smfmullem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem smfmullem1 46787

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smfmullem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
smfmullem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem1.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem1.l	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
smfmullem1.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem1.y	⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
smfmullem1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
smfmullem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
smfmullem1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
smfmullem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
smfmullem1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅))
smfmullem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝑆(,)𝑍))

**Assertion**
Ref	Expression
smfmullem1	⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) < 𝐴)

**Proof of Theorem smfmullem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem1.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅))
2	1	elioored 45545	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
4		smfmullem1.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
6		smfmullem1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝑆(,)𝑍))
7	6	elioored 45545	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
9		smfmullem1.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
11	3, 5, 8, 10	mulsubd 11701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) = (((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))))
12	3, 5, 10	subdird 11699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) = ((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)))
13	5, 8, 10	subdid 11698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) = ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)))
14	12, 13	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))))
15	3, 10	mulcld 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝑉) ∈ ℂ)
16	5, 8	mulcld 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝐼) ∈ ℂ)
17	5, 10	mulcld 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17, 17	addsub4d 11646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))))
19	18	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) − (𝑈 · 𝑉)) + ((𝑈 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
20	5, 8	mulcomd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝐼) = (𝐼 · 𝑈))
21	20	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) = ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)))
22	21	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝑉) + (𝑈 · 𝐼)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
23	14, 19, 22	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
24	11, 23	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))))
25	3, 8	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) ∈ ℂ)
26	10, 5	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑈) ∈ ℂ)
27	25, 26	addcld 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) ∈ ℂ)
28	8, 5	mulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑈) ∈ ℂ)
29	15, 28	addcld 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) ∈ ℂ)
30	27, 29	npcand 11603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)))
31	10, 5	mulcomd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑈) = (𝑈 · 𝑉))
32	31	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)))
33	30, 32	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) = ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)))
34	33	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))))
35	34	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = (((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
36	27, 29	subcld 11599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) ∈ ℂ)
37	17, 17	addcld 11259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℂ)
38	36, 29, 37	addsubassd 11619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))))
39	35, 38	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐻 · 𝐼) + (𝑉 · 𝑈)) − ((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈))) + (((𝐻 · 𝑉) + (𝐼 · 𝑈)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉)))) = (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))))
40	25, 17, 17	pnpcan2d 11637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 · 𝐼) + (𝑈 · 𝑉)) − ((𝑈 · 𝑉) + (𝑈 · 𝑉))) = ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)))
41	24, 39, 40	3eqtrrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) = (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))))
42	2, 4	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))
43		resubcl 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ)
45	7, 9	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ))
46		resubcl 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ) → (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ)
48	44, 47	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ))
49		remulcl 11219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ) → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
51	44, 9	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ))
52		remulcl 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 𝑉 ∈ ℝ) → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ)
54	4, 47	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ))
55		remulcl 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐼 − 𝑉) ∈ ℝ) → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
57	53, 56	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ))
58		readdcl 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ) → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
60	50, 59	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ))
61		readdcl 11217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ) → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) ∈ ℝ)
62	60, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) ∈ ℝ)
63		smfmullem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
65		1rp 13017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ⁺)
67		smfmullem1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
69		smfmullem1.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
70	4, 9	remulcld 11270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
71		smfmullem1.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
72		difrp 13052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ⁺))
73	70, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ⁺))
74	69, 73	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ⁺)
75		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
76	5	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
77	10	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
78	76, 77	readdcld 11269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
79	75, 78	readdcld 11269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
80		0re 11242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82	66	rpgt0d 13059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
83	5	absge0d 15468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
84	10	absge0d 15468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
85	76, 77	addge01d 11830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
86	84, 85	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
87	81, 76, 78, 83, 86	letrd 11397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
