Theorem elioored 45495

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
elioored.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶))

Assertion

Ref	Expression
elioored	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioored

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioored.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶))
2		elioore 13398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7412  ℝcr 11135  (,)cioo 13368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-ioo 13372

This theorem is referenced by:  limcresiooub  45590  limcresioolb  45591  cncfioobdlem  45844  dirkercncflem1  46051  dirkercncflem2  46052  qndenserrnbllem  46242  ioorrnopnxrlem  46254  smfmullem1  46739