 12701 df-uz 12973 df-rp 13128 df-ioo 13487 df-icc 13490 df-seq 14152 df-exp 14212 df-cj 15275 df-re 15276 df-im 15277 df-sqrt 15411 df-abs 15412

This theorem is used by: smfmullem2 47938

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