88	75, 78	addge01d 11830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
89	87, 88	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
90	81, 75, 79, 82, 89	ltletrd 11400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
91	79, 90	elrpd 13053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ⁺)
92	74, 91	rpdivcld 13073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ⁺)
93	68, 92	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ⁺)
94	66, 93	ifcld 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ⁺)
95	64, 94	eqeltrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ⁺)
96	95	rpred 13056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
97		resqcl 14147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
98	96, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
99	96, 77	remulcld 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
100	96, 76	remulcld 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ)
101	99, 100	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ))
102		readdcl 11217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑌 · (abs‘𝑈)) ∈ ℝ) → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
103	101, 102	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
104	98, 103	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ))
105		readdcl 11217	. . . . 5 ⊢ (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ) → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
106	104, 105	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
107	71, 70	resubcld 11670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ)
108	96	resqcld 14148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
109	99, 100	readdcld 11269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
110	11, 36	eqeltrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℂ)
111	110	abscld 15460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
112	96, 96	remulcld 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑌) ∈ ℝ)
113	50	leabsd 15438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) ≤ (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))))
114	44	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑈) ∈ ℂ)
115	47	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 𝑉) ∈ ℂ)
116	114, 115	absmuld 15478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))))
117	114	abscld 15460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐻 − 𝑈)) ∈ ℝ)
118	115	abscld 15460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) ∈ ℝ)
119	114	absge0d 15468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐻 − 𝑈)))
120	4, 96	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ)
121		smfmullem1.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
122	121	elioored 45545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
123	120	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ^*)
124	4	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
125		ioogtlb 45491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ^* ∧ 𝑈 ∈ ℝ^* ∧ 𝑃 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → (𝑈 − 𝑌) < 𝑃)
126	123, 124, 121, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝑃)
127	122	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ^*)
128		smfmullem1.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
129	128	elioored 45545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
130	129	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
131		ioogtlb 45491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → 𝑃 < 𝐻)
132	127, 130, 1, 131	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 < 𝐻)
133	120, 122, 2, 126, 132	lttrd 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝐻)
134	4, 96	readdcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
135		iooltub 45506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝐻 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → 𝐻 < 𝑅)
136	127, 130, 1, 135	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < 𝑅)
137	134	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ^*)
138		iooltub 45506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ^* ∧ (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝑅 < (𝑈 + 𝑌))
139	124, 137, 128, 138	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑈 + 𝑌))
140	2, 129, 134, 136, 139	lttrd 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < (𝑈 + 𝑌))
141	133, 140	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 − 𝑌) < 𝐻 ∧ 𝐻 < (𝑈 + 𝑌)))
142	2, 4, 96	absdifltd 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) < 𝑌 ↔ ((𝑈 − 𝑌) < 𝐻 ∧ 𝐻 < (𝑈 + 𝑌))))
143	141, 142	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐻 − 𝑈)) < 𝑌)
144	115	absge0d 15468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐼 − 𝑉)))
145	9, 96	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ)
146		smfmullem1.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
147	146	elioored 45545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
148	145	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ^*)
149	9	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ^*)
150	148, 149, 146	ioogtlbd 45546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝑆)
151	147	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ^*)
152		smfmullem1.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
153	152	elioored 45545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
154	153	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ^*)
155	151, 154, 6	ioogtlbd 45546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝐼)
156	145, 147, 7, 150, 155	lttrd 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝐼)
157	9, 96	readdcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
158	151, 154, 6	iooltubd 45540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑍)
159	157	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ^*)
160	149, 159, 152	iooltubd 45540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 < (𝑉 + 𝑌))
161	7, 153, 157, 158, 160	lttrd 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < (𝑉 + 𝑌))
162	156, 161	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 − 𝑌) < 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝑉 + 𝑌)))
163	7, 9, 96	absdifltd 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) < 𝑌 ↔ ((𝑉 − 𝑌) < 𝐼 ∧ 𝐼 < (𝑉 + 𝑌))))
164	162, 163	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) < 𝑌)
165	117, 96, 118, 96, 119, 143, 144, 164	ltmul12ad 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))) < (𝑌 · 𝑌))
166	116, 165	eqbrtrd 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉))) < (𝑌 · 𝑌))
167	50, 111, 112, 113, 166	lelttrd 11398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) < (𝑌 · 𝑌))
168	96	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
169	168	sqvald 14166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) = (𝑌 · 𝑌))
170	169	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑌) = (𝑌↑2))
171	167, 170	breqtrd 5150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) < (𝑌↑2))
172	53	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ∈ ℂ)
173	172	abscld 15460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)) ∈ ℝ)
174	53	leabsd 15438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ≤ (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)))
175	114, 10	absmuld 15478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)) = ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘𝑉)))
176	117, 96, 143	ltled 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐻 − 𝑈)) ≤ 𝑌)
177	117, 96, 77, 84, 176	lemul1ad 12186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐻 − 𝑈)) · (abs‘𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
178	175, 177	eqbrtrd 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐻 − 𝑈) · 𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
179	53, 173, 99, 174, 178	letrd 11397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑉)))
180	56	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ∈ ℂ)
181	180	abscld 15460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ∈ ℝ)
182	56	leabsd 15438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ≤ (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))))
183	5, 115	absmuld 15478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘𝑈) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))))
184	76	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
185	118	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) ∈ ℂ)
186	184, 185	mulcomd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘(𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) · (abs‘𝑈)))
187	183, 186	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) = ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) · (abs‘𝑈)))
188	118, 96, 164	ltled 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐼 − 𝑉)) ≤ 𝑌)
189	118, 96, 76, 83, 188	lemul1ad 12186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐼 − 𝑉)) · (abs‘𝑈)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
190	187, 189	eqbrtrd 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
191	56, 181, 100, 182, 190	letrd 11397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)) ≤ (𝑌 · (abs‘𝑈)))
192	53, 56, 99, 100, 179, 191	le2addd 11861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉))) ≤ ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))))
193	50, 59, 108, 109, 171, 192	ltleaddd 11863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) < ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
194	96, 103	readdcld 11269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ∈ ℝ)
195	81, 117, 96, 119, 176	letrd 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
196	93	rpred 13056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
197		min1 13210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 1)
198	75, 196, 197	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 1)
199	63, 198	eqbrtrid 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 1)
200	81, 75, 96, 195, 199	eliccd 45500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (0[,]1))
201	96	sqrlearg 45549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) ≤ 𝑌 ↔ 𝑌 ∈ (0[,]1)))
202	200, 201	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑌)
203	98, 96, 103, 202	leadd1dd 11856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
204		1cnd 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
205	77	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
206	205, 184	addcld 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ∈ ℂ)
207	168, 204, 206	adddid 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = ((𝑌 · 1) + (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
208	168	mulridd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 1) = 𝑌)
209	168, 205, 184	adddid 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) = ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈))))
210	208, 209	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 1) + (𝑌 · ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))))
211	207, 210	eqtr2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) = (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
212	77, 76	readdcld 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ∈ ℝ)
213	75, 212	readdcld 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ∈ ℝ)
214	77, 76	addge01d 11830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑈) ↔ (abs‘𝑉) ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
215	83, 214	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
216	81, 77, 212, 84, 215	letrd 11397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
217	75, 212	addge01d 11830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
218	216, 217	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
219	81, 75, 213, 82, 218	ltletrd 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
220	81, 213, 219	ltled 11388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
221		min2 13211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 𝑋)
222	75, 196, 221	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ≤ 𝑋)
223	64, 222	eqbrtrd 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
224	96, 196, 213, 220, 223	lemul1ad 12186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) ≤ (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
225	68	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
226	184, 205	addcomd 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) = ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))
227	226	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) = (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))))
228	227	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
229	228	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))))
230	107	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℂ)
231	204, 206	addcld 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ∈ ℂ)
232	81, 219	gtned 11375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈))) ≠ 0)
233	230, 231, 232	divcan1d 12023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
234	225, 229, 233	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) = (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
235	224, 234	breqtrd 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1 + ((abs‘𝑉) + (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
236	211, 235	eqbrtrd 5146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
237	106, 194, 107, 203, 236	letrd 11397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑌 · (abs‘𝑉)) + (𝑌 · (abs‘𝑈)))) ≤ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
238	62, 106, 107, 193, 237	ltletrd 11400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝑈) · (𝐼 − 𝑉)) + (((𝐻 − 𝑈) · 𝑉) + (𝑈 · (𝐼 − 𝑉)))) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
239	41, 238	eqbrtrd 5146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)))
240	2, 7	remulcld 11270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) ∈ ℝ)
241	240, 71, 70	ltsub1d 11851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 · 𝐼) < 𝐴 ↔ ((𝐻 · 𝐼) − (𝑈 · 𝑉)) < (𝐴 − (𝑈 · 𝑉))))
242	239, 241	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 · 𝐼) < 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ifcif 4505 class class class wbr 5124 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 · cmul 11139 ℝ^*cxr 11273 < clt 11274 ≤ cle 11275 − cmin 11471 / cdiv 11899 2c2 12300 ℝ⁺crp 13013 (,)cioo 13367 [,]cicc 13370 ↑cexp 14084 abscabs 15258

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211 ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-sup 9459 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-div 11900 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-rp 13014 df-ioo 13371 df-icc 13374 df-seq 14025 df-exp 14085 df-cj 15123 df-re 15124 df-im 15125 df-sqrt 15259 df-abs 15260

This theorem is referenced by: smfmullem2 46788

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